Patrat perfect

Intrare principală: pătrat (algebră) .

În matematică, un pătrat perfect sau un număr pătrat este un număr întreg care poate fi exprimat ca pătratul unui alt număr întreg, adică un număr a cărui rădăcină pătrată principală este, de asemenea, un număr întreg. De exemplu, 9 este un pătrat perfect, deoarece poate fi scris ca 3 × 3. Un număr este un pătrat perfect atunci când, atunci când este descompus, are toți exponenții: scrierea numărului ca produs al puterilor numerelor prime obținute din descompunere , avem că rădăcina pătrată a acestui produs este întreagă dacă toți factorii sunt extrasați din rădăcină, acest lucru se poate întâmpla numai dacă exponentul fiecărui factor este egal.

Uneori zero este exclus din aceste numere, adică prin pătrat perfect se înțelege un număr întreg pozitiv care este pătratul unui alt număr întreg pozitiv.

Exemple

Primele 100 de pătrate perfecte ^[1] sunt:

0 ² = 0

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

5 ² = 25

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

9 ² = 81

10 ² = 100

11 ² = 121

12 ² = 144

13 ² = 169

14 ² = 196

15 ² = 225

16 ² = 256

17 ² = 289

18 ² = 324

19 ² = 361

20 ² = 400

21 ² = 441

22 ² = 484

23 ² = 529

24 ² = 576

25 ² = 625

26 ² = 676

27 ² = 729

28 ² = 784

29 ² = 841

30 ² = 900

31 ² = 961

32 ² = 1024

33 ² = 1089

34 ² = 1156

35 ² = 1225

36 ² = 1296

37 ² = 1369

38 ² = 1444

39 ² = 1521

40 ² = 1600

41 ² = 1681

42 ² = 1764

43 ² = 1849

44 ² = 1936

45 ² = 2025

46 ² = 2116

47 ² = 2209

48 ² = 2304

49 ² = 2401

50 ² = 2500

51 ² = 2601

52 ² = 2704

53 ² = 2809

54 ² = 2916

55 ² = 3025

56 ² = 3136

57 ² = 3249

58 ² = 3364

59 ² = 3481

60 ² = 3600

61 ² = 3721

62 ² = 3844

63 ² = 3969

64 ² = 4096

65 ² = 4225

66 ² = 4356

67 ² = 4489

68 ² = 4624

69 ² = 4761

70 ² = 4900

71 ² = 5041

72 ² = 5184

73 ² = 5329

74 ² = 5476

75 ² = 5625

76 ² = 5776

77 ² = 5929

78 ² = 6084

79 ² = 6241

80 ² = 6400

81 ² = 6561

82 ² = 6724

83 ² = 6889

84 ² = 7056

85 ² = 7225

86 ² = 7396

87 ² = 7569

88 ² = 7744

89 ² = 7921

90 ² = 8100

91 ² = 8281

92 ² = 8464

93 ² = 8649

94 ² = 8836

95 ² = 9025

96 ² = 9216

97 ² = 9409

98 ² = 9604

99 ² = 9801

Proprietate

Un număr m este un pătrat perfect numai dacă este posibil să aranjați m puncte pentru a forma un pătrat geometric, din acest motiv, elevarea la a doua putere se mai numește și pătrat.

1
4
9
16
25

Formula celui de-al n - lea pătrat perfect este n ² .

De asemenea, se remarcă faptul că succesiunea diferențelor dintre două pătrate perfecte consecutive este succesiunea numerelor impare pozitive:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ..., 2 n - 1, 2 n + 1, ...

Al n-lea pătrat perfect este, prin urmare, echivalent cu suma primelor n numere impare, așa cum se poate vedea din figurile de mai sus, unde un pătrat este obținut din cel precedent prin adăugarea unui număr impar de puncte. De exemplu:

5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Suma numerelor impare poate fi scrisă ca o însumare: $n^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}(2k+1)$ ${\ displaystyle n ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (2k + 1)}$ ${\ displaystyle n ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (2k + 1)}$ .

