Primii gemeni

În matematică , primele gemene sunt definite ca două prime care diferă între ele prin două . Cu excepția cuplului $(2,3)$ ${\ displaystyle (2,3)}$ $(2, 3)$ , aceasta este cea mai mică diferență posibilă între două prime. Câteva exemple de perechi prime gemene sunt $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ Și $7$ ${\ displaystyle 7}$ $7$ , $11$ ${\ displaystyle 11}$ $11$ Și $13$ ${\ displaystyle 13}$ $13$ , Și $821$ ${\ displaystyle 821}$ $821$ Și $823$ ${\ displaystyle 823}$ $823$ .

Căutări

Problema existenței sau nu a primelor gemene infinite a fost de mulți ani una dintre cele mai mari probleme deschise ale teoriei numerelor , care ia numele de conjectura primelor gemene . Există, de asemenea, o versiune mai puternică, conjectura Hardy-Littlewood , care postulează o lege privind distribuția primilor gemeni analogi teoremei numerelor prime .

Folosind celebra sa metodă de sită , Viggo Brun a arătat că numărul primelor gemene minore ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $\ll {\frac {x}{\log x^{2}}}$ ${\ displaystyle \ ll {\ frac {x} {\ log x ^ {2}}}}$ $\ ll \ frac {x} {\ log x ^ 2}$ . Acest rezultat implică faptul că suma reciprocelor tuturor primilor gemeni converge (a se vedea constanta lui Brun ). Aceasta se prezintă ca o diferență notabilă față de suma reciprocelor tuturor primilor, care diverg .

Brun a mai arătat că orice număr par poate fi scris în moduri infinite ca diferență a două numere pe care ambele au cel mult nouă factori primi. Cunoscuta teoremă a lui Chen Jingrun afirmă că pentru fiecare $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ chiar, există numere prime infinite care diferă prin $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ dintr-un număr care are cel mult doi factori primi (adică un semiprim ).

Înainte de Brun, Jean Merlin încercase, de asemenea, să rezolve problema cu metoda sitei.

Orice pereche de gemeni mai mari decât $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ este de forma $(6n-1,6n+1)$ ${\ displaystyle (6n-1,6n + 1)}$ $(6n-1, 6n + 1)$ pentru un număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , și, cu excepția $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ trebuie să se termine în $0,2,3,5,7$ ${\ displaystyle 0,2,3,5,7}$ $0, 2, 3, 5, 7$ sau $8$ ${\ displaystyle 8}$ $8$ .

S-a demonstrat că $(m,m+2)$ ${\ displaystyle (m, m + 2)}$ $(m, m + 2)$ este o pereche de primi gemeni dacă și numai dacă

4((m-1)!+1)=-m\mod (m(m+2)).

{\ displaystyle 4 ((m-1)! + 1) = - m \ mod (m (m + 2)).}

4 ((m-1)! + 1) = -m \ mod (m (m + 2)).

O analiză empirică a tuturor perechilor de gemeni primi până la $4,35\cdot 10^{15}$ ${\ displaystyle 4,35 \ cdot 10 ^ {15}}$ ${\ displaystyle 4,35 \ cdot 10 ^ {15}}$ arată că numărul unor astfel de perechi formate din numere mai mici de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $xf(x)/(\log x)^{2}$ ${\ displaystyle xf (x) / (\ log x) ^ {2}}$ $xf (x) / (\ log x) ^ 2$ unde este $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este aprox $1,7$ ${\ displaystyle 1,7}$ $1.7$ pentru valori mici de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și se reduce la aprox $1,3$ ${\ displaystyle 1,3}$ $1.3$ a tinde spre $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la nesfârșit. Se presupune că valoarea limită a $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este egală cu constanta primelor gemene

2\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)=1,3203236\ldots ;

{\ displaystyle 2 \ prod _ {p \ geq 3} \ left (1 - {\ frac {1} {(p-1) ^ {2}}} \ right) = 1.3203236 \ ldots;}

2 \ prod_ {p \ geq 3} \ left (1 - \ frac {1} {(p-1) ^ 2} \ right) = 1.3203236 \ ldots;

această presupunere ar presupune conjectura primelor gemene, dar rămâne nerezolvată până în prezent.

Record

Proiectul de calcul distribuit PrimeGrid a descoperit în septembrie 2016 cea mai mare pereche de gemeni gemeni încă cunoscuți până în prezent - 2996863034895 · 2 ^1290000 ± 1 (388342 cifre fiecare). Creditat cu această descoperire a fost americanul Tom Greer. ^[1]

Primele 35 de perechi de gemeni gemeni

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101 , 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241 ), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857 , 859), (881, 883)

Toate perechile de gemeni gemeni, cu excepția $(3,5),$ ${\ displaystyle (3,5),}$ ${\ displaystyle (3,5),}$ Sunt de forma $(6n-1,6n+1)$ ${\ displaystyle (6n-1,6n + 1)}$ ${\ displaystyle (6n-1,6n + 1)}$ , unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr natural .

Zhang Yitang

Zhang Yitang , un matematician chinez activ în domeniul teoriei numerelor , în aprilie 2013 a publicat un articol în revista Annals of Mathematics în care demonstrează că există perechi infinite de numere prime care sunt la mai puțin de 70 de milioane distanță. Rezultatul, aparent îndepărtat de problema însăși, este interesant prin faptul că oferă prima tehnică demonstrativă cunoscută capabilă să abordeze întrebări referitoare la distanța dintre primii, mai degrabă decât la distribuția lor statistică.

În literatură

Numerele prime gemene sunt laitmotivul romanului Solitudinea numerelor prime de Paolo Giordano . În poveste, cei doi protagoniști sunt asociați cu o pereche de gemeni gemeni. Aceste perechi de numere, atât de solitare și rare în mijlocul multitudinii tuturor numerelor, reprezintă două numere care sunt foarte apropiate una de cealaltă, dar niciodată consecutive, adică niciodată atașate una de cealaltă, niciodată unite una după alta, deoarece va exista întotdeauna un alt număr în mijloace (un număr în mod necesar par ) pentru a le împărți.

Notă

^ Top 20: Twin Primes

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe primele gemene

linkuri externe

( RO ) OEIS , pe oeis.org .
(EN) Chris Caldwell: Twin Primes , pe utm.edu . Adus la 27 decembrie 2005 (arhivat din original la 3 aprilie 2003) .
( EN ) Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introducere în Twin Primes și Constanta lui Brun , pe numbers.computation.free.fr . Adus la 27 decembrie 2005 (arhivat din original la 24 decembrie 2019) .
(EN) Martin Winer: Randomness și Prime Twin Proof , la rankyouragent.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Top 20: Twin Primes

[1]