Cunoastere comuna

Cunoașterea comună , în logică , este un anumit tip de cunoștințe în cadrul unui grup de jucători . Există cunoștințe comune despre p într-un grup de jucători G , când toți jucătorii din G știu p , știu că toată lumea știe p , știu că toată lumea știe că toată lumea știe p, și așa mai departe ad infinitum.

Conceptul a fost introdus pentru prima dată de David Kellogg Lewis în studiul său de literatură filosofică Convention (1969). Prima formulare matematică i-a fost dată de Robert Aumann , în 1976, exploatând teoria mulțimilor .

Interesul informaticienilor în logica epistemică în general - și în cunoștințele comune în special - din anii 1980 . ^[1]

Exemplu

Folosim pentru a introduce conceptul de cunoaștere comună prin câteva variante ale următoarei probleme ^[2] :

Pe o insulă există un număr de oameni cu ochi albaștri, restul populației are ochii verzi. Există cel puțin o persoană cu ochi albaștri pe insulă (k> = 1). Dacă o persoană află că are ochii albaștri, trebuie să părăsească insula până în zorii zilei următoare. Toată lumea își poate vedea culoarea ochilor, nu există oglinzi sau conversații despre culoarea ochilor.

La un moment dat, un străin ajunge pe insulă și face următorul anunț public, auzit și înțeles de toți oamenii de pe insulă: „Cel puțin unul dintre voi are ochi albaștri”.

Având în vedere că toți oamenii de pe insulă sunt sinceri și complet raționali, care este rezultatul final?

Răspunsul este că, în al k-lea răsărit de după ziua anunțului, toți oamenii cu ochi albaștri vor fi părăsit insula.

Acest lucru poate fi ușor dedus printr-o abordare inductivă: dacă k = 1, persoana își va da seama că are ochi albaștri (observând că toți ceilalți au ochi verzi) și va părăsi insula la primul răsărit. Dacă k = 2, nimeni nu va părăsi insula la primul răsărit. Dar oamenii cu ochii albaștri, văzând o singură persoană cu ochii albaștri și observând că nimeni nu a părăsit insula la primul răsărit, vor pleca amândoi. Prin urmare, continuând cu acest raționament, se poate spune că nimeni nu va părăsi insula primele răsărituri k-1 dacă și numai dacă există cel puțin k oameni cu ochi albaștri. Cei care au ochi albaștri, văzând k-1 oameni cu ochi albaștri printre alții și știind că trebuie să existe cel puțin k dintre ei, vor deduce că au ochi albaștri și apoi vor pleca.

Cel mai interesant lucru despre această problemă este că, acolo unde k> 1, străinul le spune cetățenilor ceea ce știu deja: că există oameni cu ochi albaștri printre ei. Cu toate acestea, înainte ca această afirmație să fie făcută, afirmația în sine nu este cunoscută.

Pentru k> 2 este cunoașterea ordinului (k-1). După k-1 zile, fiecare persoană cu ochi albaștri știe că o a doua persoană cu ochi albaștri știe că o a treia persoană cu ochi albaștri știe că (repetă de k-1 ori), o persoană k-a are ochi albaștri. Cu toate acestea, nimeni nu știe că există o a k-a persoană cu ochi albaștri cu aceste cunoștințe până la sosirea zilei a k-a. Prin urmare, noțiunea de cunoaștere comună are un efect clar. Știind că toată lumea știe face o mare diferență.

Formalism

Logică modală (caracterizare sintactică)

O definiție logică poate fi dată cunoașterii comune prin intermediul sistemelor logice multimodale în care operatorii modali sunt interpretați folosind logica epistemică . La nivel propozițional, aceste sisteme sunt extensii ale logicii propoziționale . Extensia constă în introducerea unui grup G de jucători și de n operatori modali _Kj (cu i = 1, ..., n) cu sensul exact al „agentului i cunoaște“. Astfel K _i $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ (unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este o formulă de calcul), se citește „ , player - i știe $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . "Putem defini un operator E _G cu sensul de" toată lumea din grupul G știe ", definindu-l cu axioma:

E\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i\in G}K_{i}\varphi

{\ displaystyle E \ varphi \ Leftrightarrow \ bigwedge _ {i \ in G} K_ {i} \ varphi}

{\ displaystyle E \ varphi \ Leftrightarrow \ bigwedge _ {i \ in G} K_ {i} \ varphi}

Simplificarea expresiei $E_{G}E_{G}^{n-1}\varphi$ ${\ displaystyle E_ {G} E_ {G} ^ {n-1} \ varphi}$ ${\ displaystyle E_ {G} E_ {G} ^ {n-1} \ varphi}$ cu $E_{G}^{n}\varphi$ ${\ displaystyle E_ {G} ^ {n} \ varphi}$ ${\ displaystyle E_ {G} ^ {n} \ varphi}$ , și definitorii $E_{G}^{0}\varphi =\varphi$ ${\ displaystyle E_ {G} ^ {0} \ varphi = \ varphi}$ ${\ displaystyle E_ {G} ^ {0} \ varphi = \ varphi}$ , prin urmare, putem defini cunoașterea comună cu axioma:

C\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i=1}^{n}E^{n}\varphi

{\ displaystyle C \ varphi \ Leftrightarrow \ bigwedge _ {i = 1} ^ {n} E ^ {n} \ varphi}

{\ displaystyle C \ varphi \ Leftrightarrow \ bigwedge _ {i = 1} ^ {n} E ^ {n} \ varphi}

cu

n=1,2,...

{\ displaystyle n = 1,2, ...}

{\ displaystyle n = 1,2, ...}

Teoria mulțimilor (caracterizarea semantică)

Alternativ, cunoașterea comună poate fi formalizată prin teoria mulțimilor (aceasta a fost calea urmată de laureatul Nobel în economie Robert Aumann în lucrarea sa din 1976).

Vom începe cu un set de stări S. Prin urmare, putem defini un eveniment E ca un subset al setului de stări S. Pentru fiecare jucător i , definiți o partiție de S , P _i . Această partiție reprezintă starea de cunoaștere a unui jucător într-o stare. În starea s , jucătorul i știe că apare una dintre stările din P _i (s) , dar nu știe care.

Acum putem defini o funcție de cunoaștere K în felul următor:

K_{i}(e)=\{s\in S|P_{i}(s)\subset e\}

{\ displaystyle K_ {i} (e) = \ {s \ în S | P_ {i} (s) \ subset e \}}

{\ displaystyle K_ {i} (e) = \ {s \ în S | P_ {i} (s) \ subset e \}}

K _i (e) este un set de stări în care agentul i se va ști că evenimentul e are loc.

Similar cu formularea logică modală de mai sus, putem defini un operator pentru conceptul de „toată lumea știe despre și ”:

E(e)=\bigcap _{i}K_{i}(e)

{\ displaystyle E (e) = \ bigcap _ {i} K_ {i} (e)}

{\ displaystyle E (e) = \ bigcap _ {i} K_ {i} (e)}

Ca și în cazul operatorului modal, vom repeta funcția E , $E^{1}(e)=E(e)$ ${\ displaystyle E ^ {1} (e) = E (e)}$ ${\ displaystyle E ^ {1} (e) = E (e)}$ , Și $E^{n+1}(e)=E(E^{n}(e))$ ${\ displaystyle E ^ {n + 1} (e) = E (E ^ {n} (e))}$ ${\ displaystyle E ^ {n + 1} (e) = E (E ^ {n} (e))}$ . Folosind cele spuse până acum, putem defini o funcție de cunoaștere comună:

C(e)=\bigcap _{n=1}^{\infty }E^{n}(e)

{\ displaystyle C (e) = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} E ^ {n} (e)}

{\ displaystyle C (e) = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} E ^ {n} (e)}

Aplicații

Cunoașterea comună a fost folosită de David Lewis în „jocul teoretic” din Convenție . În acest sens, cunoașterea comună este încă un subiect central pentru filologii și filozofii limbajului ^[3] , menținând o relatare Lewisiană convențională a limbajului în sine.

Robert Aumann a introdus o formulare teoretică stabilită a cunoașterii comune (teoretic complet egală cu cea de mai sus) și cu aceasta a dovedit așa-numita „teoremă a acordului”: dacă doi agenți au o probabilitate precedentă comună cu privire la un anumit eveniment și probabilitățile lor succesive sunt în cunoștință de cauză ^[4] , atunci probabilitățile succesive sunt egale. Un rezultat bazat pe teorema acordului și demonstrat de Paul Milgrom și Nancy Stokey arată că, având în vedere anumite condiții privind eficiența pieței și informații, comerțul speculativ este imposibil.

Conceptul de cunoaștere comună este esențial pentru teoria jocurilor . Mulți ani s-a crezut că asumarea cunoașterii comune a raționalității jucătorilor în cadrul jocului a fost fundamentală. S-a descoperit apoi ^[5] că, într-un joc cu doi jucători, cunoașterea comună a raționalității nu era necesară ca condiție epistemică a strategiilor Nash Equilibrium .

Informaticienii folosesc limbaje prin încorporarea logicii epistemice (și a cunoștințelor comune) în sistemele distribuite. Astfel de sisteme se pot baza pe logici mai complicate decât simpla logică epistemică propozițională ^[6] .

Notă

^ Vezi textele Rationing about knowledge de Fagin, Halpern, Moses și Vardi (1995); și Epistemic Logic for computer science de Meyer și van der Hoek (1995).
^ O problemă structural identică, numită Femeile din Sevitan a fost formulată de Gintis (2000).
^ Clark 1996
^ Vezi probabilitatea condiționată
^ Aumann Robert și Adam Brandenburger (1995) „Condiții epistemice pentru echilibrul Nash”
^ Wooldridge Reasoning about Artificial Agents , 2000

Bibliografie

Aumann, Robert (1976) „Acceptarea dezacordului” Analele Statisticii 4 (6): 1236-1239.
Aumann Robert și Adam Brandenburger (1995) „Condiții epistemice pentru echilibrul Nash” Econometrica 63 (5): 1161-1180.
Clark, Herbert (1996) Using Language , Cambridge University Press ISBN 0-521-56745-9
Lewis, David (1969) Convenția: un studiu filosofic Oxford: Blackburn. ISBN 0-631-23257-5
Gintis, Herbert (2000) Theory Game Evolving Princeton University Press. ISBN 0-691-00943-0
JJ Ch. Meyer și W van der Hoek Logică epistemică pentru informatică și inteligență artificială , volumul 41, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-46014-X
R. Fagin, JY Halpern, Y. Moses și MY Vardi. Rationing about Knowledge , The MIT Press, 1995. ISBN 0-262-56200-6

linkuri externe

( EN ) Peter Vanderschraaf și Giacomo Sillari, Common Knowledge , în Edward N. Zalta (ed.), Stanford Encyclopedia of Philosophy , Centre for the Study of Language and Information (CSLI), Universitatea Stanford .

Portalul de filosofie

Portalul de matematică

[1] Vezi textele Rationing about knowledge de Fagin, Halpern, Moses și Vardi (1995); și Epistemic Logic for computer science de Meyer și van der Hoek (1995).

[2] O problemă structural identică, numită Femeile din Sevitan a fost formulată de Gintis (2000).

[3] Clark 1996

[4] Vezi probabilitatea condiționată

[5] Aumann Robert și Adam Brandenburger (1995) „Condiții epistemice pentru echilibrul Nash”

[6] Wooldridge Reasoning about Artificial Agents , 2000

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]