Al n-lea pătrat perfect poate fi calculat din cel precedent în felul următor:

n ² = (n-1) ² + (2n-1)

De exemplu:

6 ² = 5 ² + (2 × 6 - 1) = 25 + 11 = 36

Al patrulea pătrat perfect poate fi calculat din următorii doi, după cum urmează:

n ² = 2 × (n-1) ² - (n-2) ² + 2

De exemplu:

6 ² = 2 × 5 ² - 4 ² + 2 = 2 × 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36

Al n-lea pătrat perfect poate fi calculat din trei precedente, după cum urmează:

n ² = (n-1) ² + (n-2) ² - (n-3) ² + 4

De exemplu:

6 ² = 5 ² + 4 ² - 3 ² + 4 = 25 + 16 - 9 + 4 = 45 - 9 = 36

Un pătrat perfect este, de asemenea, echivalent cu suma a două numere triunghiulare consecutive. Suma a două numere pătrate consecutive este un număr pătrat centrat . Fiecare număr pătrat impar este, de asemenea, un număr octogonal centrat .

Teorema celor patru pătrate spune că orice număr întreg pozitiv poate fi scris ca suma a 4 pătrate perfecte. 3 pătrate perfecte nu sunt suficiente pentru numerele de forma 4 ^m (8 h + 7). Un număr întreg pozitiv poate fi scris ca suma a două pătrate dacă și numai dacă factorizarea sa nu conține puteri impare ale numerelor prime sub forma 4 k +3. Acest rezultat este generalizat în problema Waring .

Un număr întreg pozitiv care nu are nici un pătrat perfect ca divizor, cu excepția 1, se numește fără pătrat .

Deoarece produsul a două numere negative este pozitiv, precum și produsul a două numere pozitive , niciun număr pătrat nu este negativ. Acest lucru are consecințe importante. Rezultă, în special, că nu este posibil să se extragă rădăcina pătrată a unui număr negativ din numere reale . Acest lucru lasă un gol în setul de reali pe care matematicienii au completat-o prin crearea numerelor imaginare , începând cu i , care este, prin convenție, rădăcina pătrată a -1.

O modalitate de a găsi pătratul unui număr n este să luați două numere care au n pentru medie, să le înmulțiți împreună și să adăugați pătratul abaterii de la medie. De exemplu:

21 ² = 20 × 22 + 1 ² = 441

Acest lucru funcționează ca o consecință a identității:

(xy) (x + y) = x ² –y ²

cunoscută sub numele de diferența de pătrate.

Pătrate perfecte raționale

Definiția unui pătrat perfect poate fi extinsă pe tărâmul numerelor raționale . Astfel, se introduce conceptul unui pătrat perfect rațional , adică un număr rațional non-negativ care poate fi exprimat ca o fracție care are o formă redusă având ca numărător și numitor două pătrate perfecte, al doilea dintre ele fiind diferit de 0 .

De exemplu 4/9 = 2/3 × 2/3.

Pătratele perfecte raționale sunt singurele numere raționale non-negative a căror rădăcină pătrată principală este, de asemenea, un număr rațional (non-negativ); rădăcinile pătrate ale tuturor celorlalte numere raționale sunt numere iraționale , adică nu pot fi exprimate ca fracții.

Notă

^ (EN) secvența A00290 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe pătrat perfect

linkuri externe

( EN ) Perfect square , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A00290 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]

V · D · M Numere figurate
Numere poligonale	Triunghiulara Număr · Număr pătrat · Număr pentagonală · Număr hexagonala · Număr heptagonala · Număr octogonal · Număr nonagonal · Număr decagonal · Număr de formă alungită · Număr poligonală centrală
Numere de poligon centrate	Număr triunghiular centrat · Număr centrat pătrat · pentagonal Număr centrat · hexagonal Număr centrat · heptagonal Număr centrat · octogonal Număr centrat · număr nonagonal centrat · Număr decagonal centrat · Număr stelat
Numere poliedrice	Tetraedral Numărul · Numărul piramidală pătrat · pentagonală piramidale număr · piramidă hexagonală Număr · piramidă Număr heptagonala · Număr octaedrala · Număr octaedrala trunchiate · stele Număr octangulare · Număr cilindrică · Nr cubică
Numere politopice	Număr de Pentatopic · Hypercubic numărul
Alte	Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale