Logica modală

În contextul logicii formale , logica modală este orice logică în care este posibil să se exprime „modul” în care o propoziție este adevărată sau falsă. Din punct de vedere istoric, studiile logicii modale au început cu conceptele de posibilitate și necesitate ^[1] . Cu toate acestea, logica modală contemporană se ocupă de numeroase alte concepte, precum cel al obligației morale sau cel al credinței . Exemple de propoziții modale sunt, prin urmare, „Este posibil să plouă” sau „Este necesar ca Socrate să fie muritor sau nu muritor”, dar și „Este necesar să mergi la vot” sau „Socrate crede că plouă”.

Operatorii modali de bază sunt $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ a exprima nevoia e $\Diamond$ ${\ displaystyle \ Diamond}$ $\ Diamond$ posibilitatea. În logica modală clasică, fiecare dintre cei doi operatori poate fi exprimat în termeni de celălalt și operatorul de negație.

\Diamond p\leftrightarrow \lnot \Box \lnot p;

{\ displaystyle \ Diamond p \ leftrightarrow \ lnot \ Box \ lnot p;}

{\ displaystyle \ Diamond p \ leftrightarrow \ lnot \ Box \ lnot p;}

\Box p\leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p.

{\ displaystyle \ Box p \ leftrightarrow \ lnot \ Diamond \ lnot p.}

{\ displaystyle \ Box p \ leftrightarrow \ lnot \ Diamond \ lnot p.}

Deci, se va spune că „Socrate poate a fost ucis” dacă și numai dacă „Socrate nu trebuie să fi fost ucis”.

Studiul logicii modale își găsește aplicarea în filosofie , în investigarea bazelor matematicii , în informatică și în științele cognitive .

Definiția operatorilor

\Box p\leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p

{\ displaystyle \ Box p \ leftrightarrow \ lnot \ Diamond \ lnot p}

{\ displaystyle \ Box p \ leftrightarrow \ lnot \ Diamond \ lnot p}

, nu este o echivalență între cei doi membri, în care ar fi corect să înlocuiți simbolul

\leftrightarrow

{\ displaystyle \ leftrightarrow}

{\ displaystyle \ leftrightarrow}

, cea a egalității, dacă ne uităm la definiția comună a „necesarului”, care corespunde: ce este adevărat și ce nu poate fi altfel (din care nu este posibil opusul).
În simboluri:

\Box p=p\land \lnot \Diamond \lnot p

{\ displaystyle \ Box p = p \ land \ lnot \ Diamond \ lnot p}

{\ displaystyle \ Box p = p \ land \ lnot \ Diamond \ lnot p}

.

Această definiție a operatorului necesității conține axioma necesității ca tot ceea ce este neapărat adevărat să fie adevărat .
În simboluri:

\Box p\rightarrow p

{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow p}

{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow p}

, care este axioma T discutată mai jos. Definiția nu este valabilă pentru modalitățile deontice. De fapt, pentru operatorul necesității, avem două axiome (vezi mai jos), T (mai frecvente în sistemele modale) și D, în care: necesitatea implică realitatea sau singura posibilitate a unui predicat.

Pentru celălalt operator de posibilități, A. Tarski definește ca posibil tot ceea ce nu este auto-contradictoriu, adică: pentru care se aplică legea non-contradicției și a terțului exclus, în simboluri:

\Diamond p=\lnot p\rightarrow p.

{\ displaystyle \ Diamond p = \ lnot p \ rightarrow p.}

{\ displaystyle \ Diamond p = \ lnot p \ rightarrow p.}

Se aplică întotdeauna modalitatea ab esse ad posse , conform căreia realitatea unui predicat implică întotdeauna posibilitatea sa:

p\rightarrow \Diamond p;

{\ displaystyle p \ rightarrow \ Diamond p;}

{\ displaystyle p \ rightarrow \ Diamond p;}

, axioma posibilității care afirmă că tot ceea ce este adevărat este posibil; în general, nu este explicit în sistemele modale.

Istorie

Logica modală s-a născut în era clasică odată cu analiza propozițiilor care conțin expresiile necesare și posibile făcute de Aristotel în primele analize și în De Interpretatione . După el, megarii și stoicii s- au ocupat de acest tip de enunț.

Aceste studii au avut dezvoltări extinse în Evul Mediu în domeniul filosofiei scolastice , în special de William of Ockham . Calificarea modalului pentru expresii care indică modul în care o propoziție este adevărată se întoarce la această tradiție.

Logica modală modernă s-a născut odată cu axiomatizările date în 1932 de CI Lewis în cartea Logică simbolică , scrisă cu CH Langford. Introducerea acestor axiomatizări a avut drept scop rezolvarea paradoxurilor implicației logice sau materiale, precum faptul că o propoziție falsă implică orice propoziție ( Ex false sequitur quodlibet ) sau că o propoziție adevărată este implicată de orice propoziție. Lewis a vrut apoi să introducă conceptul de implicație strictă , unde „p implică strict q” înseamnă „nu este posibil ca p să fie adevărat și q să fie fals” (în simboluri $\lnot \Diamond (p\land \lnot q)$ ${\ displaystyle \ lnot \ Diamond (p \ land \ lnot q)}$ ${\ displaystyle \ lnot \ Diamond (p \ land \ lnot q)}$ , echivalentă cu $\Box (p\rightarrow q)$ ${\ displaystyle \ Box (p \ rightarrow q)}$ ${\ displaystyle \ Box (p \ rightarrow q)}$ ). Diferitele seturi de axiome utilizate de Lewis pentru a descrie implicația îngustă au condus la cinci sisteme cunoscute sub numele de S1 - S5, dintre care în prezent sunt utilizate doar S4 și S5. Implicația îngustă a reprezentat o soluție parțială la cele două paradoxuri ale implicațiilor materiale menționate. ^[2]

Luați în considerare exemplul: „Cetățenii plătesc impozite”, iar propozițiile modale „Cetățenii plătesc în mod necesar impozite”, „Cetățenii plătesc impozite”, „Cred că cetățenii plătesc impozite”, în timp ce pot stabili cu certitudine că „este posibil pentru cetățenii să plătească impozite "(ceea ce este deja cazul).

Cu excepția operatorului de posibilitate atunci când pleacă de la o situație adevărată sau necesară, operatorii logicii modale nu sunt adevărat-funcționali: spre deosebire de conectivele logice booleene (conjuncție, disjuncție, implicație etc.), pentru operatorii modali nu este posibil să se construiască un tabel de adevăr deoarece valoarea adevărului depinde, dar nu exclusiv de cea a propozițiilor simple componente și, în general, factorul suplimentar este valoarea de adevăr a propoziției respective în raport cu situațiile alternative la cea reală.

În 1959, Saul Kripke a definit o semantică pentru logica modală bazată pe conceptul de lumi posibile și pe relația de accesibilitate între lumi. El a fost capabil să construiască tabele de adevăr pentru operatorii posibilității și necesității. Conform acestei semantici, propoziția „Este necesar p ” este adevărată într-o lume w dacă este adevărată în toate lumile v accesibile din w . Introducerea acestei semantici a început studiile actuale privind logica modală. În simboluri, avem definițiile adevărului (valorile 1 sau 0) ale celor doi operatori, propuse de Carnap în În sens și necesitate :

\Box p\rightarrow 1

{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow 1}

{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow 1}

(în lumea de astăzi) dacă și numai dacă

p\rightarrow 1

{\ displaystyle p \ rightarrow 1}

{\ displaystyle p \ rightarrow 1}

în toate lumile posibile;

\Diamond p\rightarrow 1

{\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow 1}

{\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow 1}

(în lumea de astăzi) dacă și numai dacă

p\rightarrow 1

{\ displaystyle p \ rightarrow 1}

{\ displaystyle p \ rightarrow 1}

într- o lume posibilă;

unde prin „lume posibilă” ne referim la cei accesibili din lumea aleasă ca actuală.

Cu această restricție drastică de câmp, nu mai sunt luate în considerare toate alternativele, ci doar cele posibile pentru o referință: adevărul sau falsitatea unei formule modale nu mai depinde de toate lumile posibile, ci de relația de accesibilitate R.

Logica modală este o extensie a logicii clasice cu consecințe la nivel sintactic și semantic:

La nivel semantic, logica modală este o extensie a semanticii clasice care menține principiul bivalenței (adevărat / fals), dar nu cel al funcționalității adevărate (adevărul / falsitatea propozițiilor compuse nu depinde doar de cea a propozițiilor elementare, dar în legătură cu accesibilitatea cu lumile posibile),
La nivel sintactic, logica modală este o extensie sintactică a logicii clasice deoarece încorporează semnele limbajului (= alfabet) și regulile de calcul (= regulile deducției).

Deoarece operatorii modali nu sunt adevărat-funcționali, a apărut nevoia dezvoltării lor sintactice.

După cum afirmă Lorenzo Magnani , în domeniul informaticii , de exemplu, a învățat mașinilor cum să imite raționamentul uman foarte complex ^[3] , de exemplu cu bisimulare , adică modele Kripke care folosesc un sistem de tranziție de stat în loc de lumi posibile, pentru a decide corectitudinea și încetarea cu succes a unui program de computer ^[1] .
În 2020, în aplicarea calculului propozițional există procesoare cunoscute capabile să valideze o demonstrație a logicii formale complete cu toți pașii logici, regulile de calcul aplicate și ipotezele conexe, dar nu există procesoare cunoscute capabile să elaboreze în mod autonom o dovadă, destinată ca derivarea unei concluzii pornind de la un set de una sau mai multe formule bine formate luate ca premise. Cu alte cuvinte, procesorul mecanic, electronic sau mecatronic este a posteriori capabil să confirme corectitudinea sau incorectitudinea unei demonstrații efectuate de agenți umani, dar nu poate efectua o demonstrație în așa fel încât să înlocuiască sau să depășească operatorul. acest gen de raționament logic deductiv. ^[4] Cu toate acestea, această posibilitate nu a fost exclusă la nivel teoretic, dată fiind asimilarea logicii propoziționale la calculul matematic numeric și literal, deja realizat de procesoare, și având în vedere similaritatea dintre formalismul acestuia din urmă și cel al matematicii. logică.

Modul aletic

Modalitățile aletice sunt cele referitoare la modul de a fi adevărat al unei propoziții, adică dacă este posibil adevărat , neapărat adevărat sau contingent adevărat . Acestea sunt metodele înțelese în mod obișnuit atunci când nu se specifică altfel.

Modalitățile aletice pot fi înțelese în sensuri diferite.

Posibilitate logică

Este cel mai slab sens, deoarece aproape orice lucru inteligibil este logic posibil: măgarii pot zbura, Socrate poate fi nemuritor, iar teoria atomică a materiei poate fi falsă.

În mod similar, aproape nimic nu este logic imposibil: un lucru logic imposibil se numește contradicție. Este posibil ca Socrate să fie nemuritor, dar nu este posibil ca Socrate să fie muritor și nemuritor. Mulți logicieni cred că adevărurile matematice sunt logic necesare (de exemplu, este logic imposibil pentru 2 + 2 ≠ 4).

Posibilitate fizică

Ceva este posibil din punct de vedere fizic dacă este permis de legile naturii. De exemplu, este posibil să existe un atom cu numărul atomic 150, chiar dacă în realitate un astfel de atom nu există. Pe de altă parte, nu este posibil în acest sens să existe un atom al cărui nucleu să conțină brânză. Deși este logic posibil să se accelereze ceva dincolo de viteza luminii, conform științei moderne, acest lucru nu este posibil din punct de vedere fizic pentru un obiect cu masă.

Posibilitate metafizică

Filosofii pot lua în considerare proprietățile pe care le au obiectele indiferent de legile naturii. De exemplu, poate fi necesar metafizic ca orice ființă gânditoare să aibă un corp și să poată experimenta trecerea timpului, sau că Dumnezeu există (sau nu există).

Posibilitatea metafizică este în general considerată a fi mai puternică decât logică, în sensul că există mai puține lucruri metafizic posibile decât există logic. În schimb, relația cu posibilitatea fizică este o chestiune de dezbatere filosofică și dacă adevărurile necesare metafizic sunt astfel „prin definiție” sau pentru că reflectă un fapt relevant despre realitate.

Modalități epistemice

Contextul epistemic este caracterizat de operatori de cunoaștere, sau epistemic (indicat cu „K”, din engleza „a ști”, a ști, a ști), și de credință, sau doxastic (indicat cu „B”, din engleză „ a crede ”, a crede, a fi sigur, a crede), care în limbajul obișnuit corespund respectiv expresiilor„ știu, știu asta, p ”și„ cred că p, sunt sigur că p, cred că p ". Cei doi operatori sunt condiționați de unele principii.

Principii despre B ^{[ necesitate citare ]}

B1 Bp ⇏ p (a fi sigur de p nu implică adevărul lui p)
B2 Bp → ¬B¬p (principiul non-contradicției epistemice)
B3 Bp → BBp (principiul introspecției)
B4 ¬Bp → B¬Bp (acest principiu demonstrează că este imposibil să te îndoiești de toate, adică este imposibil să nu fii sigur că te îndoiești)

Principii despre K.

K1 Kp → p (cunoașterea implică adevărul lui p, adevărul este o condiție necesară a cunoașterii)
K2 Kp → Bp (știința merge cu credința, „tind să cred ceea ce știu”)
K3 Kp → ¬K¬p (principiul non-contradicției epistemice)
K4 Kp → KKp (principiul introspecției)

Discuția este deschisă pentru a cincea axiomă pentru K, și anume

K5 ¬Kp → K¬Kp

Potrivit unora, această schemă de axiome este o formalizare logică a zicalei socratice „Știu că nu știu”, în termenii „Nu știu p, deci știu că nu știu p”, care este echivalent, aplicând regula exemplificării universale (sau „Introducere di ∀”) la „Pentru toate p: dacă nu știu p, atunci știu că nu știu p”. Această opinie, pentru ultima propoziție, este în mod clar înșelătoare: zicala socratică, de fapt, ar putea indica cel mai slab, dintre diferitele posibile formalizări logice, a afirmat Σ: „Sunt sigur că: există cel puțin o p: Știu că nu știu p "(B∃p: K ~ Kp). Cu toate acestea, vom desfășura o demonstrație de mai jos care face de înțeles cum K5 se prezintă ca o adevărată problemă filosofică. ^{[ fără sursă ]}

i) ¬Kp → K¬Kp (K5)
ii) K¬Kp → B¬Kp (K2)
iii) ¬B¬Kp → ¬K¬Kp (regula contrastului aplicată K2)
iiib) ¬K¬Kp → Kp (regula contrastului aplicată lui K5)
iv) ¬B¬Kp → Kp (regulă de concatenare pentru iii și iiib)
v) BKp → ¬B¬Kp (principiul non-contradicției epistemice)
vi) BKp → Kp (concatenare pe iv și v)

Consecința se spune curând: raționamentul se încheie afirmând că a crede p (ceea ce este echivalent cu a afirma că credem că știm p pentru principiul introspecției și pentru regula concatenării) implică cunoașterea p. Această concluzie este evident falsă și subliniază necesitatea de a distinge riguros cunoștințele de credință.

Moduri temporale

Modurile temporale sunt folosite pentru a exprima valoarea adevărului unei propoziții cu privire la timp. Există două perechi de operatori duali, unul referitor la trecut și unul la viitor. Pentru trecut operatorul $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ este citit ca "A fost întotdeauna adevărat că ...", în timp ce operatorul $\Diamond$ ${\ displaystyle \ Diamond}$ $\ Diamond$ ca „A fost un moment când a fost adevărat că ...”. Pentru viitor va exista, respectiv, „Va fi întotdeauna adevărat că ...” și „Va exista un moment în care va fi adevărat că ...”.

Bertrand Russell, William Von Orman Quine și John C. Smart au propus o abordare de de-temporalizare pentru a lega propozițiile de mod temporal cu cazul logicii clasice, care este atemporală. Fiecare propoziție temporală, trecută sau viitoare, are o dată subiacentă care trebuie explicitată, după care devine independentă de timp: atemporală și deci tratabilă cu logica clasică, adică omnitemporal adevărată sau falsă. Dar nu pentru toate propunerile (gândiți-vă la cele viitoare care încă nu au avut loc) este posibil să faceți explicit o notă dată care le face atemporale.

Cu abordarea opusă a temporalizării avem calculul logic efectuat cu utilizarea logicii clasice și adăugarea de noi axiome și operatori temporali, care pot fi combinate între ele. Odată cu temporalizarea, logica este polivalentă (cel puțin trivalentă, cu trei valori de adevăr posibile), adică principiile identității și non-contradicției sunt valabile, dar nu ale terțului exclus: prin urmare, avem valori de adevăr intermediare între adevărat și fals ; ex. 1 (adevărat), 0 (fals), ½ (nedefinit).

În cea mai studiată logică multimodală, logica timpurilor, datorită lui Arthur N. Prior (1951) ^[5] , avem cei doi operatori de necesitate și posibilitate la care Prior adaugă alți patru operatori pentru modalitățile temporale: operatorii primitivi sunt H și G, pentru a fi citite „întotdeauna în trecut” (trecut puternic) și „întotdeauna în viitor” (viitor puternic), în timp ce dualii lor sunt P și F, adică „cândva în trecut” (sau chiar „acesta” era adevărat că „, trecut slab) și„ cândva în viitor ”(sau chiar„ va fi adevărat că ”, viitor slab). Logica lui Prior este o extensie a logicii clasice, deoarece în ea propozițiile atemporale sunt tratate ca cazuri particulare ale propozițiilor temporale, deși ar fi mai firesc să gândim contrariul, adică că propozițiile temporale adevărate sau false în raport cu o data unică sunt cazuri particulare în ceea ce privește propozițiile adevărate sau false în orice moment.

Rescher ^{[6] face} distincție între propoziții cronologice nedeterminate, cvasipropoziții al căror adevăr depinde de momentul afirmației și care conțin pseudo-date („ieri”, „acum trei minute”); din propoziții definite cronologic, al căror adevăr este independent de timp și care conțin date. Rescher propune o logică pe care el o numește logică topologică , o logică de temporalizare, care adaugă un singur operator parametrizat P care transformă o propoziție nedefinită într-o propoziție temporală (sau mai degrabă le relativizează într-un domeniu de propoziții temporale), dar care poate fi mai general și spațială, situațională.

Modalități deontice

Modalitățile deontice sunt legate de afirmațiile referitoare la conceptul de datorie. „Este obligatoriu ...” este interpretarea deontică a operatorului $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ , „Este permis ...” al operatorului $\Diamond$ ${\ displaystyle \ Diamond}$ $\ Diamond$ .

$\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ Și $\Diamond$ ${\ displaystyle \ Diamond}$ $\ Diamond$ nu sunt operatori valabili în modalitățile deontice și sunt înlocuiți de operatorii O (obligatoriu) și P (permisiune), sub pedeapsa confuziei între necesitatea deontică (de exemplu, morală sau legală) și necesitatea reală (de exemplu, fizică sau metafizică).

În toate sistemele deontice (axiologice, morale, juridice), axioma T ( $\Box p\Rightarrow p$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow p}$ ), înlocuit de axioma D : $\Box p\Rightarrow \Diamond p$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow \ Diamond p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow \ Diamond p}$ .

Axioma D are funcția importantă de a garanta contradicția normativă, adică faptul că, dacă o anumită propoziție p este obligatorie, negarea sa ¬p ( imposibilia nemo tenetur ) nu poate fi în același timp.

Axiomele T și D plasează o relație diferită între lumea originală (de obicei cea actuală) și partea celorlalte lumi posibile cu care este legată lumea originală și care sunt, prin urmare, accesibile din aceasta. În timp ce axioma T (necesitatea implică realitatea) pune lumea care generează relațiile la același nivel cu celelalte, deoarece este supusă acelorași necesități (legile fizice sunt valabile și în lumea prezentă), acest lucru nu este valabil pentru axioma D (în lume originarea necesității deontice implică posibilitatea).

De fapt, dacă $\Box p$ ${\ displaystyle \ Box p}$ ${\ displaystyle \ Box p}$ este adevărat dacă p este adevărat în toate lumile posibile, atunci $\Box p\rightarrow p$ ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow p}$ (principiul reflexivității T ) este adevărat dacă lumea actuală face parte, de asemenea, din setul de lumi posibile. De exemplu, dacă legea gravitației este adevărată în toate lumile posibile, este evident că, dacă p descrie căderea unui corp aici pe pământ, ea urmează în prezent legea gravitației.

Dacă atribuim modalități epistemice operatorilor, prin urmare:

$◻$ {\ displaystyle \ Box} $\Cutie$ preia semnificația „știi asta” și afirmă ceea ce este adevărat în toate lumile accesibile
- în consecință, $\Diamond$ ${\ displaystyle \ Diamond}$ $\ Diamond$ preia semnificația „nu se știe că nu”
- axioma se menține $\Box p\rightarrow p$ ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow p}$ deoarece nu putem ști decât ceea ce este confirmat de realitate: relația de accesibilitate este reflexivă.

În schimb, dacă atribuim:

$◻$ {\ displaystyle \ Box} $\Cutie$ își asumă semnificația „cred că”, axioma T nu poate fi deținută deoarece putem avea foarte bine credințe care nu corespund realității faptelor
- axioma D este valabilă, ceea ce este echivalent cu principiul non-contradicției: $\Box p\rightarrow \Diamond p\leftrightarrow \neg \Box (\neg p)$ ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Diamond p \ leftrightarrow \ neg \ Box (\ neg p)}$ ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Diamond p \ leftrightarrow \ neg \ Box (\ neg p)}$ (prin definiția operatorului), deci nu pot să cred în același timp albina în negarea sa. Cu această axiomă relația este serială, situația identică cu cea văzută pentru modalitățile deontice.

Definiția possible world

Semantica formală a lui Tarski formalizează semantica clasică și consideră adevărul formulelor cu privire la starea lucrurilor unei singure lumi actuale. Semantica relațională a lui Kripke este o evoluție a semanticii formale a lui Tarski, în care adevărul ajunge să depindă de stări de lucruri din lumile alternative la cea actuală (lumile posibile, accesibile din cea actuală), cu aceste interpretări:

În metafizică și teologia naturală - și aceasta este cea mai veche semnificație a termenului care se întoarce la Leibniz - noțiunea poate fi interpretată pentru a formaliza universuri care sunt alternative la prezent, dar pe care Dumnezeu a fost liber să le creeze.
În științele fizice, lumile posibile pot reprezenta, de exemplu, diferite etape evolutive ale universului, trecute sau viitoare în comparație cu cea actuală, sau posibile evoluții ale universului compatibile cu aceleași condiții inițiale, dar niciodată realizate.
În științele biologice pot reprezenta diferite procese evolutive sau etape evolutive ale materiei biologice distincte de cele în vigoare în prezent, dar la fel de compatibile.
În etică și morală, diverse opțiuni alternative se deschid capacității de luare a deciziilor omului, sau alternative la alegerile făcute în prezent de subiect, sau pot reprezenta lumi în mod ideal bune, distincte de cea actuală, cu care să formalizeze obligația morală.
În epistemologie, ele pot fi interpretate ca reprezentări distincte ale lumii actuale. ^[7]

Kripke presupune că numele sunt „designeri rigizi”, adică desemnează același individ în toate lumile posibile contemplate de structura modelului (deși pot desemna indivizi diferiți în lumea altor structuri model). Predicatele și, împreună cu acestea, propozițiile atomice, schimbă valoarea semantică de la o lume la alta, astfel încât să reprezinte faptul că anumite obiecte ar putea satisface predicate diferite de cele pe care le satisfac în lumea actuală. Faptul că, din punct de vedere logic, nu ni se cere să adoptăm una în special printre structurile-model infinite disponibile teoriei, evită să ne pierdem în considerații metafizice pe care este cea mai bună hartă a realității și posibilele sale alternative ^[8] .

În mod egal, relația de accesibilitate între lumile posibile poate fi interpretată cu tipurile de relații dintre obiecte din diferitele teorii (cauzale în fizică și metafizică, juridice în logică, juridice în drept etc.) și pot conduce la o teorie unificată a diverselor semantică pentru sistemele de logică aletică, deontică și epistemică și la o singură reprezentare simplă a acestora printr-un grafic orientat.

Relația lumii de pornire cu celelalte lumi accesibile din aceasta este de tip euclidian, adică proprietatea tranzitivă se menține (în funcție de sistemul formal ales, dacă se menține axioma T sau D , este, de asemenea, simetrică sau asimetrică; niciodată reflexiv): dacă din u accesăm av și dacă accesăm întotdeauna aw din u, aceasta implică faptul că din v accesăm aw, adică lumile posibile sunt toate legate între ele. Se arată că întrucât relația din lumea inițială este euclidiană-tranzitivă, cele dintre lumile posibile se bucură toate de o reflexivitate și simetrie secundară (și tranzitivitate).

Axiomatizări

După cum sa menționat în introducerea istorică cu referire la sistemele S1 - S5 ale lui Lewis, diferite seturi de axiome dau naștere unor logici modale diferite. La nivel semantic, proprietățile relației de accesibilitate dintre lumi dau naștere diferitelor logici.

Cea mai slabă logică modală frecvent studiată este numită K în onoarea lui Kripke și conține:

toate axiomele logicii propoziționale
N , regula necesității : dacă p este o teoremă atunci $\Box p$ ${\ displaystyle \ Box p}$ ${\ displaystyle \ Box p}$ este o teoremă
K , axioma distribuției : $\Box (p\Rightarrow q)\Rightarrow (\Box p\Rightarrow \Box q)$ ${\ displaystyle \ Box (p \ Rightarrow q) \ Rightarrow (\ Box p \ Rightarrow \ Box q)}$ ${\ displaystyle \ Box (p \ Rightarrow q) \ Rightarrow (\ Box p \ Rightarrow \ Box q)}$ .

Adăugând la K axioma T obținem logica numită T la rândul său:

T : $\Box p\Rightarrow p$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow p}$

T se numește axioma reflexivității deoarece corespunde proprietății reflexive a relației de accesibilitate între lumi. Se afirmă că dacă p este necesar, atunci trebuie să fie și adevărat. Deci, dacă p este adevărat în toate lumile v accesibil de la w, atunci este adevărat și în w . Dacă relația nu ar avea proprietatea reflexivă, ele ar putea fi adevărate $\Box p$ ${\ displaystyle \ Box p}$ ${\ displaystyle \ Box p}$ ( p este adevărat în toate lumile accesibile) că $\lnot p$ ${\ displaystyle \ lnot p}$ ${\ displaystyle \ lnot p}$ (întrucât lumea în care evaluez nu este printre cele accesibile), dar $\Box p\Rightarrow p$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow p}$ Și $\Box p$ ${\ displaystyle \ Box p}$ ${\ displaystyle \ Box p}$ implică $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ (pentru modus ponens ), și ar exista contradicția $p\land \lnot p$ ${\ displaystyle p \ land \ lnot p}$ ${\ displaystyle p \ land \ lnot p}$ . Axioma T poate fi citită și într-un mod opus: dacă p este adevărat, atunci trebuie să fie posibil și în simboluri: $p\Rightarrow \Diamond p$ ${\ displaystyle p \ Rightarrow \ Diamond p}$ ${\ displaystyle p \ Rightarrow \ Diamond p}$

Alte axiome utilizate în mod obișnuit sunt următoarele (proprietăți corespunzătoare ale relației de accesibilitate între paranteze):

4 : $\Box p\Rightarrow \Box \Box p$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow \ Box \ Box p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow \ Box \ Box p}$ ( proprietate tranzitivă )
AB : $p\Rightarrow \Box \Diamond p$ ${\ displaystyle p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p}$ ${\ displaystyle p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p}$ ( proprietate simetrică )
D : $\Box p\Rightarrow \Diamond p$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow \ Diamond p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow \ Diamond p}$ ( proprietate de serie )
5 : $\Diamond p\Rightarrow \Box \Diamond p$ ${\ displaystyle \ Diamond p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p}$ ${\ displaystyle \ Diamond p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p}$ ( Proprietate euclidiană )

Aceste axiome definesc următoarele sisteme:

S4 : = T + 4 , desemnat și cu KT4
B : = T + AB
S5 : = S4 + AB sau T + 5 sau B + 4 , deci $KT5\supset KT4$ ${\ displaystyle KT5 \ supset KT4}$ ${\ displaystyle KT5 \ supset KT4}$ , desemnat și cu KT5
D : = K + D.

La care se adaugă axiomele mai puțin frecvente:

6 : $\Box (\Box p\Rightarrow p)$ ${\ displaystyle \ Box (\ Box p \ Rightarrow p)}$ ${\ displaystyle \ Box (\ Box p \ Rightarrow p)}$
B: $p\Rightarrow \Box \Diamond p$ ${\ displaystyle p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p}$ ${\ displaystyle p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p}$
F : $\Box p\Rightarrow \Diamond \Box p$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow \ Diamond \ Box p}$ ${\ displaystyle \ Box p \ Rightarrow \ Diamond \ Box p}$
G : $\Diamond \Box p\Rightarrow \Box \Diamond p$ ${\ displaystyle \ Diamond \ Box p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p}$ ${\ displaystyle \ Diamond \ Box p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p}$
S : $p\Rightarrow (\Diamond \Box p\Rightarrow \Box p)$ ${\ displaystyle p \ Rightarrow (\ Diamond \ Box p \ Rightarrow \ Box p)}$ ${\ displaystyle p \ Rightarrow (\ Diamond \ Box p \ Rightarrow \ Box p)}$

Axiom Name Axiom Condition on Rames R is… (D) □ A → ◊A ∃u wRu Serial (M) □ A → A wRw Reflexive (4) □ A → □□ A (wRv & vRu) ⇒ wRu Transitive (B) A → □ ◊A wRv ⇒ vRw Simetric (5) ◊A → □ ◊A (wRv & wRu) ⇒ vRu Euclidian (CD) ◊A → □ A (wRv & wRu) ⇒ v = u Funcțional (□ M) □ ( □ A → A) wRv ⇒ vRv Shift Reflexive (C4) □□ A → □ A wRv ⇒ ∃u (wRu & uRv) Dens (C) ◊ □ A → □ ◊A wRv & wRx ⇒ ∃u (vRu & xRu) Convergent

Dacă indicăm cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ orice calcul modal, acesta se obține prin adăugarea la limbă a regulilor caracteristice de deducere a lui m numite D (m), constând din regulile calculului clasic D (k) plus regulile tipice ale calculului modal.

Regula comună tuturor calculelor m este Regula necesității (N) văzută anterior, prin urmare K se numește un sistem formal al logicii modale fundamentale și unde N deține toate calculele modale sunt numite și normale. In funzione del sistema formale di calcolo K possono essere espressi in tutti gli altri sistemi formali, con le loro regole specifiche per il calcolo modale, derivate dalle combinazioni opportune degli assiomi esposti:

K : $D(K)=D(k)+N$ ${\displaystyle D(K)=D(k)+N}$ $D(K)=D(k)+N$
KD : $D(KD)=D(K)+D$ ${\displaystyle D(KD)=D(K)+D}$ $D(KD)=D(K)+D$
KT : $D(KT)=D(K)+T$ ${\displaystyle D(KT)=D(K)+T}$ $D(KT)=D(K)+T$ , designato anche con T
K4 : $D(K4)=D(K)+4$ ${\displaystyle D(K4)=D(K)+4}$ $D(K4)=D(K)+4$ ,
K5 : $D(K5)=D(K)+5$ ${\displaystyle D(K5)=D(K)+5}$ $D(K5)=D(K)+5$ ,
K45 : $D(K45)=D(K4)+5$ ${\displaystyle D(K45)=D(K4)+5}$ $D(K45)=D(K4)+5$ ,
K4B : $D(K4B)=D(K4)+B$ ${\displaystyle D(K4B)=D(K4)+B}$ $D(K4B)=D(K4)+B$ ,
K5B : $D(K5B)=D(K5)+B$ ${\displaystyle D(K5B)=D(K5)+B}$ $D(K5B)=D(K5)+B$ ,
K46GF : $D(K46GF)=D(K4)+6+G+F$ ${\displaystyle D(K46GF)=D(K4)+6+G+F}$ $D(K46GF)=D(K4)+6+G+F$ ,
KT4G : $D(KT4G)=D(KT4)+G$ ${\displaystyle D(KT4G)=D(KT4)+G}$ $D(KT4G)=D(KT4)+G$ , designato anche con S4.2 (per KT4 vedi sopra)
KT4S : $D(KT4S)=D(KT4)+S$ ${\displaystyle D(KT4S)=D(KT4)+S}$ $D(KT4S)=D(KT4)+S$ , designato anche con S4.4
KD4 : $D(KD4)=D(KD)+4$ ${\displaystyle D(KD4)=D(KD)+4}$ $D(KD4)=D(KD)+4$ , designato anche con S4 deontico
KD5 : $D(KD5)=D(KD)+5$ ${\displaystyle D(KD5)=D(KD)+5}$ $D(KD5)=D(KD)+5$ ,
KD45 : $D(KD45)=D(KD4)+5$ ${\displaystyle D(KD45)=D(KD4)+5}$ $D(KD45)=D(KD4)+5$ , designato anche con S5 deontico

cui aggiungiamo:

KT5 : $D(KT5)=D(KT)+5$ ${\displaystyle D(KT5)=D(KT)+5}$ $D(KT5)=D(KT)+5$ ,

rappresentabili in un grafo orientato, con questi rapporti di inclusione:

$KD\supset K$ $KD\supset K$ $KD\supset K$
$KT\supset KD$ $KT\supset KD$ $KT\supset KD$
$KT5\supset K5B$ $KT5\supset K5B$ $KT5\supset K5B$
$K5B\supset K4B$ $K5B\supset K4B$ $K5B\supset K4B$
$KT5\supset KT4S$ $KT5\supset KT4S$ $KT5\supset KT4S$
$KT5\supset KD45$ $KT5\supset KD45$ $KT5\supset KD45$
$K4B\supset K45$ $K4B\supset K45$ $K4B\supset K45$
$KT4G\supset K46GF$ $KT4G\supset K46GF$ $KT4G\supset K46GF$
$KT4S\supset KT4G$ $KT4S\supset KT4G$ $KT4S\supset KT4G$

Interpretazione dei sistemi KT, KD e KD45

L'accettabilità o meno di certi principi modali si traduceva nell'accettabilità o meno di certe condizioni sulla relazione di accessibilità, e quest'ultima questione non presentava difficoltà particolari. In altre parole, il confronto tra i diversi sistemi di logica modale diventava una questione che poteva essere affrontata a livello semantico affidandosi interamente ai principi della teoria degli insiemi e della logica delle relazioni. In linea di principio, essa si presta addirittura al trattamento di linguaggi irriducibilmente «multimodali», cioè linguaggi contenenti una molteplicità di operatori modali diversi e mutuamente indipendenti: sarà sufficiente postulare una relazione di accessibilità per ciascun tipo di modalità e studiarne le rispettive proprietà.

Il sistema formale T è tipico della necessità delle leggi della fisica. Con l'aggiunta dell'assioma 5, per cui T è vero in tutti i mondi possibili, otteniamo il sistema formale tipico di ogni possibilità metafisica.

Nei sistemi "misti" aletico-deontici tipo KD in cui si usa una particolare versione dell'assioma D(KQ) , grazie a Q è possibile isolare il mondo attuale u in cui, grazie all'assioma T valgono le necessitazioni ontiche (fisiche/metafisiche), da una particolare sottoclasse dei mondi possibili con cui è in relazione, quella dei “mondi buoni” in cui, cioè, gli obblighi deontici sono realtà.

Se la relazione di accessibilità tra mondo attuale e altri mondi R nel sistema formale KD è seriale, ad ogni mondo segue almeno un'alternativa deontica che non è mai realizzata nel mondo di partenza (altrimenti varrebbe l'assioma T ), cioè esiste almeno un mondo possibile in cui è realizzato ciò che nel mondo attuale è solo doveroso. Partendo da un certo mondo possibile preso come situazione iniziale, la struttura di KD e in particolare il carattere seriale della relazione di accessibilità, configura un modello avente il carattere di progetto pratico o morale , in cui ogni avanzamento avviene nella direzione di un maggiore perfezionamento.

In KD4 , con l'aggiunta dell'assioma 4 , in base al quale p→p, ciò che è obbligatorio ad uno stadio del progetto rimane tale nell'evoluzione successiva e non può mai decadere (cumulatività degli obblighi). In KD5 abbiamo la conservazione e cumulatività dei permessi, e si dimostra che non può esservi incremento dei permessi (dimostrazione valida anche per i permessi in KD4).

In KD45 , designato anche come S5 deontico, tanto gli obblighi che i permessi sono perciò conservati e non incrementati. La relazione R fra mondo attuale e tutti gli altri mondi è transitiva, asimmetrica, non riflessiva, euclidea: grazie al fatto che è euclidea, sono simmetriche, riflessive, transitive le relazioni esistenti fra tutti gli altri mondi di S5 secondario . Con l'evolversi del progetto deontico iniziale (vale a dire il mondo attuale), in ognuno dei mondi possibili obblighi e permessi si cumulano, mantengono un completo equilibrio diritti-doveri, vigono rigorosamente le stesse regole deontiche e in ognuno di essi (stante la relazione riflessiva xRx che tutti li caratterizza) sono realizzate (sono tutti cioè mondi buoni). La relazione asimmetrica dei mondi possibili con quello iniziale u, equivale a dire che nulla di ciò che appartiene ad essi può in alcun modo determinare u.

KD45 è anche il sistema-base anche delle logiche epistemiche del “sapere fondato”, in cui il mondo di partenza è quello reale, e gli altri mondi accessibili sono interpretati come le possibili rappresentazioni date da noi al mondo reale: dal mondo reale sono "causate", senza che valga il contrario, che si possa dire che la realtà oggettiva può cambiare in qualche modo perché noi ne abbiamo dato una qualche rappresentazione.

Sistemi formali con regole di calcolo non-modali

Nel suo articolo Semantical Analysis of Modal Logic II. Non-normal Modal Propositional Calculi del 1965, Kripke trattava di sistemi modali «più deboli» di K , che non prevedevano la regola R , come S2 e S3 proposti da Lewis, e come i sistemi E2 ed E3 che non contenevano alcun teorema o formula logicamente valida della forma $\Box A$ $\Box A$ $\Box A$ , da cui si potesse derivare la regola.

Il fatto che una legge logica A (che si può anche chiamare "teorema") abbia una tavola di verità sempre vera, a prescindere dalle variabili, vale a dire che sia sempre una tautologia, non implica che si sappia o si creda che sia una tautologia (potrebbe essere di forma estremamente complessa), e nemmeno che si sappia o si creda che A sia vera: per cui è naturale pensare che la mancanza della regola R debba essere condivisa anche da certe logiche modali non aletiche.

Kripke suggeriva di classificare i mondi possibili inclusi accessibili da quello preso a riferimento (W) in due categorie disgiunte: i mondi «normali» N e quelli «non normali» (nei quali, per esempio, la regola R e l'onniscienza logica non vige), e concentrare sui primi la struttura-modello. Formulando opportune condizioni sulla relazione R e sulla composizione di N, Kripke dimostrava la completezza di una varietà di logiche più deboli di K: E2 risulta completa rispetto alla classe di tutte le strutture-modello, mentre E3, S2 e S3 risultano complete nelle classi di strutture- modello in cui, rispettivamente, R è transitiva, N contiene α, e R è transitiva e N contiene la variabile individuale α.

Note

^ ^a ^b James Garson, Modal Logic , su Stanford Encyclopedia of Philosophy , First published Tue Feb 29, 2000; substantive revision Tue May 27, 2014
^ Pasquale De Luca, Da Pitagora al mostro di Firenze , Diritto e rovescio. Nuova serie, Milano, Giuffrè, 2011, p. 204, ISBN 9788814169724 , OCLC 8622712544 . Citazione: "Benchè risolva questi paradossi ne lascia aperti altri analoghi, [...] Con l'implicazione stretta i paradossi classici risultano sostanzialmente riformulati in termini modali e sopravvivono sotto mutate spoglie.
^ Magnani: logica e possibilità
^ Edward J. Lemmon, Elementi di logica con gli esercizi risolti , Giuseppe Laterza editore, cap. 1- La logica proposizionale , p. 43, ISBN 978-88-420-2772-0 . Citazione: I calcoli aritmetici possono essere generati oltre che controllati, meccanicamente, mentre fin qui non abbiamo trovato alcun modo meccanico di generare prove - anche se, una volta scoperte, una macchina potrebbe certamente verificarne la validità.
^ PRIOR Arthur Norman, Time and modality , Clarendon Press, Oxford, 1957.
^ Nicholas RESCHER – Alasdair URQUHART, Temporal logic , Springer, Wien, 1971
^ LOGICA II: LOGICHE MODALI E INTENSIONALI Parte IV: Cenni di logica modale e di logiche intensionali , Pontificia Università Lateranense, Roma, 2008, corso 50609
^ Kripke: modalità e verità , Achille C. Varzi, Versione finale pubblicata in Il genio compreso. La filosofia di Saul Kripke a cura di A. Borghini, Roma, Carocci Editore, 2010, pp. 23–78, 186–191

Bibliografia

Andrea Borghini, A Critical Introduction to the Metaphysics of Modality , New York, Bloomsbury, 2016.
GE Huges, MJ Cresswell, Introduzione alla logica modale , Il Saggiatore, 1983
GE Huges, MJ Cresswell, A New Introduction to Modal Logic , Routlege, 1996. ISBN 0-415-12599-5
P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema, Modal Logic , Cambridge University Press, 2002. ISBN 978-0-521-52714-9
P. Blackburn, J. van Benthem, F. Wolker. Handbook of Modal Logic , North Holland, 2006

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su logica modale

Collegamenti esterni

( EN ) Logica modale , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) James Garson, Modal Logic , in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy , Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford .
( EN ) Rasmus Rendsvig & John Symons, Epistemic Logic , in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy , Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford .
Massimo Mugnai, Logica modale e mondi possibili ( PDF ), su lgxserve.ciseca.uniba.it (archiviato dall' url originale il 23 luglio 2006) .
Edward N. Zalta, Basic Concepts in Modal Logic ( PDF ), su mally.stanford.edu .
Logic System Interrelationships , su horizons-2000.org . Lista delle logiche modali più comuni

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 12077 · GND ( DE ) 4074914-9

Portale Filosofia

Portale Matematica

[:0-1] James Garson, Modal Logic , su Stanford Encyclopedia of Philosophy , First published Tue Feb 29, 2000; substantive revision Tue May 27, 2014

[2] Pasquale De Luca, Da Pitagora al mostro di Firenze , Diritto e rovescio. Nuova serie, Milano, Giuffrè, 2011, p. 204, ISBN 9788814169724 , OCLC 8622712544 . Citazione: "Benchè risolva questi paradossi ne lascia aperti altri analoghi, [...] Con l'implicazione stretta i paradossi classici risultano sostanzialmente riformulati in termini modali e sopravvivono sotto mutate spoglie.

[3] Magnani: logica e possibilità

[4] Edward J. Lemmon, Elementi di logica con gli esercizi risolti , Giuseppe Laterza editore, cap. 1- La logica proposizionale , p. 43, ISBN 978-88-420-2772-0 . Citazione: I calcoli aritmetici possono essere generati oltre che controllati, meccanicamente, mentre fin qui non abbiamo trovato alcun modo meccanico di generare prove - anche se, una volta scoperte, una macchina potrebbe certamente verificarne la validità.

[5] PRIOR Arthur Norman, Time and modality , Clarendon Press, Oxford, 1957.

[6] Nicholas RESCHER – Alasdair URQUHART, Temporal logic , Springer, Wien, 1971

[7] LOGICA II: LOGICHE MODALI E INTENSIONALI Parte IV: Cenni di logica modale e di logiche intensionali , Pontificia Università Lateranense, Roma, 2008, corso 50609

[8] Kripke: modalità e verità , Achille C. Varzi, Versione finale pubblicata in Il genio compreso. La filosofia di Saul Kripke a cura di A. Borghini, Roma, Carocci Editore, 2010, pp. 23–78, 186–191

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6] face

[7]

[8]