Cub perfect
Un cub perfect este orice număr natural a cărui rădăcină cubă corespunde unui număr întreg .
În aritmetică și algebră , cubul unui număr n este a treia sa putere , adică rezultatul înmulțirii numărului cu el însuși de trei ori:
- n 3 = n × n × n .
Este, de asemenea, formula pentru calcularea volumului unui cub a cărui latură are o lungime egală cu n . De aici și numele.
Funcția inversă de a găsi numărul al cărui cub este n se numește „extragerea rădăcinii cubice a lui n ”. Returnează partea laterală a unui cub având în vedere volumul.
Primii 21 de cuburi perfecte
- 0 = 0 ridicat la cub
- 1 = 1 ridicat la cub .
- 8 = 2 ridicat la cub .
- 27 = 3 ridicat la cub .
- 64 = 4 ridicat la cub .
- 125 = 5 ridicat la cub .
- 216 = 6 ridicat la cub .
- 343 = 7 ridicat la cub .
- 512 = 8 cub .
- 729 = 9 ridicat la cub .
- 1000 = 10 ridicat la cub .
- 1331 = 11 ridicat la cub .
- 1728 = 12 ridicate la cub .
- 2197 = 13 ridicat la cub .
- 2744 = 14 ridicat la cub .
- 3375 = 15 cub .
- 4096 = 16 ridicat la cub .
- 4913 = 17 ridicat la cub .
- 5832 = 18 ridicat la cub .
- 6859 = 19 ridicat la cub .
- 8000 = 20 cub .
Diferența dintre cuburile a două numere întregi consecutive poate fi exprimată ca:
sau
Aplicații
Cubul unui număr apare în formula de calcul al volumului unei sfere regulate, octaedru, dodecaedru, icosaedru, în suma pătratelor primelor n numere naturale , în a treia lege a lui Kepler .
Dacă kd ^ 2 se adaugă la produsul a trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu primul termen a și motivul d ( a și d numere întregi pozitive), obținem un număr cub perfect K.
Produsul a trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este un cub perfect.
Problema lui Waring pentru cuburi
Fiecare cub perfect poate fi scris ca suma a nouă sau mai puține cuburi pozitive. De exemplu, 23 nu poate fi scris ca suma a cel puțin nouă cuburi pozitive:
- 23 = 2 3 + 2 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 .
Ultima teoremă a lui Fermat pentru cuburi
Ecuația nu are soluții întregi non-banale (de ex. xyz = 0). De fapt, nu are numere întregi Eisenstein [1]
ambele afirmații sunt valabile și pentru ecuația [2] .
Acest lucru nu este adevărat dacă luăm în considerare suma cuburilor, cu mai mult de două completări:
Suma primelor n cuburi
- Cuburile numerelor naturale sunt suma blocurilor numerelor naturale impare în ordine crescătoare, exemplu:
- Începând cu succesiunea numerelor hexagonale centrate
suma primelor n cuburi este al n-lea număr triunghiular pătrat
De exemplu, suma primelor 5 cuburi perfecte este pătratul celui de-al cincilea număr triunghiular
dar x, y trebuie să satisfacă ecuația Pell negativă . De exemplu pentru y = 5 și 29, atunci,
si asa mai departe. Fiecare număr perfect , cu excepția minorului, este suma primilor cuburi impare:
Suma de cuburi de numere în progresie aritmetică
Există exemple de cuburi de numere în progresie aritmetică a căror sumă este un cub:
Formula F pentru a găsi suma de n cuburi de numere în progresie aritmetică, având diferența comună d începând de la un cub inițial , Și:
este dat de
O soluție parametrică
e cunoscut pentru , sau cuburi consecutive, dar soluțiile non-sporadice sunt cunoscute și pentru numere întregi , Care [3]
Suma reciprocelor
Suma reciprocelor tuturor cuburilor, folosită într-o varietate de situații, este cunoscută sub numele de constanta Apéry . Valoarea sa este dată de funcția zeta Riemann la punctul 3.
În număr rațional
Fiecare număr rațional pozitiv este suma a trei cuburi raționale pozitive [4] , în timp ce există raționale care nu sunt suma a două cuburi raționale. [5]
Funcție generatoare
Funcția generatoare a unei serii formale de puteri , este dat de:
Istorie
Calculul cubului cu numere mari este comun în istoria matematicii .
În 2010, Alberto Zanoni a descoperit un algoritm [6] [7] pentru calcularea cubului unui întreg întreg, într-un anumit interval, mai rapid decât exponențierea binară (crescând la puteri întregi pozitive mari cu un număr).
Notă
- ^ Hardy & Wright, Thm. 227
- ^ Hardy & Wright, Thm. 232
- ^ O colecție de identități algebrice [ link rupt ] , pe sites.google.com .
- ^ Hardy & Wright, Thm. 234
- ^ Hardy & Wright, Thm. 233
- ^ http://bodrato.it/papers/zanoni/AnotherSugarCube.pdf
- ^ Un nou algoritm pentru calculul cubului întregului lung cu o oarecare perspectivă asupra puterilor superioare | SpringerLink
.
Bibliografie
- Hardy GH, Wright EM, An Introduction to Theory of Numbers , ediția a 5-a, Oxford University Press , Oxford, 1980, ISBN 978-0-19-853171-5