Quaterne din Ramanujan

În teoria numerelor, un cuatern Ramanujan este un set ordonat de patru numere naturale diferite de zero pentru care suma cuburilor primului și celui de-al doilea număr este egală cu suma cuburilor celui de-al treilea și al patrulea număr.

În formă algebrică, cuaternul $(a,b,c,d)\in \mathbb {N} ^{4}$ ${\ displaystyle (a, b, c, d) \ in \ mathbb {N} ^ {4}}$ $(a, b, c, d) \ in \ mathbb {N} ^ {4}$ este din Ramanujan se $a^{3}+b^{3}=c^{3}+d^{3}$ ${\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = c ^ {3} + d ^ {3}}$ $a ^ {3} + b ^ {3} = c ^ {3} + d ^ {3}$ .

Denumirea cuaternară a lui Ramanujan provine dintr-o celebră anecdotă , potrivit căreia matematicianul englez GH Hardy , care a mers la spital pentru a-l vizita pe matematicianul indian Ramanujan , a observat că numărul taxiului cu care ajunsese, 1729, părea destul de insipid. ; Ramanujan a răspuns imediat că numărul este extrem de interesant, fiind cel mai mic număr întreg [pozitiv] care poate fi exprimat ca suma (neordonată) a două cuburi [pozitive] în două moduri diferite. Numărul 1729 = 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ se mai numește și numărul Hardy-Ramanujan .

Fără condiția ca cuburile să fie pozitive, cel mai mic număr natural exprimabil în două moduri diferite, deoarece suma (neordonată) a două cuburi de numere întregi ar fi 91 :

91=6^{3}+(-5)^{3}=4^{3}+3^{3}

{\ displaystyle 91 = 6 ^ {3} + (- 5) ^ {3} = 4 ^ {3} + 3 ^ {3}}

91 = 6 ^ {3} + (- 5) ^ {3} = 4 ^ {3} + 3 ^ {3}

.

Fără condiția ca suma cuburilor să fie pozitivă, nu ar exista un „număr minim”, ci mai degrabă un „număr minim de norme ” care poate fi exprimat ca suma a două cuburi în două moduri diferite: pentru fiecare număr natural n în fapt pe care l-am avea

-1729n^{3}=(-n)^{3}+(-12n)^{3}=(-9n)^{3}+(-10n)^{3}

{\ displaystyle -1729n ^ {3} = (- n) ^ {3} + (- 12n) ^ {3} = (- 9n) ^ {3} + (- 10n) ^ {3}}

-1729n ^ {3} = (- n) ^ {3} + (- 12n) ^ {3} = (- 9n) ^ {3} + (- 10n) ^ {3}

.

Matematicianul francez Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) descoperise deja și alți cuaternari, pe lângă numărul 1729:

$2^{3}+16^{3}=9^{3}+15^{3}=4104$ ${\ displaystyle 2 ^ {3} + 16 ^ {3} = 9 ^ {3} + 15 ^ {3} = 4104}$ ${\ displaystyle 2 ^ {3} + 16 ^ {3} = 9 ^ {3} + 15 ^ {3} = 4104}$
$10^{3}+27^{3}=19^{3}+24^{3}=20683$ ${\ displaystyle 10 ^ {3} + 27 ^ {3} = 19 ^ {3} + 24 ^ {3} = 20683}$ ${\ displaystyle 10 ^ {3} + 27 ^ {3} = 19 ^ {3} + 24 ^ {3} = 20683}$
$2^{3}+34^{3}=15^{3}+33^{3}=39312$ ${\ displaystyle 2 ^ {3} + 34 ^ {3} = 15 ^ {3} + 33 ^ {3} = 39312}$ ${\ displaystyle 2 ^ {3} + 34 ^ {3} = 15 ^ {3} + 33 ^ {3} = 39312}$
$9^{3}+34^{3}=16^{3}+33^{3}=40033$ ${\ displaystyle 9 ^ {3} + 34 ^ {3} = 16 ^ {3} + 33 ^ {3} = 40033}$ ${\ displaystyle 9 ^ {3} + 34 ^ {3} = 16 ^ {3} + 33 ^ {3} = 40033}$

Cel mai mare număr de acest tip a fost descoperit de Euler: $158^{4}+59^{4}=133^{4}+134^{4}=635318657$ ${\ displaystyle 158 ^ {4} + 59 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4} = 635318657}$ ${\ displaystyle 158 ^ {4} + 59 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4} = 635318657}$ .

Proprietate

Pentru fiecare pereche de numere naturale diferite de zero a și b , cuaternarii $(a,b,a,b)$ ${\ displaystyle (a, b, a, b)}$ $(a, b, a, b)$ Și $(a,b,b,a)$ ${\ displaystyle (a, b, b, a)}$ $(a, b, b, a)$ Sunt din Ramanujan.

Prin proprietatea comutativă a sumei și proprietatea simetrică a egalității, dacă $\left(a,b,c,d\right)$ ${\ displaystyle \ left (a, b, c, d \ right)}$ $\ left (a, b, c, d \ right)$ este un cvadru al lui Ramanujan, la fel și toate cvadruțele obținute prin permutarea unor astfel de numere care lasă cele două perechi de numere (neordonate) $\left[a,b\right]$ ${\ displaystyle \ left [a, b \ right]}$ $\ left [a, b \ right]$ Și $\left[c,d\right]$ ${\ displaystyle \ left [c, d \ right]}$ $\ left [c, d \ right]$ spre cele două părți opuse ale egalității, de exemplu $\left(c,d,b,a\right)$ ${\ displaystyle \ left (c, d, b, a \ right)}$ $\ left (c, d, b, a \ right)$ .

De asemenea, întâlniți orice quad Ramanujan $\left(a,b,c,d\right)$ ${\ displaystyle \ left (a, b, c, d \ right)}$ $\ left (a, b, c, d \ right)$ și orice număr natural diferit de zero $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , de asemenea, cuaternul $\left(na,nb,nc,nd\right)$ ${\ displaystyle \ left (na, nb, nc, nd \ right)}$ $\ left (na, nb, nc, nd \ right)$ este din Ramanujan. Din acest motiv, căutarea cuaternarilor Ramanujan poate fi limitată doar la cuaternarii primitivi , adică constând din numere coprimare .

Taxi

Același subiect în detaliu: numărul Taxicab .

Aceeași anecdotă care a dat numele cadranelor din Ramanujan a motivat numerele denominative taxicab (în engleză taxicab înseamnă taxi ) pentru unele numere naturale: $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea numărul de taxi $Ta(n)$ ${\ displaystyle Ta (n)}$ $Ta (n)$ este cel mai mic număr natural diferit de zero care poate fi exprimat în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ moduri diferite ca suma a două cuburi pozitive (nesortate). Primele șase numere de taxiuri sunt cunoscute în prezent.

Piesă tematică	Număr	Compoziţie
Ta (1)	2	1³ + 1³
Ta (2)	1.729	1³ + 12³, 9³ + 10³
Ta (3)	87.539.319	167³ + 436³, 228³ + 423³, 255³ + 414³
Ta (4)	6.963.472.309.248	2.421³ + 19.083³, 5.436³ + 18.948³, 10.200³ + 18.072³, 13.322³ + 16.630³
Ta (5)	48.988.659.276.962.496	38.787³ + 365.757³, 107.839³ + 362.753³, 205.292³ + 342.952³, 221.424³ + 336.588³, 231.518³ + 331.954³
Ta (6)	24.153.319.581.254.312.065.344	582.162³ + 28.906.206³, 3.064.173³ + 28.894.803³, 8.519.281³ + 28.657.487³, 16.218.068³ + 27.093.208³, 17.492.496³ + 26.590.452³, 18.289.922³ + 26.224.366³

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică