Numărul heptagonal

Primele cinci numere heptagonale

Un număr heptagonal este un număr poligonal care reprezintă un heptagon cu n laturi. Al doilea număr heptagonal poate fi calculat cu formula:

\,{5n^{2}-3n \over 2}

{\ displaystyle \, {5n ^ {2} -3n \ peste 2}}

{\ displaystyle \, {5n ^ {2} -3n \ peste 2}}

.

Primele 20 de numere heptagonale sunt:

1 , 7 , 18 , 34 , 55 , 81 , 112 , 148 , 189 , 235 , 286 , 342 , 403 , 469 , 540 , 616 , 697 , 783 , 874 , 970 , 1071 , 1177 , 1288 , 1404 , 1525 , 1651 , 1782 , 1918 , 2059, 2205, 2356, 2512, 2673, 2839, 3010, 3186, 3367, 3553, 3744, 3940, 4141, 4347, 4558, 4774, 4995, 5221, 5452, 5688 (secvența A000566 din OEIS ).

Paritatea numerelor heptagonale urmează modelul impar-impar, pare-egal. Ca și în cazul numerelor pătrate , rădăcina digitală de bază 10 a unui număr heptagonal poate fi doar 1, 4, 7 sau 9.

Cvintupul unui număr heptagonal crescut cu 1 este un număr triunghiular .

Formula pentru suma reciprocelor numerelor heptagonale este dată de

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2} {n (5n-3)}} = {\ frac {1} {15}} {\ pi} {\ sqrt { 25-10 {\ sqrt {5}}}} + {\ frac {2} {3}} \ ln (5) + {\ frac {{1} + {\ sqrt {5}}} {3}} \ ln \ left ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} \ right) + {\ frac {{1} - {\ sqrt {5}}} {3}} \ ln \ left ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right)}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2} {n (5n-3)}} = {\ frac {1} {15}} {\ pi} {\ sqrt { 25-10 {\ sqrt {5}}}} + {\ frac {2} {3}} \ ln (5) + {\ frac {{1} + {\ sqrt {5}}} {3}} \ ln \ left ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} \ right) + {\ frac {{1} - {\ sqrt {5}}} {3}} \ ln \ left ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right)}

^[1]

Funcția generatoare pentru numerele heptagonale este

{\frac {x(4x+1)}{(1-x)^{3}}}.

{\ displaystyle {\ frac {x (4x + 1)} {(1-x) ^ {3}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {x (4x + 1)} {(1-x) ^ {3}}}.}

Numere heptagonale generalizate

Din formulă se obține un număr heptagonal generalizat

T_{n}+T_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor },

{\ displaystyle T_ {n} + T _ {\ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor},}

{\ displaystyle T_ {n} + T _ {\ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor},}

unde T _n este al n - lea număr triunghiular . Primele numere heptagonale generalizate sunt:

1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112 (secvența A085787 a OEIS ).

Orice alt număr heptagonal generalizat este un număr heptagonal regulat. Cu excepția 1 și 70, niciun alt număr heptagonal generalizat nu este, de asemenea, un număr Pell . ^[2]

Notă

^ Dincolo de problema de la Basel: Sume de reciproce ale numerelor figurate
^ B. Srinivasa Rao, "Numere heptagonale în secvența Pell și ecuații diofantine $2x^{2}=y^{2}(5y-3)^{2}\pm 2$ ${\ displaystyle 2x ^ {2} = y ^ {2} (5y-3) ^ {2} \ pm 2}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2} = y ^ {2} (5y-3) ^ {2} \ pm 2}$ „ Fib. Quart. 43 3: 194

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Dincolo de problema de la Basel: Sume de reciproce ale numerelor figurate

[2] B. Srinivasa Rao, "Numere heptagonale în secvența Pell și ecuații diofantine $2x^{2}=y^{2}(5y-3)^{2}\pm 2$ ${\ displaystyle 2x ^ {2} = y ^ {2} (5y-3) ^ {2} \ pm 2}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2} = y ^ {2} (5y-3) ^ {2} \ pm 2}$ „ Fib. Quart. 43 3: 194

[1]

[2]

V · D · M Numere figurate
Numere poligonale	Triunghiulara Număr · Număr pătrat · Număr pentagonală · Număr hexagonala · Număr heptagonala · Număr octogonal · Număr nonagonal · Număr decagonal · Număr de formă alungită · Număr poligonală centrală
Numere de poligon centrate	Număr triunghiular centrat · Număr centrat pătrat · pentagonal Număr centrat · hexagonal Număr centrat · heptagonal Număr centrat · octogonal Număr centrat · număr nonagonal centrat · Număr decagonal centrat · Număr stelat
Numere poliedrice	Tetraedral Numărul · Numărul piramidală pătrat · pentagonală piramidale număr · piramidă hexagonală Număr · piramidă Număr heptagonala · Număr octaedrala · Număr octaedrala trunchiate · stele Număr octangulare · Număr cilindrică · Nr cubică
Numere politopice	Număr de Pentatopic · Hypercubic numărul
Alte	Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale