Stare Silver-Muller

În electromagnetism , condiția Silver-Muller , cunoscută și sub numele de radiația infinită , este o condiție suplimentară condițiilor limită atribuite într-o problemă electromagnetică specifică. Dacă această condiție este îndeplinită, este asigurată unicitatea soluțiilor ecuațiilor Maxwell găsite, adică există o singură soluție care rezolvă problema atribuită.

Definiție

Condiția, în forma sa cea mai generală, este scrisă astfel

\lim _{r\to +\infty }r(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\omega )-\zeta \mathbf {H} (\mathbf {r} ,\omega )\times \mathbf {i} _{r})={\underline {0}}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to + \ infty} r (\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) - \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) \ times \ mathbf {i} _ {r}) = {\ underline {0}}}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to + \ infty} r (\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) - \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) \ times \ mathbf {i} _ {r}) = {\ underline {0}}}

in care:

$\bullet$ ${\ displaystyle \ bullet}$ $\ bullet$ $\zeta ={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$ ${\ displaystyle \ zeta = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ varepsilon}}}}$ ${\ displaystyle \ zeta = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ varepsilon}}}}$ se numește impedanță intrinsecă a mediului ( $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este permeabilitatea magnetică relativă a mediului, e $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este permitivitatea electrică relativă a mediului);

$\bullet$ ${\ displaystyle \ bullet}$ $\ bullet$ $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\omega )$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega)}$ și $\mathbf {H} (\mathbf {r} ,\omega )$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega)}$ sunt respectiv câmpul electric și câmpul magnetic din domeniul frecvenței (de aceea dependența de $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ ). Setul de rezolvare a problemelor electromagnetice este complementul unui set mărginit ; în acest caz problema se numește „problemă externă”. Prin urmare, are sens să atribuiți condițiile infinitului;

$\bullet$ ${\ displaystyle \ bullet}$ $\ bullet$ $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ este vectorul de poziție față de originea axelor, $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este forma sa, $\mathbf {i} _{r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i} _ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i} _ {r}}$ este vectorul relativ la direcția vectorului de poziție.

Interpretări

Fizic, starea ne spune în ce direcție are loc propagarea câmpului electromagnetic. Aceste informații sunt de fapt ascunse în versor $\mathbf {i} _{r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i} _ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i} _ {r}}$ , deoarece acest termen ne spune că câmpul tinde să se propage de la surse spre infinit și nu se poate întâmpla ca propagarea să aibă loc în direcția opusă. Mai mult, în mișcare spre infinit, câmpul tinde să se diminueze, adică tinde să se anuleze.

Reprezentarea matematică a acestei condiții ne spune cum câmpul se apropie de zero. De fapt, putem scrie condiția în acest fel

\lim _{r\to +\infty }{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\omega )-\zeta \mathbf {H} (\mathbf {r} ,\omega )\times \mathbf {i} _{r}}{\frac {1}{r}}}={\underline {0}}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to + \ infty} {\ frac {\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) - \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega ) \ times \ mathbf {i} _ {r}} {\ frac {1} {r}}} = {\ underline {0}}}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to + \ infty} {\ frac {\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) - \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega ) \ times \ mathbf {i} _ {r}} {\ frac {1} {r}}} = {\ underline {0}}}

adică numeratorul dispare mai repede decât termenul din numitor, care este ${\frac {1}{r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$ . Numeratorul are deci o ordine de infinitesimal mai mare decât cea a ${\frac {1}{r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$ . Aceasta înseamnă că numeratorul este un mic al numitorului,

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\omega )-\zeta \mathbf {H} (\mathbf {r} ,\omega )\times \mathbf {i} _{r}={\underline {o}}\left({\frac {1}{r}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) - \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) \ times \ mathbf {i} _ {r} = {\ subliniați {o}} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) - \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) \ times \ mathbf {i} _ {r} = {\ subliniați {o}} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right)}

Există alte rezultate importante ale afecțiunii; scris

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\omega )=\zeta \mathbf {H} (\mathbf {r} ,\omega )\times \mathbf {i} _{r}+{\underline {o}}\left({\frac {1}{r}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) = \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) \ times \ mathbf {i} _ {r} + {\ subliniați {o}} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) = \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) \ times \ mathbf {i} _ {r} + {\ subliniați {o}} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right)}

Străduind spre infinit, relația devine

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\omega )=\zeta \mathbf {H} (\mathbf {r} ,\omega )\times \mathbf {i} _{r}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) = \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) \ times \ mathbf {i} _ {r}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) = \ zeta \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) \ times \ mathbf {i} _ {r}}

Din această relație se poate demonstra că următoarele condiții sunt valabile

\mathbf {\lim } _{r\to +\infty }|r\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\omega )|<+\infty ;\qquad \mathbf {\lim } _{r\to +\infty }|r\mathbf {H} (\mathbf {r} ,\omega )|<+\infty

{\ displaystyle \ mathbf {\ lim} _ {r \ to + \ infty} | r \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) | <+ \ infty; \ qquad \ mathbf {\ lim} _ {r \ to + \ infty} | r \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) | <+ \ infty}

{\ displaystyle \ mathbf {\ lim} _ {r \ to + \ infty} | r \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ omega) | <+ \ infty; \ qquad \ mathbf {\ lim} _ {r \ to + \ infty} | r \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) | <+ \ infty}

adică câmpurile electrice și magnetice la infinit sunt infinitesimale cel puțin de ordinul unu. Putem spune că următoarele relații se mențin în termeni de o-mare

\mathbf {\mathbf {E} } (\mathbf {r} ,\omega )={\underline {O}}\left({\frac {1}{r}}\right);\qquad \mathbf {H} (\mathbf {r} ,\omega )={\underline {O}}\left({\frac {1}{r}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}, \ omega) = {\ underline {O}} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right); \ qquad \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) = {\ underline {O}} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}, \ omega) = {\ underline {O}} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right); \ qquad \ mathbf {H} (\ mathbf {r}, \ omega) = {\ underline {O}} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right)}

în care am subliniat simbolurile lui o-mic și o-mare pentru a ne aminti că cantitățile implicate sunt vectori.

Elemente conexe

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism