Teoria sitei

Teoria sitelor este un ansamblu de tehnici ale teoriei numerelor concepute pentru a număra, sau mai realist, pentru a evalua cardinalitatea anumitor seturi de numere întregi în ordinea mărimii. Ideea pe care se bazează aceste metode este următoarea: dacă vrem să cunoaștem cardinalitatea unui set S de numere întregi mai mici decât un anumit X care se bucură de o anumită proprietate, pornim de la un set care conține S , de obicei setul de numere întregi în sus până la X și, prin urmare, eliminăm într-o serie de pași majoritatea numerelor întregi care nu fac parte din S. În cele din urmă, se adaugă numerele întregi care au fost „șterse din greșeală” și astfel se obține o estimare pentru S.

Istoria metodei

Cel mai vechi exemplu de sită este cel al sitei Eratostene , formalizat și ușor generalizat de Legendre în sita Legendre . Scopul inițial al acestor metode a fost să încerce să furnizeze o estimare a numărului de primi mai mic sau egal cu un anumit X și, în special, să demonstreze teorema numărului prim . Cu toate acestea, aceste metode s-au dovedit inițial destul de ineficiente, deoarece estimările testate cu aceste metode au fost mai slabe decât cele testate de Chebyshev cu metode combinatorii . Prin urmare, de-a lungul anilor, s-au făcut încercări de a utiliza aceste metode pentru a studia alte tipuri de seturi, cum ar fi setul de cvasiprimi sau cel al primelor gemene . În studiul setului de gemeni primi, a existat primul mare rezultat obținut printr-o sită: de fapt, în 1919 matematicianul norvegian Viggo Brun a dovedit o creștere pentru cardinalitatea setului de gemeni primi, dovedind teorema lui Brun . Metoda sită utilizată de Brun a fost numită sită Brun .

Acest succes a dat un mare impuls studiului sitelor, care de atunci a devenit parte a celor mai importante metode ale teoriei numerelor . În anii următori au fost dezvoltate noi metode de sită, precum sita Selberg , propusă în 1946 de Selberg . Noutatea acestei metode a constat în adăugarea la numerele ghicite a unui fel de greutate construit în așa fel încât să reducă la minimum erorile care sunt comise în ghicitoare. Pe lângă propunerea acestei metode, Selberg a observat câteva limitări prezente în însăși ideea metodelor de sită și care, prin urmare, nu pot fi depășite folosind aceste metode exclusiv. Cea mai faimoasă dintre aceste limitări este cunoscută sub numele de problema parității , care afirmă aproximativ că metodele teoriei sitei au dificultăți extreme în a distinge între numere cu un număr impar de factori primi și numere cu un număr par de factori primi. În ciuda acestei observații de către Selberg, metodele de sită au continuat să joace un rol important în teoria numerelor, dar au fost adesea utilizate în combinație cu alte metode pentru a depăși aceste dificultăți. Unele dintre metodele de sită propuse în anii următori sunt sita lată și sita Atkin .

Unele rezultate

Următoarele sunt câteva dintre rezultatele pe care le puteți încerca folosind o sită.

Teorema lui Brun , care afirmă că suma reciprocelor primilor gemeni converge (în timp ce suma reciprocelor tuturor primilor diverg);
Teorema lui Chen , care arată că există numere prime infinite p astfel încât p + 2 este un prim sau un semiprim (adică produsul a două numere prime); o teoremă corelată datorată lui Chen Jingrun însuși afirmă că fiecare număr par suficient de mare este suma unui prim și a unui alt număr care este fie prim, fie semiprim. Aceștia pot fi considerați pași parțiali în direcțiile, respectiv, ale conjecturii prime gemene și ale conjecturii Goldbach .
Lema fundamentală a teoriei sitei , care afirmă aproximativ că dacă treceți printr-un set de N numere, atunci puteți estima cu precizie numărul de elemente rămase în sită după $N^{\varepsilon }$ ${\ displaystyle N ^ {\ varepsilon}}$ $N ^ {\ varepsilon}$ iterații, atâta timp cât $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este suficient de mic. Această lemă este de obicei prea slabă pentru rezultate timpurii (care necesită de obicei în jur $N^{1/2}$ ${\ displaystyle N ^ {1/2}}$ $N ^ {{1/2}}$ iterații), dar poate fi destul de util pentru obținerea unor rezultate privind cvasi-primele .
Teorema Friedlander-Iwaniec , care afirmă că există infinit multe prime ale formei $a^{2}+b^{4}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {4}}$ $a ^ {2} + b ^ {4}$ .

Considerații

Comparativ cu alte metode ale teoriei numerelor, teoria sitelor este elementară în sensul că, în general, nu necesită tehnici de analiză complexă sau alte concepte sofisticate din teoria algebrică sau analitică a numerelor . Cu toate acestea, sitele mai avansate pot fi foarte complicate și dificile (mai ales atunci când sunt combinate cu alte tehnici aprofundate ale teoriei numerelor).

Limitările metodelor de sită și, în special, problema parității, apar în principal în încercarea de a obține reduceri pentru unele seturi, în timp ce încercarea de creștere cu aceste metode este în general mai ușoară. De exemplu, problema dovedirii deficiențelor este cea cu care ne confruntăm de fiecare dată când încercăm să dovedim că anumite seturi de numere sunt infinite, cum ar fi setul de primi gemeni.

Teoria sitelor este strâns legată de algoritmii sitei , de exemplu cu site-ul general al câmpului numeric , folosit pentru a factoriza numerele mari, deși aceste două fire au scopuri diferite.

Bibliografie

( EN ) H. Halberstam, HE Richert., Sieve Methods , Londra, Academic Press, 1974, ISBN 0-12-318250-6 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică