Teoria primului ordin
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În logica matematică, o teorie de prim ordin sau un calcul de predicat este un sistem formal particular, adică o teorie formală în care este posibil să se exprime propoziții și să se deducă consecințele lor logice într-un mod complet formal și mecanic. Teoria primului ordin extinde de fapt logica propozițională cu introducerea cuantificatorilor existențiali și universali, predicate, funcții, variabile și constante, care aduc o putere expresivă mai mare la calculul predicatelor [1] .
Ca și în cazul logicii propoziționale, teoria primului ordin poate fi împărțită în două părți separate:
- sintaxa , care definește vocabularul simbolic de bază și regulile pentru construirea unor propoziții complexe,
- semantica , care interpretează aceste afirmații ca o expresie a relațiilor dintre elementele unui domeniu , agregate prin intermediul unei atribuții .
Un predicat este o expresie lingvistică care poate fi legată de unul sau mai multe elemente ale domeniului pentru a forma o propoziție. De exemplu, în propoziția „Marte este o planetă”, expresia „este o planetă” este un predicat care este legat de numele (un simbol constant) „Marte” pentru a forma o propoziție. În propoziția „Jupiter este mai mare decât Marte”, expresia „este mai mare decât” este un predicat care leagă cele două nume, „Jupiter” și „Marte”, pentru a forma o propoziție.
În logica matematică, atunci când un predicat este legat de o expresie, se spune că exprimă o proprietate (cum ar fi proprietatea de a fi o planetă în exemplul anterior) și când este legat de două sau mai multe expresii, se spune că exprimă o relație (cum ar fi relația pentru ca o planetă să fie mai mare decât alta). Așa se face raționament pentru afirmații precum „Fiecare x este frumos” și „Există un x astfel încât pentru fiecare y , x este prietenul lui y ”, care este exprimat simbolic prin formula: .
Trebuie remarcat faptul că teoria primului ordin nu conține în sine nicio relație specifică (cum ar fi o relație de ordine, incluziune sau egalitate).
Definiție
Elementele care definesc o teorie de primul ordin sunt :
- un alfabet sau un set finit de simboluri,
- un limbaj de primul ordin constând dintr-un set de formule bine formate care reprezintă propoziții complete,
- un set de axiome logice , adică un set de formule care exprimă relațiile logice legate de conectivități logice și cuantificatori ,
- un set de axiome proprii care stabilesc unele relații fundamentale între obiectele teoriei care nu pot fi deduse din axiome logice (cum ar fi axioma „prin două puncte trece unul și o singură linie dreaptă”),
- un set de reguli de inferență care stabilesc când o formulă este o consecință logică a altor formule.
Exemple de teorii de ordinul întâi sunt aritmetica lui Peano , aritmetica lui Robinson , teoria mulțimilor lui Zermelo-Fraenkel .
Demonstrații formale
O dovadă a unei formule într-o teorie de ordinul întâi T este o succesiune ordonată de formule
astfel încât
- fiecare formulă fie este o axiomă a lui T, fie poate fi dedusă din una sau mai multe formule care o precedă prin intermediul unei reguli de inferență .
O formulă care are o dovadă formală în T se spune că poate fi demonstrată sau diferențiată. Dacă formula este demonstrabil în T se folosește notația
sau pur și simplu
dacă teoria de referință este evidentă din context.
Proprietăți sintactice
Se spune o teorie de ordinul întâi T :
- sintactic complet dacă pentru fiecare formulă da ai
- sau
- sintactic (consecvent) dacă nu există o formulă pentru care cineva are
- și simultan
Notă
- ^ Asperti și Ciabattoni , pp. 99-100 .
Bibliografie
- Andrea Asperti și Agata Ciabattoni, 4. Logica predicatelor , în Logică către informatică , McGraw-Hill, 1997.
Elemente conexe
linkuri externe
- primul ordin, teoria lui , în Enciclopedia Matematicii , Institutul Enciclopediei Italiene, 2013.
