Cercul lui Apollonius

Construcția geometrică a cercului lui Apollonius

Cercul lui Apollonius este locul geometric format din punctele planului astfel încât raportul distanțelor lor de la două puncte fixe să fie constant. Oricare dintre cercurile care rezolvă problema lui Apollonius este uneori numit cu acest nume.

Numele derivă din Apollonius din Perga , un geometru și astronom grec, care a dovedit mai întâi că locul descris era o circumferință ; această proprietate poate fi de fapt utilizată ca definiție alternativă a circumferinței.

Ecuația cartesiană

Să fixăm două puncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , astfel încât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ coincide cu originea axelor și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este plasat la distanță $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ Din ea. Un punct generic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ cercului lui Apollonius se caracterizează prin relația:

{\frac {AP}{BP}}=k

{\ displaystyle {\ frac {AP} {BP}} = k}

{\ frac {AP} {BP}} = k

,

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este o constantă pozitivă. Traducerea distanțelor în coordonatele carteziene pe care le avem

{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {\left(x-d\right)^{2}+y^{2}}}}=k

{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ sqrt {\ left (xd \ right) ^ {2} + y ^ {2}}}} = k}

{\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} {{\ sqrt {\ left (x-d \ right) ^ {2} + y ^ {2}}}}} = k

,

care prin pătrarea și simplificarea numitorilor devine

x^{2}+y^{2}=k^{2}\left(x-d\right)^{2}+k^{2}y^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = k ^ {2} \ left (xd \ right) ^ {2} + k ^ {2} y ^ {2}}

x ^ {2} + y ^ {2} = k ^ {2} \ left (x-d \ right) ^ {2} + k ^ {2} y ^ {2}

.

Rearanjând ecuația și normalizând coeficienții de gradul doi, obținem ecuația circumferinței în formă canonică:

x^{2}+y^{2}-{\frac {2k^{2}d}{\left(k^{2}-1\right)}}x+{\frac {k^{2}d^{2}}{\left(k^{2}-1\right)}}=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - {\ frac {2k ^ {2} d} {\ left (k ^ {2} -1 \ right)}} x + {\ frac {k ^ {2} d ^ {2}} {\ left (k ^ {2} -1 \ right)}} = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} - {\ frac {2k ^ {2} d} {\ left (k ^ {2} -1 \ right)}} x + {\ frac {k ^ {2} d ^ {2}} {\ left (k ^ {2} -1 \ right)}} = 0

.

Proprietate

Din ecuația carteziană de mai sus este posibil să se deducă unele proprietăți ale cercului Apollonius:

centrul cercului este plasat în $C\left({\frac {k^{2}}{k^{2}-1}}d,0\right)$ ${\ displaystyle C \ left ({\ frac {k ^ {2}} {k ^ {2} -1}} d, 0 \ right)}$ $C \ left ({\ frac {k ^ {2}} {k ^ {2} -1}} d, 0 \ dreapta)$ , și este întotdeauna situat pe extensia segmentului $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ ;
raza cercului este valabilă ${\frac {kd}{k^{2}-1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {kd} {k ^ {2} -1}}}$ ${\ frac {kd} {k ^ {2} -1}}$ ;
pentru $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ cercul lui Apollonius degenerează în axa segmentului $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ ; pentru $k>1$ ${\ displaystyle k> 1}$ $k> 1$ cercul conține punctul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ; pentru $0<k<1$ ${\ displaystyle 0 <k <1}$ $0 <k <1$ cercul conține punctul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ;
când raportul dintre distanțe este egal cu secțiunea aurie , cercul are o rază egală cu lungimea segmentului $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ .