Conjectura lui Marshall Hall

În matematică , conjectura lui Marshall Hall este o problemă a teoriei numerelor deschise privind diferența dintre pătratele perfecte și cuburile perfecte . Se afirmă că dacă $x^{3}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$ $x ^ {3}$ Și $y^{2}$ ${\ displaystyle y ^ {2}}$ $y ^ {2}$ nu sunt egale, atunci distanța lor trebuie să fie mai mare decât o constantă dependentă de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Această presupunere, care își ia numele de la matematicianul Marshall Hall, Jr. , derivă din unele considerații asupra punctelor întregi ale curbei Mordell , în teoria curbelor eliptice .

Afirmație

Versiunea originală a conjecturii, formulată de Marshall Hall în 1970, afirmă că există o constantă C astfel încât, pentru orice pereche de numere întregi x și y astfel încât y ² ≠ x ³ , să susțină că

|y^{2}-x^{3}|>C{\sqrt {|x|}}.

{\ displaystyle | y ^ {2} -x ^ {3} |> C {\ sqrt {| x |}}.}

| y ^ {2} -x ^ {3} |> C {\ sqrt {| x |}}.

Forma slaba

O versiune slabă a conjecturii, datorată lui Stark și Trotter în jurul anului 1980, înlocuiește rădăcina pătrată din dreapta inegalității cu orice exponent mai mic de 1/2. Cu alte cuvinte, se afirmă că pentru fiecare ε> 0 există o constantă C (ε) dependentă de ε astfel încât, pentru fiecare pereche de numere întregi x și y astfel încât y ² ≠ x ³ , să rețină că

|y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )x^{1/2-\varepsilon }.

{\ displaystyle | y ^ {2} -x ^ {3} |> c (\ varepsilon) x ^ {1 / 2- \ varepsilon}.}

| y ^ {2} -x ^ {3} |> c (\ varepsilon) x ^ {{1 / 2- \ varepsilon}}.

Progres

Hall însuși a crezut inițial că constanta ar putea fi luată ca aproximativ 1/5. Dar în 1998 Elkies a găsit contraexemplul:

4478849284284020423079182^{2}-58538865167812233^{3}=-1641843,

{\ displaystyle 4478849284284020423079182 ^ {2} -58538865167812233 ^ {3} = - 1641843,}

4478849284284020423079182 ^ {2} -58538865167812233 ^ {3} = - 1641843,

pentru care C ar fi aproximativ 1/50, sau o zecime din ceea ce propunea Hall.

În 1982, Danilov a dovedit că presupunerea este falsă dacă înlocuiți rădăcina pătrată cu orice exponent mai mare de 1/2.
În 1965, Davenport a dovedit un rezultat analog în cazul polinoamelor: dacă f (t) și g (t) sunt polinoame diferite de zero în C astfel încât g ( t ) ³ ≠ f ( t ) ² în C [ t ], atunci

\deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.

{\ displaystyle \ deg (g (t) ^ {2} -f (t) ^ {3}) \ geq {\ frac {1} {2}} \ deg f (t) +1.}

\ deg (g (t) ^ {2} -f (t) ^ {3}) \ geq {\ frac {1} {2}} \ deg f (t) +1.

Forma slabă a conjecturii ar fi o consecință a conjecturii abc ^[1]

Notă

^ Wolfgang M. Schmidt , Aproximări diofantine și ecuații diofantine , Note de curs în matematică, vol. 1467, 2, Springer-Verlag , 1996, pp. 205 -206, ISBN 3-540-54058-X , Zbl 0754.11020 .

Bibliografie

Richard K. Guy , Probleme nerezolvate în teoria numerelor , 3rd, Springer-Verlag , 2004, D9, ISBN 978-0-387-20860-2 , Zbl 1058.11001 .
Marshall Hall, Jr.,Ecuația diofantină x ³ - y ² = k , în AOL Atkin și BJ Birch (eds), Computers in Number Theory , 1971, pp. 173 –198 , ISBN 0-12-065750-3 , Zbl 0225.10012 .

linkuri externe

Pagina lui Noam Elkies despre problemă.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Wolfgang M. Schmidt , Aproximări diofantine și ecuații diofantine , Note de curs în matematică, vol. 1467, 2, Springer-Verlag , 1996, pp. 205 -206, ISBN 3-540-54058-X , Zbl 0754.11020 .

[1]