Numărul pentatopic

Animația unui pentatop compus din 70 de sfere, de latura 5. Pentatopul tridimensional este scanat în 5 secțiuni tridimensionale. Cele 5 straturi colorate ale acestuia corespund primelor 5 numere tetraedrice . Stratul inferior, în verde, este un tetraedru format din 35 de sfere.

În teoria numerelor , un număr pentatopic este un număr reprezentat care reprezintă un pentatop , analogul în spațiul cu patru dimensiuni al triunghiului bidimensional și al tetraedrului tridimensional. Primele numere pentatopice sunt: 1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 210 , 330 , 495 , 715 , 1001 , 1365 , 1820 , 2380 , 3060 , 3876 , 4845 ^[1] .

Definiție

Vizualizarea unui număr ca pentatopic este dificilă, dar se poate proceda prin analogie cu alte clase de numere figurate. Așa cum n - lea triunghiular număr este dat de suma numerelor întregi de la 1 la n, iar n - lea tetraedrice numărul este dată de suma numerelor triunghiulare de la 1 la n - lea, de tip n - lea pentatopic numărul este suma numerelor tetraedrice de la 1 la 'n -simo. La fel cum numerele triunghiulare ocupă locurile trei din dreapta în rândurile triunghiului lui Tartaglia și numerele tetraedrice ocupă locurile patru, numerele pentatopopice se găsesc în locurile cinci din dreapta. Formula pentru numărul pentatopic nth este:

{n+3 \choose 4}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={n^{\overline {4}} \over 4!}.

{\ displaystyle {n + 3 \ choose 4} = {\ frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} {24}} = {n ^ {\ overline {4}} \ over 4!}.}

{n + 3 \ alege 4} = {\ frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} {24}} = {n ^ {{overline 4}} \ peste 4!} .

Proprietăți matematice

Două din trei numere pentatopice sunt, de asemenea, numere pentagonale : pentru fiecare n , (3 n -2) al cincilea număr pentatopic corespunde întotdeauna cu [(3 n ² - n ) / 2] - numărul pentagonal; iar numărul (3 n -1) -th pentatopic coincide cu [(3 n ² + n ) / 2] -th numărul pentagonal. Tip n th pentatopic numărul 3 nu este pentagonală, cu toate acestea este un număr pentagonală generalizat care poate fi obținut prin atribuirea valorii (3 n ² + n) / 2 la parametrul formulei pentru numerele pentagonale.
Sumarea reciprocelor tuturor numerelor pentatopice infinite converge la ${\frac {4}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$ ${\ frac {4} {3}}$ . Acest lucru poate fi demonstrat prin setarea însumării ca o serie telescopică , astfel:

\sum _{n=1}^{\infty }{4! \over {n(n+1)(n+2)(n+3)}}={4 \over 3}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {4! \ over {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}} = {4 \ over 3}}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {4! \ over {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}} = {4 \ over 3}

Diagonalele poligoanelor intersectează un număr pentatopic de ori; prin trasarea diagonalelor unui poligon cu n laturi, se va forma o cantitate de intersecții egală cu ( n -3) -al număr pentatopic. De exemplu, diagonalele unui pătrat se intersectează în 1 punct, cele ale unui pentagon în 5 puncte, cele ale unui hexagon în 15 puncte, cele ale unui heptagon în 35, cele ale unui octagon în 70 și așa mai departe.

Notă

^ (EN) secvența A000332 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] (EN) secvența A000332 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]

V · D · M Numere figurate
Numere poligonale	Triunghiulara Număr · Număr pătrat · Număr pentagonală · Număr hexagonala · Număr heptagonala · Număr octogonal · Număr nonagonal · Număr decagonal · Număr de formă alungită · Număr poligonală centrală
Numere de poligon centrate	Număr triunghiular centrat · Număr centrat pătrat · pentagonal Număr centrat · hexagonal Număr centrat · heptagonal Număr centrat · octogonal Număr centrat · număr nonagonal centrat · Număr decagonal centrat · Număr stelat
Numere poliedrice	Tetraedral Numărul · Numărul piramidală pătrat · pentagonală piramidale număr · piramidă hexagonală Număr · piramidă Număr heptagonala · Număr octaedrala · Număr octaedrala trunchiate · stele Număr octangulare · Număr cilindrică · Nr cubică
Numere politopice	Număr de Pentatopic · Hypercubic numărul
Alte	Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale