Teorema lui Nicomac

Dovada grafică a teoremei

În teoria numerelor , teorema lui Nicomachus (numită după matematicianul grec antic Nicomachus din Gerasa ) afirmă că suma cuburilor primelor n numere întregi este egală cu pătratul celui de - al n - lea număr triunghiular . ^[1] Numerele triunghiulare pot fi exprimate ca suma primelor n numere întregi:

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.

{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = \ left (1 + 2 + 3 + \ cdots + n \ right) ^ {2} .}

{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = \ left (1 + 2 + 3 + \ cdots + n \ right) ^ {2} .}

Această relație poate fi scrisă compact prin însumări:

\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k \ right) ^ {2}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k \ right) ^ {2}.}

^[2]

Demonstrație

Teorema a fost dovedită în diferite moduri în ultimele două secole. În 1854, omul de știință englez Charles Wheatstone a oferit o demonstrație deosebit de simplă a acestui lucru, pe baza proprietății că al n - lea cub poate fi exprimat ca suma a n numere impare consecutive:

1^{3}=1

{\ displaystyle 1 ^ {3} = 1}

{\ displaystyle 1 ^ {3} = 1}

2^{3}=8=3+5

{\ displaystyle 2 ^ {3} = 8 = 3 + 5}

{\ displaystyle 2 ^ {3} = 8 = 3 + 5}

3^{3}=27=7+9+11

{\ displaystyle 3 ^ {3} = 27 = 7 + 9 + 11}

{\ displaystyle 3 ^ {3} = 27 = 7 + 9 + 11}

4^{3}=64=13+15+17+19

{\ displaystyle 4 ^ {3} = 64 = 13 + 15 + 17 + 19}

{\ displaystyle 4 ^ {3} = 64 = 13 + 15 + 17 + 19}

si asa mai departe. În lumina acestui fapt se arată că

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}=1}+\underbrace {3+5} _{2^{3}=8}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}=27}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}=64}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} & = 1 + 8 + 27 + 64 + \ cdots + n ^ {3} \\ & = \ underbrace {1} _ {1 ^ {3} = 1} + \ underbrace {3 + 5} _ {2 ^ {3} = 8} + \ underbrace {7 + 9 + 11} _ {3 ^ {3} = 27 } + \ underbrace {13 + 15 + 17 + 19} _ {4 ^ {3} = 64} + \ cdots + \ underbrace {\ left (n ^ {2} -n + 1 \ right) + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ right)} _ {n ^ {3}} \\ & = \ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {1} _ {1 ^ {2}} + 3} _ {2 ^ {2}} + 5} _ {3 ^ {2}} + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ right)} _ {\ left ({\ frac { n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2}} \\ & = (1 + 2 + \ cdots + n) ^ {2} \\ & = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k \ right) ^ {2}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} & = 1 + 8 + 27 + 64 + \ cdots + n ^ {3} \\ & = \ underbrace {1} _ {1 ^ {3} = 1} + \ underbrace {3 + 5} _ {2 ^ {3} = 8} + \ underbrace {7 + 9 + 11} _ {3 ^ {3} = 27 } + \ underbrace {13 + 15 + 17 + 19} _ {4 ^ {3} = 64} + \ cdots + \ underbrace {\ left (n ^ {2} -n + 1 \ right) + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ right)} _ {n ^ {3}} \\ & = \ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {1} _ {1 ^ {2}} + 3} _ {2 ^ {2}} + 5} _ {3 ^ {2}} + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ right)} _ {\ left ({\ frac { n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2}} \\ & = (1 + 2 + \ cdots + n) ^ {2} \\ & = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k \ right) ^ {2}. \ End {align}}}

Se poate vedea că suma oricărui set de numere impare consecutive începând de la 1 este egală cu pătratul numărului impar adăugat. Acesta din urmă poate fi ușor considerat ca o sumă de tipul 1 + 2 + 3 + ... + n , adică ca al n- lea număr triunghiular. ^[2]

Notă

^ (EN) John Conway și Richard Guy, Figures from Figures: Doing Arithmetic Geometry and Algebra de, în Cartea numerelor, New York, Springer, 1996 [1996], p. 58, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4072-3 , ISBN 978-1-4612-8488-8 .
^ ^a ^b ( EN ) EW Weisstein, Teorema lui Nicomachus , în CRC Concise Encyclopaedia of Mathematics , ediția a II-a, Boca Raton, CRC Press, 2003 [1999] , p. 2014, ISBN 1-58488-347-2 .

Bibliografie

( EN ) EW Weisstein, Enciclopedia concisă a matematicii CRC , ediția a II-a, Boca Raton, CRC Press, 2003 [1999] , ISBN 1-58488-347-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein,Teorema lui Nicomachus , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Charles Wheatstone, Despre formarea puterilor din progresii aritmetice ( PDF ), în Proceedings of the Royal Society of London , vol. 7, Royal Society, 15 iunie 1854, p. 145-151. Adus la 11 septembrie 2014 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) John Conway și Richard Guy, Figures from Figures: Doing Arithmetic Geometry and Algebra de, în Cartea numerelor, New York, Springer, 1996 [1996], p. 58, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4072-3 , ISBN 978-1-4612-8488-8 .

[crc-2] ( EN ) EW Weisstein, Teorema lui Nicomachus , în CRC Concise Encyclopaedia of Mathematics , ediția a II-a, Boca Raton, CRC Press, 2003 [1999] , p. 2014, ISBN 1-58488-347-2 .

[1]

[2]