Număr poligonal

În matematică , un număr poligonal este un număr figurativ care poate fi aranjat pentru a reprezenta un poligon regulat.

Introducere

Matematicienii antici au descoperit că unele numere pot fi descrise în anumite moduri atunci când sunt reprezentate de semințe sau pietricele. Numărul 10, de exemplu, poate forma un triunghi :

și, prin urmare, este un număr triunghiular , dar nu poate forma un pătrat , spre deosebire de numărul 9, care este exact un număr pătrat (sau pătrat perfect )

Unele numere, cum ar fi 36, care pot fi reprezentate atât ca pătrate, cât și ca triunghiuri, se numesc numere pătrate triunghiulare :

Numerele pentagonale, hexagonale și, în general, s -gonale sunt definite în mod similar. Cu toate acestea, în aceste cazuri, diagrama rezultată nu mai este foarte compactă, ca în cazul poligoanelor cu trei sau patru laturi.
Indicând cu $P_{s}(n)$ ${\ displaystyle P_ {s} (n)}$ $P_ {s} (n)$ al n - lea număr s -gonal este definit în general
$P_{s}(1)=1$ ${\ displaystyle P_ {s} (1) = 1}$ $P_ {s} (1) = 1$ Și $P_{s}(2)=s$ ${\ displaystyle P_ {s} (2) = s}$ $P_ {s} (2) = s$ oricare ar fi s , adică al doilea număr din seria de numere s -gonale este egal cu numărul de vârfuri (sau laturi) ale poligonului.

Următoarele numere s -gonale se obțin prin extinderea a două laturi consecutive ale poligonului cu un punct și apoi adăugarea laturilor rămase (toate de aceeași lungime) între ele. În diagramele următoare, trecerea de la un număr la următorul este indicată cu puncte roșii.

Numere triunghiulare

Al n- lea număr triunghiular T ( n ) se obține prin adunarea primelor n numere naturale :

T(n)=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}

{\ displaystyle T (n) = 1 + 2 + 3 + \ ldots + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}} = {\ binom {n + 1} {2}}}

T (n) = 1 + 2 + 3 + \ ldots + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}} = {\ binom {n + 1} {2}}

( Formula Gauss ).

Numerele triunghiulare pot fi obținute recursiv:

T(n)=T(n-1)+n

{\ displaystyle T (n) = T (n-1) + n}

T (n) = T (n-1) + n

pentru

n>1

{\ displaystyle n> 1}

n> 1

(amintindu-mi asta

T(1)=1

{\ displaystyle T (1) = 1}

T (1) = 1

).

Numere pătrate

Al n- lea număr pătrat Q ( n) se obține prin adunarea primelor n numere impare :

Q(n)=1+3+5+\ldots +(2n-1)=n^{2}

{\ displaystyle Q (n) = 1 + 3 + 5 + \ ldots + (2n-1) = n ^ {2}}

Q (n) = 1 + 3 + 5 + \ ldots + (2n-1) = n ^ {2}

.

Numerele pătrate pot fi obținute recursiv:

Q(n)=Q(n-1)+(2n-1)

{\ displaystyle Q (n) = Q (n-1) + (2n-1)}

Q (n) = Q (n-1) + (2n-1)

pentru

n>1

{\ displaystyle n> 1}

n> 1

(

Q(1)=1

{\ displaystyle Q (1) = 1}

Q (1) = 1

)

Identitatea este valabilă

Q(n)=T(n)+T(n-1)

{\ displaystyle Q (n) = T (n) + T (n-1)}

Q (n) = T (n) + T (n-1)

adică fiecare pătrat perfect poate fi obținut prin adăugarea a două numere triunghiulare consecutive. Egalitatea poate fi ușor dovedită prin formula Gauss. Același rezultat poate fi dedus din următoarea figură în care pătratul a fost împărțit în două triunghiuri, unul cu latura egală cu cea a pătratului (conține diagonala), iar cealaltă cu o latură mai mică decât una.

Numere pentagonale

Al cincilea număr pentagonal $P_{5}(n)$ ${\ displaystyle P_ {5} (n)}$ $P_ {5} (n)$ se obține prin construirea unui pentagon nou începând cu cel anterior, adăugând un punct la două laturi adiacente și construind celelalte trei laturi de la zero și numărând toate punctele, vechi și noi. Practic $P_{5}(n)$ ${\ displaystyle P_ {5} (n)}$ $P_ {5} (n)$ se obține prin adăugarea a $P_{5}(n-1)$ ${\ displaystyle P_ {5} (n-1)}$ $P_ {5} (n-1)$ cele trei laturi noi ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ puncte pentru un total de $3n-2$ ${\ displaystyle 3n-2}$ $3n-2$ puncte:

P_{5}(n)=P_{5}(n-1)+(3n-2)

{\ displaystyle P_ {5} (n) = P_ {5} (n-1) + (3n-2)}

P_ {5} (n) = P_ {5} (n-1) + (3n-2)

Dezvoltând înapoi, înlocuind fiecare număr pentagonal în funcție de cel anterior:

P_{5}(n)=3(1+2+3+\ldots +(n-1)+n)-2n=3{\frac {n(n+1)}{2}}-2n={\frac {1}{2}}n(3n-1)

{\ displaystyle P_ {5} (n) = 3 (1 + 2 + 3 + \ ldots + (n-1) + n) -2n = 3 {\ frac {n (n + 1)} {2}} - 2n = {\ frac {1} {2}} n (3n-1)}

P_ {5} (n) = 3 (1 + 2 + 3 + \ ldots + (n-1) + n) -2n = 3 {\ frac {n (n + 1)} {2}} - 2n = { \ frac {1} {2}} n (3n-1)

Care este echivalent cu:

P_{5}(n)=1+4+7+10+\ldots +(3n-2)

{\ displaystyle P_ {5} (n) = 1 + 4 + 7 + 10 + \ ldots + (3n-2)}

P_ {5} (n) = 1 + 4 + 7 + 10 + \ ldots + (3n-2)

De la

P_{5}(n)={\frac {1}{2}}n(3n-1)

{\ displaystyle P_ {5} (n) = {\ frac {1} {2}} n (3n-1)}

P_ {5} (n) = {\ frac {1} {2}} n (3n-1)

cu pași simpli veți obține:

P_{5}(n)=n^{2}+{\frac {n(n-1)}{2}}=Q(n)+T(n-1)=T(n)+2T(n-1)

{\ displaystyle P_ {5} (n) = n ^ {2} + {\ frac {n (n-1)} {2}} = Q (n) + T (n-1) = T (n) + 2T (n-1)}

P_ {5} (n) = n ^ {2} + {\ frac {n (n-1)} {2}} = Q (n) + T (n-1) = T (n) + 2T (n -1)

Adică, orice număr pentagonal poate fi exprimat în funcție de numere triunghiulare.

Numere hexagonale

Cu argumente similare cu cele efectuate mai sus, se obțin identitățile :

P_{6}(n)=1+5+9+\ldots +(4n-3)

{\ displaystyle P_ {6} (n) = 1 + 5 + 9 + \ ldots + (4n-3)}

P_ {6} (n) = 1 + 5 + 9 + \ ldots + (4n-3)

P_{6}(n)={\frac {4n^{2}-2n}{2}}=n(2n-1)

{\ displaystyle P_ {6} (n) = {\ frac {4n ^ {2} -2n} {2}} = n (2n-1)}

P_ {6} (n) = {\ frac {4n ^ {2} -2n} {2}} = n (2n-1)

P_{6}(n)=P_{6}(n-1)+(4n-3)

{\ displaystyle P_ {6} (n) = P_ {6} (n-1) + (4n-3)}

P_ {6} (n) = P_ {6} (n-1) + (4n-3)

P_{6}(n)=P_{5}(n)+T(n-1)=Q(n)+2T(n-1)=T(n)+3T(n-1)

{\ displaystyle P_ {6} (n) = P_ {5} (n) + T (n-1) = Q (n) + 2T (n-1) = T (n) + 3T (n-1)}

P_ {6} (n) = P_ {5} (n) + T (n-1) = Q (n) + 2T (n-1) = T (n) + 3T (n-1)

Formule generale

Dacă s este numărul laturilor unui poligon, formula pentru al n - lea număr s -gonal se obține prin adăugarea la numărul anterior s -gonal $(s-2)$ ${\ displaystyle (s-2)}$ $(s-2)$ laturile lungi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , pentru un total de $(s-2)(n-1)+1$ ${\ displaystyle (s-2) (n-1) +1}$ $(s-2) (n-1) +1$ puncte, adică

P_{s}(n)=P_{s}(n-1)+(s-2)(n-1)+1

{\ displaystyle P_ {s} (n) = P_ {s} (n-1) + (s-2) (n-1) +1}

P_ {s} (n) = P_ {s} (n-1) + (s-2) (n-1) +1

Se arată cu ușurință că acest lucru este echivalent cu

P_{s}(n)={{(s-2)n^{2}-(s-4)n} \over 2}.

{\ displaystyle P_ {s} (n) = {{(s-2) n ^ {2} - (s-4) n} \ peste 2}.}

P_ {s} (n) = {{(s-2) n ^ {2} - (s-4) n} \ peste 2}.

Prin generalizarea formulelor obținute pentru numerele pentagonale și hexagonale, se obțin și următoarele identități

P_{s}(n)=P_{s-1}(n)+T(n-1)

{\ displaystyle P_ {s} (n) = P_ {s-1} (n) + T (n-1)}

P_ {s} (n) = P _ {{s-1}} (n) + T (n-1)

P_{s}(n)=P_{s-k}(n)+kT(n-1)\ \forall \ k\leq \;s-3

{\ displaystyle P_ {s} (n) = P_ {sk} (n) + kT (n-1) \ \ forall \ k \ leq \; s-3}

{\ displaystyle P_ {s} (n) = P_ {s-k} (n) + kT (n-1) \ \ forall \ k \ leq \; s-3}

prin urmare

P_{s}(n)=T(n)+(s-3)T(n-1)

{\ displaystyle P_ {s} (n) = T (n) + (s-3) T (n-1)}

P_ {s} (n) = T (n) + (s-3) T (n-1)

De cand

T(n)=T(n-1)+n

{\ displaystyle T (n) = T (n-1) + n}

T (n) = T (n-1) + n

, asa de

P_{s}(n)=(s-2)T(n-1)+n

{\ displaystyle P_ {s} (n) = (s-2) T (n-1) + n}

P_ {s} (n) = (s-2) T (n-1) + n

Tabelul primelor numere s -gonale

Ori de câte ori este posibil, formulele de generare din tabel au fost simplificate.

Nume	Formulă	n = 1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Triunghiular	½ n ( n + 1)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
Pătrat	n ²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
Pentagonal	½ n (3 n - 1)	1	5	12	22	35	51	70	nouăzeci și doi	117	145	176	210	247
Hexagonal	n (2 n - 1)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
Hectagonal	½ n (5 n - 3)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
Octogonal	n (3 n - 2)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
Ennagonal	½ n (7 n - 5)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
Decagonal	n (4 n - 3)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
11-gonal	½ n (9 n - 7)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
12-gonal	n (5 n - 4)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
13-gonal	½ n (11 n - 9)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
14-gonal	n (6 n - 5)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
15-gonal	½ n (13 n - 11)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
16-gonal	n (7 n - 6)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
17-gonal	½ n (15 n - 13)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
18-gonal	n (8 n - 7)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
19-gonal	½ n (17 n - 15)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
20-gonal	n (9 n - 8)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
21-gonal	½ n (19 n - 17)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
22-gonal	n (10 n - 9)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
23-gonal	½ n (21 n - 19)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
24-gonal	n (11 n - 10)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
25-gonal	½ n (23 n - 21)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
26-gonal	n (12 n - 11)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
27-gonal	½ n (25 n - 23)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
28-gonal	n (13 n - 12)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
29-gonal	½ n (27 n - 25)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
30-gonal	n (14 n - 13)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197

Formula inversă

Pentru un număr s -gonal dat x , este posibil să se găsească n prin formula:

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+(s-4)^{2}}}+s-4}{2(s-2)}}.

{\ displaystyle n = {\ frac {{\ sqrt {8 (s-2) x + (s-4) ^ {2}}} + s-4} {2 (s-2)}}.}

n = {\ frac {{\ sqrt {8 (s-2) x + (s-4) ^ {2}}} + s-4} {2 (s-2)}}.

Bibliografie

Numere poligonale pe MathWorld , pe mathworld.wolfram.com .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Număr poligonal , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 37193 · LCCN (EN) sh85093217

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Numere figurate
Numere poligonale	Triunghiulara Număr · Număr pătrat · Număr pentagonală · Număr hexagonala · Număr heptagonala · Număr octogonal · Număr nonagonal · Număr decagonal · Număr de formă alungită · Număr poligonală centrală
Numere de poligon centrate	Număr triunghiular centrat · Număr centrat pătrat · pentagonal Număr centrat · hexagonal Număr centrat · heptagonal Număr centrat · octogonal Număr centrat · număr nonagonal centrat · Număr decagonal centrat · Număr stelat
Numere poliedrice	Tetraedral Numărul · Numărul piramidală pătrat · pentagonală piramidale număr · piramidă hexagonală Număr · piramidă Număr heptagonala · Număr octaedrala · Număr octaedrala trunchiate · stele Număr octangulare · Număr cilindrică · Nr cubică
Numere politopice	Număr de Pentatopic · Hypercubic numărul
Alte	Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale