Numărul înstelat
În teoria numerelor , un număr înstelat este un număr figurativ care reprezintă un hexagon înstelat .
| 1 | 13 | 37 | ||
|---|---|---|---|---|
 |  | |
Formula pentru numărul nth stele este:
Primele numere de stele sunt: 1 , 13 , 37 , 73 , 121 , 181 , 253 , 337 , 433 , 541 , 661 , 793 , 937 , 1093 , 1261 , 1441 , 1633 , 1837 , 2053 , 2281 , 2521 , 2773 , 3037 , 3313 , 3601 , 3901 , 4213 , 4537 , 4873 , 5221 , 5581 , 5953 , 6337 , 6733 , 7141 , 7561 , 7993 , 8437 , 8893 , 9361 , 9841 , 10333 , 10837 , 11353 [1] .
Proprietăți matematice
Setul de numere înstelate coincide cu cel al numerelor centrate pe douăsprezece fețe : de fapt, punctele care alcătuiesc un hexagon înstelat pot fi rearanjate într-un dodecagon. Numărul stelei n poate fi văzut ca suma a 1 punct central și de șase ori numărul ( n -1) al treilea triunghi . Cunoscând al n-lea număr de stele, următorul poate fi obținut prin adăugarea a 12 n .
În baza 10 , rădăcina numerică a unui număr înstelat este întotdeauna 1 sau 4, iar ultimele două cifre pot fi doar 01, 13, 21, 33, 37, 41, 53, 61, 73, 81 sau 93: deci ultima cifră este fie 1, fie 3 sau 7.
Există numere infinite, atât stelate, cât și triunghiulare; primele sunt 1, 253, 49141, 9533161, 1849384153,… [2] . Ele corespund cu numărul 1, 22, 313, 4366, 60817,… [3] număr triunghiular și cu 1, 7, 91, 1261, 17557,… [4] . Al n- lea număr care trebuie să fie atât triunghiular, cât și în formă de stea poate fi calculat cu formula
- ,
![{\ frac {3 [(7 + 4 {\ sqrt {3}}) ^ {{2n-1}} + (7-4 {\ sqrt {3}}) ^ {{2n-1}}] - 10 } {32}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744a7a81d8f5769155b85d589efe11954eaf060a)
care dă întotdeauna un număr întreg la numărul întreg n . Mai simplu, dacă sunt cunoscute cele două numere de stele triunghiulare precedente, al n-lea poate fi găsit înmulțind (n-1) -th cu 194, adunând 60 și scăzând ( n -2) -th.
Există, de asemenea, un număr infinit de stele și pătrate în același timp: primele sunt 1, 121, 11881, 1164241, 114083761, 11179044361, 1095432263641, ... [5] . Acestea corespund cu 1º, 11º, 109º, 1079º, 10681º, 105731º, 1046629º, ... [6] pătrat perfect și primul, al 5-lea, 45º, 441º, 4361º, 43165º, 427285º, ... [7] numărul stelei . Numerele pătrate în formă de stea pot fi obținute din soluțiile ecuației diofantine
Formula pentru steaua - lea n și numărul pătrat este:
![{\ frac {[(5 + 2 {\ sqrt {6}}) ^ {n} ({\ sqrt {6}} - 2) - (5-2 {\ sqrt {6}}) ^ {n} ( {\ sqrt {6}} + 2)] ^ {2}} {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a24266bb381c2304bae1b4fb8f5b2b5995b2ff2)
Un număr prim care este și înstelat se numește prim stelat . Primele sunt 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937, 1093, 2053 [8] .
Funcția generatoare pentru numerele de stele este:
Aplicații
13, un număr de stele, este numărul coloniilor fondatoare ale Statelor Unite ale Americii . În stema Statelor Unite ale Americii există 13 stele mici aranjate într-un hexagon înstelat.
Tabla de șah din dame chineze este formată din 121 de pătrate dispuse pentru a forma un hexagon înstelat.
Notă
- ^ (EN) secvența A003154 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
- ^ (EN) secvența A006060 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
- ^ (EN) secvența A068774 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
- ^ (EN) secvența A068775 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
- ^ (EN) secvența A006061 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
- ^ (EN) secvența A054320 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
- ^ (EN) secvența A068778 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
- ^ (EN) secvența A083577 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
linkuri externe
- (EN) Eric W. Weisstein, numărul stelei , în MathWorld Wolfram Research.
