Conjectura Elliott-Halberstam

În teoria numerelor , conjectura Elliott - Halberstam este o conjectură care afirmă că, în medie, numerele prime sunt distribuite în progresii aritmetice cât mai uniform posibil. Acesta poartă numele matematicienilor Peter DTA Elliott și Heini Halberstam și are multe aplicații în teoria sitelor .

Declaratia

Mai întâi denotăm cu $\pi (x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ funcția enumerativă a primilor , adică funcția care numără numărul primilor mai mic decât x . Pentru fiecare număr întreg q numerele prime mai mici decât x sunt distribuite în diferitele clase rămase modulo q . Pentru fiecare număr întreg cu modul q , notăm cu $\pi (x;q,a)$ ${\ displaystyle \ pi (x; q, a)}$ ${\ displaystyle \ pi (x; q, a)}$ numărul primilor mai mici decât x care se află în clasele numerelor congruente unui modulo q .

Teorema lui Dirichlet privind progresiile aritmetice ne asigură că primele sunt distribuite aproximativ în mod egal în diferitele clase de modul q cu a și q fiind coprimă, adică:

\pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}

{\ displaystyle \ pi (x; q, a) \ approx {\ frac {\ pi (x)} {\ varphi (q)}}}

{\ displaystyle \ pi (x; q, a) \ approx {\ frac {\ pi (x)} {\ varphi (q)}}}

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ Este φ funcția Euler (care coincide cu numărul de clase modulo q cu q și coprimă). Dacă definim funcția de eroare

E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|,

{\ displaystyle E (x; q) = \ max _ {(a, q) = 1} \ left | \ pi (x; q, a) - {\ frac {\ pi (x)} {\ varphi (q )}} \ dreapta |,}

{\ displaystyle E (x; q) = \ max _ {(a, q) = 1} \ left | \ pi (x; q, a) - {\ frac {\ pi (x)} {\ varphi (q )}} \ dreapta |,}

în cazul în care este luat maximul dintre toate un raport cu prime între ele q, atunci Elliott - stările conjecture Halberstam că pentru fiecare număr θ pozitiv <1 (numit nivel de distribuție) și fiecare A> 0 există o constantă C> 0 astfel încât

\sum _{1\leq q<x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq q <x ^ {\ theta}} E (x; q) \ leq {\ frac {Cx} {\ log ^ {A} x}}}

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq q <x ^ {\ theta}} E (x; q) \ leq {\ frac {Cx} {\ log ^ {A} x}}}

pentru toate x > 2. Cu alte cuvinte, conjectura afirmă că funcția de eroare $E(x;q)$ ${\ displaystyle E (x; q)}$ ${\ displaystyle E (x; q)}$ este „mic” în medie, deoarece modulul q variază între numere întregi mai mici decât $x^{\theta }$ ${\ displaystyle x ^ {\ theta}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ theta}}$ .

Progresul către demonstrarea conjecturii și aplicațiilor

Enrico Bombieri și AI Vinogradov au arătat că supoziția Elliott-Halberstam este adevărată pentru fiecare $\theta <{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ theta <{\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta <{\ frac {1} {2}}}$ . Acest rezultat, cunoscut sub numele de teorema Bombieri - Vinogradov , implică faptul că ipoteza Riemann generalizată (care este echivalentă cu afirmația E ( x ; q ) = O ( $x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }$ ${\ displaystyle x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon}}$ ${\ displaystyle x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon}}$ ) pentru fiecare număr întreg pozitiv q și fiecare ε> 0) este adevărat în medie, deoarece modulul q variază între numere întregi mai mici decât $x^{{\frac {1}{2}}-\varepsilon }$ ${\ displaystyle x ^ {{\ frac {1} {2}} - \ varepsilon}}$ ${\ displaystyle x ^ {{\ frac {1} {2}} - \ varepsilon}}$ pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ și a fost adesea folosit pentru a demonstra teoreme care în trecut erau obținute numai prin asumarea acestei ipoteze. Conjectura Elliott-Halberstam, pe de altă parte, oferă o conjectură mai puternică decât se poate obține presupunând ipoteza Riemann generalizată . Mai mult, se presupune că presupunerea este falsă pentru valori de θ mai mari sau egale cu 1.

Conjectura Elliott-Halberstam, precum și versiunile sale mai slabe, care presupun doar că este valabilă pentru unele $\theta >{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ theta> {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta> {\ frac {1} {2}}}$ , au multe consecințe. Unul dintre cele mai cunoscute este rezultatul obținut de Dan Goldston , János Pintz și Cem Yıldırım, care arată că, presupunând că este adevărată conjectura, există un număr infinit de perechi de primi a căror distanță este mai mică sau egală cu D = 16 (în În 2013, James Maynard a îmbunătățit acest rezultat arătând că D = 12 ^[1] ). Mai mult, aceiași trei matematicieni au demonstrat că este suficient să presupunem conjectura Elliott-Halberstam pentru orice nivel de distribuție $\theta >{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ theta> {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta> {\ frac {1} {2}}}$ , pentru a obține existența unui număr D cu această proprietate. ^[2] Acest rezultat a fost dovedit ulterior necondiționat de Yitang Zhang , arătând precis că o versiune ușor modificată a conjecturii Elliott-Halberstam este adevărată pentru unii $\theta >{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ theta> {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta> {\ frac {1} {2}}}$ . ^[1]

Notă

^ ^a ^b Progresul în problema numărului primar îi are pe matematicieni să bâzâie pe cablu.
^ arΧiv : math.NT / 0508185 ; vezi și arΧiv : math.NT / 0505300 , arΧiv : math.NT / 0506067 .

Bibliografie

E. Bombieri, Pe sita mare , în Mathematika , vol. 12, 1965, pp. 201-225.
PDTA Elliott și H. Halberstam, O conjectură în teoria numerelor prime , în Symp. Matematica. , vol. 4, 1968, pp. 59-72.
( RU ) AI Vinogradov, Ipoteza densității pentru seria L Dirichlet , în Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. , vol. 29, nr. 4, 1965, pp. 903-934, MR 197414 .
K. Soundararajan , Micile decalaje între numerele prime: Opera lui Goldston - Pintz - Yıldırım , în Bull. AMS , voi. 44, nr. 1, 2007, pp. 1-18, DOI : 10.1090 / S0273-0979-06-01142-6 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[wired-1] Progresul în problema numărului primar îi are pe matematicieni să bâzâie pe cablu.

[2] rΧiv : math.NT / 0508185 ; vezi și arΧiv : math.NT / 0505300 , arΧiv : math.NT / 0506067 .

[1]

[2]