Număr piramidal pătrat

Reprezentarea geometrică a numărului piramidal 30 = 1 + 4 + 9 + 16.

Un număr de piramidă pătrată este un număr reprezentat care reprezintă o piramidă pe bază de pătrat. A n- a număr de acest tip este deci suma pătratelor primelor n numere naturale, care pot fi exprimate în formulă ca

\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3 } + 3n ^ {2} + n} {6}}.}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n} {6}}.

Această formulă este un caz particular al formulei lui Faulhaber și poate fi dovedită fie prin utilizarea numărării duble , prin inducție sau prin construcție algebrică. O formulă echivalentă se găsește în Liber abaci a lui Fibonacci ( 1202 , capitolul II.12).

Rețineți că această formulă returnează întotdeauna un număr întreg, de fapt:

n și n + 1 sunt două numere consecutive, deci unul dintre cele două este par;
unul dintre n , n + 1 și 2n + 1 este multiplu de 3 (respectiv dacă n = 3k , n = 3k + 2 , n = 3k + 1 );

numeratorul este apoi multiplu de 6 și, prin urmare, este simplificat cu numitorul.

Primele numere piramidale pătrate sunt

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506 , 650 , 819 ^[1] .

Aceste numere pot fi construite în spațiul fizic, așa cum se arată în figură, printr-o piramidă de sfere a căror bază are latura n .

Dovadă prin construcție algebrică

Se poate observa că:

\sum _{k=0}^{n}k^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=k+1}^{n}i

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ sum _ {i = k + 1} ^ {n} i }

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ sum _ {i = k + 1} ^ {n} i }

de fapt acesta este un mod de a grupa pătratele în mod diferit.

Să luăm un exemplu, luând cazul n = 5.

0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=

{\ displaystyle 0 ^ {2} + 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} =}

{\ displaystyle 0 ^ {2} + 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} =}

1+2+3+4+5+

{\ displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +}

{\ displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +}

2+3+4+5+

{\ displaystyle 2 + 3 + 4 + 5 +}

{\ displaystyle 2 + 3 + 4 + 5 +}

3+4+5+

{\ displaystyle 3 + 4 + 5 +}

{\ displaystyle 3 + 4 + 5 +}

4+5+

{\ displaystyle 4 + 5 +}

{\ displaystyle 4 + 5 +}

5

{\ displaystyle 5}

{\ displaystyle 5}

din această reprezentare se poate observa că, procedând astfel, unul reprezintă de 5 ori numărul cinci, de 4 ori numărul patru și așa mai departe, până la a reprezenta de 0 ori numărul zero. Prin urmare, suma pătratelor a fost rescrisă într-un alt mod. În acest moment, ne amintim de rezultatul deja cunoscut:

\sum _{i=0}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

este asta

\sum _{i=k}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {k(k-1)}{2}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}} - {\ frac {k (k-1)} {2}}}

\ sum _ {{i = k}} ^ {{n}} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}} - {\ frac {k (k-1)} {2}}

(atâta timp cât: $\sum _{i=k}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i-\sum _{i=0}^{k-1}i$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} i = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i- \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} i}$ $\ sum _ {{i = k}} ^ {{n}} i = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i- \ sum _ {{i = 0}} ^ {{k -1}} i$ )

poti sa scrii:

\sum _{k=0}^{n}k^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}[{\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {k(k+1)}{2}}]

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} [{\ frac {n (n + 1)} {2} } - {\ frac {k (k + 1)} {2}}]}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} [{\ frac {n (n + 1)} {2} } - {\ frac {k (k + 1)} {2}}]}

de la care:

\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)}{2}}(\sum _{k=0}^{n-1}1)-{\frac {1}{2}}(\sum _{k=0}^{n-1}k^{2})-{\frac {1}{2}}(\sum _{k=0}^{n-1}k)

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n (n + 1)} {2}} (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1 } 1) - {\ frac {1} {2}} (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k)}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n (n + 1)} {2}} (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1 } 1) - {\ frac {1} {2}} (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k)}

\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}-{\frac {1}{2}}(\sum _{k=0}^{n-1}k^{2})-{\frac {n(n-1)}{4}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1)} {2}} - {\ frac {1} {2} } (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {2}) - {\ frac {n (n-1)} {4}}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1)} {2}} - {\ frac {1} {2} } (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {2}) - {\ frac {n (n-1)} {4}}}

având în vedere că:

\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}=(\sum _{k=0}^{n}k^{2})-n^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {2} = (\ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2}) - n ^ {2}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k ^ {2} = (\ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2}) - n ^ {2}}

puteți aduce suma primului membru, obținând:

{\frac {3}{2}}\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}-{\frac {n(n-1)}{4}}+{\frac {n^{2}}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1)} {2}} - {\ frac {n (n-1)} {4}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}}}

{\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1)} {2}} - {\ frac {n (n-1)} {4}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}}}

din care este ușor să se deducă că:

\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n} {6}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n} {6}}.}

Relațiile cu alte numere figurate

Numerele piramidale pot fi exprimate și ca sume ale coeficienților binomiali :

{\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n-1)n(n+1)}{6}}={\frac {n(n+1)(n-1+n+2)}{6}}.

{\ displaystyle {\ binom {n + 2} {3}} + {\ binom {n + 1} {3}} = {\ frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}} + {\ frac {(n-1) n (n + 1)} {6}} = {\ frac {n (n + 1) (n-1 + n + 2)} {6}}.}

{\ displaystyle {\ binom {n + 2} {3}} + {\ binom {n + 1} {3}} = {\ frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}} + {\ frac {(n-1) n (n + 1)} {6}} = {\ frac {n (n + 1) (n-1 + n + 2)} {6}}.}

Mai mult, al n- lea număr piramidal este un sfert din al 2- lea număr tetraedric :

{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n(2n+2)(2n+1)}{4\cdot 6}}={\frac {1}{4}}T_{2n}.

{\ displaystyle {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n (2n + 2) (2n + 1)} {4 \ cdot 6}} = {\ frac {1} {4}} T_ {2n}.}

{\ displaystyle {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n (2n + 2) (2n + 1)} {4 \ cdot 6}} = {\ frac {1} {4}} T_ {2n}.}

Suma a două numere piramidale pătrate este un număr octaedric .

Pe lângă 1, singurul alt număr care este simultan un pătrat și un număr de piramidă pătrată este 4900, numărul 70 pătrat și numărul 24 piramidă. Acest lucru a fost dovedit de George Neville Watson în 1918 .

Singurele numere care sunt piramidale pătrate și triunghiulare în același timp sunt 1, 55, 91 și 208.335.

1 este, de asemenea, singurul număr care este atât piramidal pătrat, cât și tetraedric în același timp.

Pătrate într-un pătrat

O comună matematica de puzzle este de a găsi numărul de pătrate într - o n × n grilă. Se poate observa că:

numărul de pătrate 1x1 din grilă este $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ ;
numărul de pătrate 2x2 din grilă este $(n-1)^{2}$ ${\ displaystyle (n-1) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (n-1) ^ {2}}$ : acest număr poate fi găsit luând în considerare că fiecare intersecție, cu excepția celor din rândul inferior și coloana din dreapta, este colțul din stânga sus al unui pătrat din grilă;
în mod similar, numărul de pătrate k × k (pentru $1\leq k\leq n$ ${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ ) în grilă este $(n-k+1)^{2}$ ${\ displaystyle (n-k + 1) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (n-k + 1) ^ {2}}$ .

Atunci rezultă că numărul de pătrate într - o n × n grila este

x=n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots +1^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}},

{\ displaystyle x = n ^ {2} + (n-1) ^ {2} + (n-2) ^ {2} + (n-3) ^ {2} + \ ldots + 1 ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}},}

{\ displaystyle x = n ^ {2} + (n-1) ^ {2} + (n-2) ^ {2} + (n-3) ^ {2} + \ ldots + 1 ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}},}

acesta este al n- lea număr piramidal pătrat.

Notă

^ (EN) secvența A000330 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Articolul despre numerele piramidale pătrate , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] (EN) secvența A000330 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]

V · D · M Numere figurate
Numere poligonale	Triunghiulara Număr · Număr pătrat · Număr pentagonală · Număr hexagonala · Număr heptagonala · Număr octogonal · Număr nonagonal · Număr decagonal · Număr de formă alungită · Număr poligonală centrală
Numere de poligon centrate	Număr triunghiular centrat · Număr centrat pătrat · pentagonal Număr centrat · hexagonal Număr centrat · heptagonal Număr centrat · octogonal Număr centrat · număr nonagonal centrat · Număr decagonal centrat · Număr stelat
Numere poliedrice	Tetraedral Numărul · Numărul piramidală pătrat · pentagonală piramidale număr · piramidă hexagonală Număr · piramidă Număr heptagonala · Număr octaedrala · Număr octaedrala trunchiate · stele Număr octangulare · Număr cilindrică · Nr cubică
Numere politopice	Număr de Pentatopic · Hypercubic numărul
Alte	Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale