Număr stea octangulară

124 de bile magnetice dispuse pentru a forma o stea octangulă . 124 este un număr înstelat octangular

În teoria numerelor , un număr de stea octangulară este un număr figurativ care reprezintă o stea octangulară .

Formula pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -numărul de stea octangulară este:

n(2n^{2}-1).

{\ displaystyle n (2n ^ {2} -1).}

{\ displaystyle n (2n ^ {2} -1).}

^[1]

Primele numere de stele octangulare sunt: 1 , 14 , 51 , 124 , 245 , 426 , 679 , 1016 , 1449 , 1990 , 2651 , 3444 ^[2] .

Proprietăți matematice

L ' $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -numărul de stea octangulară poate fi exprimat ca suma $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -al număr octaedric și de 8 ori mai mare decât $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -al număr tetraedric .

Singurele numere de stele octangulare care sunt, de asemenea, pătrate perfecte sunt 1 și 9653449 (3107²), respectiv primul și 169 din numerele acestei forme ^[3] . Acest lucru a fost demonstrat considerând că curba eliptică care descrie numerele stelelor octangulare și pătrate în același timp,

m^{2}=n(2n^{2}-1),

{\ displaystyle m ^ {2} = n (2n ^ {2} -1),}

{\ displaystyle m ^ {2} = n (2n ^ {2} -1),}

poate fi pus în forma echivalentă Weierstrass

x^{2}=y^{3}-2y

{\ displaystyle x ^ {2} = y ^ {3} -2y}

{\ displaystyle x ^ {2} = y ^ {3} -2y}

înlocuind $2m$ ${\ displaystyle 2m}$ $2m$ cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . De cand $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $2n^{2}-1$ ${\ displaystyle 2n ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle 2n ^ {2} -1}$ , cei doi factori ai $m^{2}$ ${\ displaystyle m ^ {2}}$ ${\ displaystyle m ^ {2}}$ , sunt mai întâi între ei , trebuie să fie și pătrate.

Acum, pozând $X={\frac {m}{\sqrt {n}}}$ ${\ displaystyle X = {\ frac {m} {\ sqrt {n}}}}$ ${\ displaystyle X = {\ frac {m} {\ sqrt {n}}}}$ Și $Y={\sqrt {n}}$ ${\ displaystyle Y = {\ sqrt {n}}}$ ${\ displaystyle Y = {\ sqrt {n}}}$ , da

X^{2}=2Y^{4}-1.

{\ displaystyle X ^ {2} = 2Y ^ {4} -1.}

{\ displaystyle X ^ {2} = 2Y ^ {4} -1.}

^[3]

Teorema lui Siegel afirmă că fiecare ecuație eliptică are doar un număr finit de soluții întregi, iar în 1942 matematicianul Wilhelm Ljunggren a publicat o dovadă complexă că cele două soluții cunoscute sunt unice. Din acest motiv, ultima echivalență este cunoscută și sub numele de ecuația lui Ljunggren ^[4] Louis J. Mordell a conjecturat că această dovadă ar putea fi simplificată, așa cum s-a întâmplat de fapt datorită mai multor matematicieni. ^[3] ^[5] ^[6] .

Notă

^ John Conway , Richard K. Guy , Cartea numerelor , Springer, 1996, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9 . .
^ (EN) secvența A007588 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ ^a ^b ^c Samir Siksek, Descents on Curves of Genus I ( PDF ) ^{[ link rupt ]} , în teză de doctorat , Universitatea din Exeter, 1995, pp. 16-17.
^ Wilhelm Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x ² + 1 = Dy ⁴ , în Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I. , vol. 1942, n. 5, 1942, p. 27 ..
^ Ray Steiner, Nikos Tzanakis, Simplificarea soluției ecuației lui Ljunggren X ² + 1 = 2 Y ⁴ ( PDF ), în Journal of Number Theory , vol. 37, n. 2, 1991, pp. 123-132. Adus la 24 august 2012 (arhivat din original la 4 martie 2016) .
^ Konstantinos A. Draziotis, Ecuația Ljunggren revizuită , în Colloquium Mathematicum , vol. 109, nr. 1, 2007, pp. 9-11.

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Stella octangula Number în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] John Conway , Richard K. Guy , Cartea numerelor , Springer, 1996, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9 . .

[2] (EN) secvența A007588 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[Siksek-3] Samir Siksek, Descents on Curves of Genus I ( PDF ) ^{[ link rupt ]} , în teză de doctorat , Universitatea din Exeter, 1995, pp. 16-17.

[4] Wilhelm Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x ² + 1 = Dy ⁴ , în Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I. , vol. 1942, n. 5, 1942, p. 27 ..

[5] Ray Steiner, Nikos Tzanakis, Simplificarea soluției ecuației lui Ljunggren X ² + 1 = 2 Y ⁴ ( PDF ), în Journal of Number Theory , vol. 37, n. 2, 1991, pp. 123-132. Adus la 24 august 2012 (arhivat din original la 4 martie 2016) .

[6] Konstantinos A. Draziotis, Ecuația Ljunggren revizuită , în Colloquium Mathematicum , vol. 109, nr. 1, 2007, pp. 9-11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Numere figurate
Numere poligonale	Triunghiulara Număr · Număr pătrat · Număr pentagonală · Număr hexagonala · Număr heptagonala · Număr octogonal · Număr nonagonal · Număr decagonal · Număr de formă alungită · Număr poligonală centrală
Numere de poligon centrate	Număr triunghiular centrat · Număr centrat pătrat · pentagonal Număr centrat · hexagonal Număr centrat · heptagonal Număr centrat · octogonal Număr centrat · număr nonagonal centrat · Număr decagonal centrat · Număr stelat
Numere poliedrice	Tetraedral Numărul · Numărul piramidală pătrat · pentagonală piramidale număr · piramidă hexagonală Număr · piramidă Număr heptagonala · Număr octaedrala · Număr octaedrala trunchiate · stele Număr octangulare · Număr cilindrică · Nr cubică
Numere politopice	Număr de Pentatopic · Hypercubic numărul
Alte	Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale