Număr triunghiular

În matematică , un număr triunghiular este un număr poligonal care poate fi reprezentat sub forma unui triunghi , adică luat un set cu o cardinalitate (cantitate de elemente) egală cu numărul în cauză, este posibil să îi aranjăm elementele pe o grilă regulată, astfel încât să formeze un triunghi echilateral sau un triunghi isoscel , ca în figura de mai jos.

1		3		6		10		15		21

Formula Gauss

Al n-lea număr triunghiular poate fi obținut cu formula Gauss ; poartă numele matematicianului pentru o simplă chestiune de obicei istoric, dar conform canoanelor de atribuire a priorităților folosite în matematică, având în vedere simplitatea și antichitatea subiectului, ar trebui cu siguranță atribuită terților:

T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.

{\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}.}

T_ {n} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}.

Din această formulă rezultă că niciun număr triunghiular pentru n mai mare de 2 nu este prim. Observând, deci, că fiecare rând al triunghiului este alcătuit dintr-un număr de elemente egal cu indicele rândului și, prin urmare, conține încă un element decât rândul anterior, este ușor de verificat dacă formula corespunde cu cea a suma primului $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ termenii progresiei aritmetice a rațiunii 1:

T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n.

{\ displaystyle T_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k = 1 + 2 + 3 + \ dotsb + n.}

T_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} k = 1 + 2 + 3 + \ dotsb + n.

De asemenea, este posibil să se obțină o justificare geometrică a formulei: apropiind un triunghi egal cu al treilea triunghi, obținem un dreptunghi de laturi $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ Și $n+1\$ ${\ displaystyle n + 1 \}$ $n + 1 \$ , care este format din $n(n+1)$ ${\ displaystyle n (n + 1)}$ $n (n + 1)$ puncte, dublați cele ale triunghiului.

2		6		12		20		30		42

Al n-lea număr triunghiular corespunde numărului de perechi neordonate posibile extrase dintr-un set de $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ elemente.

Demonstrație

Dovedim prin inducție pe n. Este necesar să se verifice dacă formula:

T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}

{\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

{\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

este valabil pentru n = 1 și pentru fiecare succesor al lui n , adică n +1. Primul caz, pentru n = 1, apare ușor:

T_{1}={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1

{\ displaystyle T_ {1} = {\ frac {1 (1 + 1)} {2}} = {\ frac {2} {2}} = 1}

{\ displaystyle T_ {1} = {\ frac {1 (1 + 1)} {2}} = {\ frac {2} {2}} = 1}

Pentru n succesori este necesar să se demonstreze că:

T_{n+1}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}

{\ displaystyle T_ {n + 1} = {\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2}}}

{\ displaystyle T_ {n + 1} = {\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2}}}

Intr-adevar

T_{n+1}=T_{n}+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}

{\ displaystyle T_ {n + 1} = T_ {n} + (n + 1) = {\ frac {n (n + 1)} {2}} + (n + 1) = {\ frac {n (n +1) +2 (n + 1)} {2}} = {\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2}}}

{\ displaystyle T_ {n + 1} = T_ {n} + (n + 1) = {\ frac {n (n + 1)} {2}} + (n + 1) = {\ frac {n (n +1) +2 (n + 1)} {2}} = {\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2}}}

Lista numerelor triunghiulare

Primele numere triunghiulare sunt:

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 , 66 , 78 , 91 , 105 , 120 , 136 , 153 , 171 , 190 , 210 , 231 , 253 , 276 , 300 , 325 , 351 , 378 , 406 , 435 , 465 , 496 , 528 , 561 , 595 , 630 , 666 , 703 , 741 , 780 , 820 , 861 , 903 , 946 , 990 , 1035 , 1081 , 1128 , 1176 , 1225 , 1275 , 1326 , 1378 , 1431 , 1485 , 1540 , 1596 , 1653 , 1711 , 1770 , 1830 , 1891 , 1953 , 2016 , 2080 , 2145 , 2211 , 2278 , 2346 , 2415 , 2485 , 2556 , 2628 , 2701 , 2775 , 2850 , 2926 , 3003 , 3081 , 3160 , 3240 etc.

și reprezintă succesiunea A000217 a OEIS .

Relațiile cu alte numere figurate

Suma a două numere triunghiulare succesive este un număr pătrat :

n^{2}\,=\,{n(n-1) \over 2}+{n(n+1) \over 2}

{\ displaystyle n ^ {2} \, = \, {n (n-1) \ peste 2} + {n (n + 1) \ peste 2}}

n ^ {2} \, = \, {n (n-1) \ peste 2} + {n (n + 1) \ peste 2}

;

4		9		16		25		36

există numere triunghiulare infinite care sunt și numere pătrate;
fiecare număr natural poate fi scris ca suma a cel mult trei numere triunghiulare (posibil repetate, ca în $20=10+10$ ${\ displaystyle 20 = 10 + 10}$ $20 = 10 + 10$ ; această proprietate a fost descoperită de Gauss în 1796 și este un caz particular al teoremei lui Fermat asupra numerelor poligonale ;
suma primului $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ numerele triunghiulare este egal cu al n-lea număr tetraedric ;
al n-lea număr pentagonal este o treime din numărul triunghiular pentru $3n-1$ ${\ displaystyle 3n-1}$ $3n-1$ ; orice alt număr triunghiular este un număr hexagonal ;
diferența dintre numărul n-m-gonal și numărul n-m (m + 1) -gonal este egală cu numărul (n-1) -th triunghiular.

Alte proprietăți

$T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab$ ${\ displaystyle T_ {a + b} = T_ {a} + T_ {b} + ab}$ $T _ {{a + b}} = T _ {{a}} + T _ {{b}} + ab$ (suma numerelor triunghiulare);
$T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},$ ${\ displaystyle T_ {ab} = T_ {a} T_ {b} + T_ {a-1} T_ {b-1},}$ $T _ {{ab}} = T _ {{a}} T _ {{b}} + T _ {{a-1}} T _ {{b-1}},$ (produsul numerelor triunghiulare);
toate numerele perfecte sunt triunghiulare;
reciprocele numerelor triunghiulare formează seria Mengoli înmulțită cu 2; suma lor este deci 2;
pătratul numărului n-triunghiular este egal cu suma primelor $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ cuburi:

T_{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{3}

{\ displaystyle T_ {n} ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3}}

T_ {n} ^ {2} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} k ^ {3}

;

Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema lui Nicomachus .

numerele triunghiulare se succed întotdeauna alternând două numere impare cu două numere pare.

Test pentru numerele triunghiulare

Pentru a determina dacă numărul $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ este triunghiular putem calcula expresia:

m={\frac {{\sqrt {8n+1}}-1}{2}}.

{\ displaystyle m = {\ frac {{\ sqrt {8n + 1}} - 1} {2}}.}

m = {\ frac {{\ sqrt {8n + 1}} - 1} {2}}.

De sine, $m\$ ${\ displaystyle m \}$ $m \$ atunci este întreg $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ este al m-lea număr triunghiular, altfel $n\$ ${\ displaystyle n \}$ $n \$ nu este triunghiulară.

Acest test își găsește legitimitatea în faptul că: $8\cdot T_{n}+1=8\cdot {n\cdot (n+1) \over 2}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}$ ${\ displaystyle 8 \ cdot T_ {n} + 1 = 8 \ cdot {n \ cdot (n + 1) \ over 2} + 1 = 4n ^ {2} + 4n + 1 = (2n + 1) ^ {2 }}$ ${\ displaystyle 8 \ cdot T_ {n} + 1 = 8 \ cdot {n \ cdot (n + 1) \ over 2} + 1 = 4n ^ {2} + 4n + 1 = (2n + 1) ^ {2 }}$

Demonstrația grafică este, de asemenea, foarte evidentă și simplă, atât de mult încât a fost cunoscută din cele mai vechi timpuri și, prin urmare, precede introducerea algebrei simbolice. Printre sursele acreditate care raportează teorema, se remarcă și numele de Plutarh , motiv pentru care identitatea este uneori citată ca identitate a lui Plutarh.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu număr triunghiular

linkuri externe

Numere triunghiulare în OEIS, enciclopedia secvențelor numerice

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Numere figurate
Numere poligonale	Triunghiulara Număr · Număr pătrat · Număr pentagonală · Număr hexagonala · Număr heptagonala · Număr octogonal · Număr nonagonal · Număr decagonal · Număr de formă alungită · Număr poligonală centrală
Numere de poligon centrate	Număr triunghiular centrat · Număr centrat pătrat · pentagonal Număr centrat · hexagonal Număr centrat · heptagonal Număr centrat · octogonal Număr centrat · număr nonagonal centrat · Număr decagonal centrat · Număr stelat
Numere poliedrice	Tetraedral Numărul · Numărul piramidală pătrat · pentagonală piramidale număr · piramidă hexagonală Număr · piramidă Număr heptagonala · Număr octaedrala · Număr octaedrala trunchiate · stele Număr octangulare · Număr cilindrică · Nr cubică
Numere politopice	Număr de Pentatopic · Hypercubic numărul
Alte	Teorema lui Fermat asupra numerelor poligonale