Contracția lungimii

În fizică, contracția lungimilor , prezisă de teoria specială a relativității , este reducerea dimensiunii unui obiect în direcția mișcării sale rectilinii uniforme față de un observator.

Contracția, numită și contracția Lorentz - FitzGerald, deoarece a fost ipotezată pentru prima dată, deși cu un sens diferit, de către cei doi cercetători, devine semnificativă la viteze comparabile cu cea a luminii .

contracția lungimii

Istorie

Prima idee de contracție a lungimii a fost contracția Lorentz-FitzGerald, propusă de George Francis FitzGerald și aprofundată și extinsă independent de Hendrik Lorentz pentru a explica rezultatul negativ al experimentului Michelson-Morley , care a încercat să recunoască mișcarea relativă a Pământului în ceea ce privește eterul .

După ce a citit un articol de Oliver Heaviside , care a arătat că câmpurile electrice și magnetice au fost deformate de mișcare, FitzGerald a dedus că în mod similar, atunci când un corp se mișcă prin spațiu, acesta suferă o deformare cauzată de mișcare și că acest lucru poate explica rezultatul nul. experiment. FitzGerald a sugerat contracția într-o scrisoare din 1889 către Știință , care a trecut neobservată până în 1892 Lorentz a susținut că un astfel de efect ar putea fi prezis pe baza teoriei electromagnetice și a teoriei electronice a materiei. Lorentz a afirmat că atunci când un corp se mișcă prin spațiu dimensiunea sa paralelă cu traiectoria este redusă cu o cantitate dependentă de viteză: dacă viteza corpului este $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ și viteza luminii $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , contracția este în proporție

1:{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

{\ displaystyle 1: {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}

{\ displaystyle 1: {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}

Pentru Pământ, care se mișcă cu aproximativ 30 km / s, contracția ar fi de aproximativ o parte din 200.000.000, ceea ce se traduce în aproximativ 6 cm pe diametrul planetei. Această mică schimbare ar putea explica rezultatul negativ al experimentului lui Michelson și Morley, sugerând că sursa de lumină și oglinda sunt mai apropiate atunci când sunt dispuse de-a lungul direcției mișcării Pământului.

Contracția, cu un fundament teoretic riguros și complet diferit, a devenit ulterior parte a relativității speciale, ca o consecință a celui de-al doilea postulat al teoriei care stabilește constanța vitezei luminii.

Descriere

În relativitatea specială, formula pentru măsurarea lungimii unui obiect în mișcare față de un observator este:

L={\frac {L_{p}}{\gamma (v)}}=L_{p}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

{\ displaystyle L = {\ frac {L_ {p}} {\ gamma (v)}} = L_ {p} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}

L = {\ frac {L _ {{p}}} {\ gamma (v)}} = L _ {{p}} {\ sqrt {1-v ^ {{2}} / c ^ {{2} }}}

unde este

L_{p}

{\ displaystyle L_ {p}}

L_ {p}

este lungimea corectă (lungimea măsurată de un observator în repaus cu privire la obiect),

L

{\ displaystyle L}

L

este lungimea măsurată de un observator în mișcare relativă față de obiect,

v

{\ displaystyle v}

v

este viteza relativă dintre observator și obiect

c

{\ displaystyle c}

c

este viteza luminii .

Și

{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} \}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} \}

.

este factorul Lorentz

Trebuie remarcat faptul că factorul Lorentz este întotdeauna mai mare sau cel mult egal cu 1 și că lungimea se referă la dimensiunea obiectului paralel cu direcția de mișcare. Mai mult, pentru observatorul în mișcare relativă față de obiect, lungimea este calculată prin scăderea distanțelor extremităților măsurate simultan. Pentru conversii mai generale vezi transformările Lorentz .

Un observator odihnit care privește un obiect care se mișcă în mod ideal cu viteza luminii ar trebui să-și vadă dimensiunea în direcția de mișcare egală cu zero, ceea ce sugerează, chiar și indiferent de alte motive, că un obiect cu masă nu poate atinge acea viteză.

Derivare

Contracția lungimii poate fi obținută pur și simplu din transformările Lorentz.

Într-un cadru de referință inerțial ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ , $x_{1}^{'}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {'}}$ $x _ {{1}} ^ {{'}}$ Și $x_{2}^{'}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {'}}$ $x _ {{2}} ^ {{'}}$ sunt extremele unui obiect de lungime $L_{0}^{'}$ ${\ displaystyle L_ {0} ^ {'}}$ $L _ {{0}} ^ {{'}}$ în repaus comparativ cu ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ . Coordonatele din ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ sunt legate de cele din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din transformările Lorentz după cum urmează:

x_{1}^{'}={\frac {x_{1}-vt_{1}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\,

{\ displaystyle x_ {1} ^ {'} = {\ frac {x_ {1} -vt_ {1}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} \, \, }

x _ {{1}} ^ {{'}} = {\ frac {x _ {{1}} - vt _ {{1}}} {{\ sqrt {1-v ^ {{2}} / c ^ {{2}}}}}} \, \,

Și

\,\,x_{2}^{'}={\frac {x_{2}-vt_{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.

{\ displaystyle \, \, x_ {2} ^ {'} = {\ frac {x_ {2} -vt_ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} .}

\, \, x _ {{2}} ^ {{'}} = {\ frac {x _ {{2}} - vt _ {{2}}} {{\ sqrt {1-v ^ {{2 }} / c ^ {{2}}}}}}.

Deoarece acest obiect se mută $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , lungimea sa $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ trebuie măsurat determinând simultan poziția extremelor sale, de aceea vom presupune $t_{1}=t_{2}\,$ ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2} \,}$ $t _ {{1}} = t _ {{2}} \,$ . De cand $L=x_{2}-x_{1}\,$ ${\ displaystyle L = x_ {2} -x_ {1} \,}$ $L = x _ {{2}} - x _ {{1}} \,$ Și $\,L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}$ ${\ displaystyle \, L_ {0} ^ {'} = x_ {2} ^ {'} - x_ {1} ^ {'}}$ $\, L _ {{0}} ^ {{'}} = x _ {{2}} ^ {{'}} - x _ {{1}} ^ {{'}}$ , vom primi

(1)

L_{0}^{'}={\frac {L}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.

{\ displaystyle L_ {0} ^ {'} = {\ frac {L} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}

L _ {{0}} ^ {{'}} = {\ frac {L} {{\ sqrt {1-v ^ {{2}} / c ^ {{2}}}}}}.

Apoi lungimea măsurată în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este dat de

(2)

L=L_{0}^{'}\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.

{\ displaystyle L = L_ {0} ^ {'} \ cdot {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}.}

L = L _ {{0}} ^ {{'}} \ cdot {\ sqrt {1-v ^ {{2}} / c ^ {{2}}}}.

În conformitate cu al doilea principiu al relativității, obiectele care se află în repaus $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ va trebui să se scurteze pentru ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ . În acest caz, transformarea Lorentz va fi următoarea:

x_{1}={\frac {x_{1}^{'}+vt_{1}^{'}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {x_ {1} ^ {'} + vt_ {1} ^ {'}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} }

x _ {{1}} = {\ frac {x _ {{1}} ^ {{'}} + vt _ {{1}} ^ {{'}}} {{\ sqrt {1-v ^ { {2}} / c ^ {{2}}}}}}

Și

x_{2}={\frac {x_{2}^{'}+vt_{2}^{'}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.

{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {x_ {2} ^ {'} + vt_ {2} ^ {'}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} .}

x _ {{2}} = {\ frac {x _ {{2}} ^ {{'}} + vt _ {{2}} ^ {{'}}} {{\ sqrt {1-v ^ { {2}} / c ^ {{2}}}}}}.

Pentru cerința de simultaneitate $t_{1}^{'}=t_{2}^{'}\,$ ${\ displaystyle t_ {1} ^ {'} = t_ {2} ^ {'} \,}$ $t _ {{1}} ^ {{'}} = t _ {{2}} ^ {{'}} \,$ și plasarea $L_{0}=x_{2}-x_{1}\$ ${\ displaystyle L_ {0} = x_ {2} -x_ {1} \}$ $L _ {{0}} = x _ {{2}} - x _ {{1}} \$ Și $L^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}$ ${\ displaystyle L ^ {'} = x_ {2} ^ {'} - x_ {1} ^ {'}}$ $L ^ {{'}} = x _ {{2}} ^ {{'}} - x _ {{1}} ^ {{'}}$ , prin urmare, obținem:

(3)

L_{0}={\frac {L^{'}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.

{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {L ^ {'}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}

L _ {{0}} = {\ frac {L ^ {{'}}} {{\ sqrt {1-v ^ {{2}} / c ^ {{2}}}}}}.

Apoi lungimea măsurată de la ${S.}^{'}$ ${\ displaystyle S '}$ $da$ este dat de:

(4)

L^{'}=L_{0}\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.

{\ displaystyle L ^ {'} = L_ {0} \ cdot {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}.}

L ^ {{'}} = L _ {{0}} \ cdot {\ sqrt {1-v ^ {{2}} / c ^ {{2}}}}.

Prin urmare (1) și (3) dau lungimea corectă atunci când lungimea contractată este cunoscută, în timp ce (2) și (4) dau lungimea contractată atunci când lungimea corectă este cunoscută.

Pentru a înțelege mai bine ce se întâmplă este potrivit să se utilizeze formalismul matricial: în sistem $S^{'}$ ${\ displaystyle S ^ {'}}$ $S ^ {{'}}$ în care obiectul este în repaus, putem măsura lungimea acestuia măsurând distanța spațială a două evenimente în spațiu-timp care identifică pozițiile extreme ale obiectului:

$x_{1}'=\left({\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}}\right)\qquad x_{2}'=\left({\begin{array}{c}ct_{1}\\0\\0\\L'\end{array}}\right)$ ${\ displaystyle x_ {1} '= \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ qquad x_ {2}' = \ left ({\ begin {array} {c} ct_ {1} \\ 0 \\ 0 \\ L '\ end {array}} \ right)}$ $x_ {1} '= \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ qquad x_ {2}' = \ left ({\ începe {array} {c} ct_ {1} \\ 0 \\ 0 \\ L '\ end {array}} \ right)$

Deoarece obiectul este în repaus în acest cadru de referință, putem lua în considerare și evenimentele $x_{1}'$ ${\ displaystyle x_ {1} '}$ $x_ {1} '$ Și $x_{2}'$ ${\ displaystyle x_ {2} '}$ $x_ {2} '$ măsurată în momente diferite (în acest sistem poziția obiectului nu depinde de timp). Nu același lucru este valabil și pentru sistem $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , unde obiectul se mișcă cu viteză $-{\vec {v}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {v}}}$ $- {\ vec v}$ . În $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ evenimentele au nevoie $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ sunt simultane pentru a obține o măsurare corectă a lungimii:

$x_{1}=\Lambda x_{1}'\qquad x_{2}=\Lambda x_{2}'$ ${\ displaystyle x_ {1} = \ Lambda x_ {1} '\ qquad x_ {2} = \ Lambda x_ {2}'}$ $x_ {1} = \ Lambda x_ {1} '\ qquad x_ {2} = \ Lambda x_ {2}'$

Matricea $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ reprezintă schimbarea sistemului de referință (matricea Lorentz):

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &0&0&-\beta \gamma \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta \gamma &0&0&\gamma \end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ gamma & 0 & 0 & - \ beta \ gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \ beta \ gamma & 0 & 0 & \ gamma \ end {pmatrix}}}$ $\ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ gamma & 0 & 0 & - \ beta \ gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \ beta \ gamma & 0 & 0 & \ gamma \ end {pmatrix}}$

Rulând produsul rând cu coloană, calculăm evenimentele din noul sistem de referință $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ unde obiectul este în mișcare:

$x_{1}=\left({\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}}\right)\qquad x_{2}=\left({\begin{array}{c}\gamma ct_{1}-\beta \gamma L'\\0\\0\\-\beta \gamma ct_{1}+\gamma L'\end{array}}\right)$ ${\ displaystyle x_ {1} = \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ qquad x_ {2} = \ left ({ \ begin {array} {c} \ gamma ct_ {1} - \ beta \ gamma L '\\ 0 \\ 0 \\ - \ beta \ gamma ct_ {1} + \ gamma L' \ end {array}} \ dreapta)}$ $x_ {1} = \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ qquad x_ {2} = \ left ({\ begin { array} {c} \ gamma ct_ {1} - \ beta \ gamma L '\\ 0 \\ 0 \\ - \ beta \ gamma ct_ {1} + \ gamma L' \ end {array}} \ right)$

Deoarece cele două evenimente trebuie să fie simultane, trebuie să impunem componenta temporală a $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ nu este nimic:

$\gamma ct_{1}-\beta \gamma L'=0$ ${\ displaystyle \ gamma ct_ {1} - \ beta \ gamma L '= 0}$ $\ gamma ct_ {1} - \ beta \ gamma L '= 0$

$t_{1}={\frac {\beta L'}{c}}$ ${\ displaystyle t_ {1} = {\ frac {\ beta L '} {c}}}$ $t_ {1} = {\ frac {\ beta L '} {c}}$

Prin substituirea în a patra componentă a $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ noi obținem:

$x_{2}=\left({\begin{array}{c}0\\0\\0\\-\beta ^{2}\gamma L'+\gamma L'\end{array}}\right)$ ${\ displaystyle x_ {2} = \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ - \ beta ^ {2} \ gamma L '+ \ gamma L' \ end {array} } \ dreapta)}$ ${\ displaystyle x_ {2} = \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ - \ beta ^ {2} \ gamma L '+ \ gamma L' \ end {array} } \ dreapta)}$

În acest moment putem calcula distanța dintre componentele spațiale ale celor două evenimente $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ :

$L=x_{2}^{(4)}-x_{1}^{(4)}=\gamma L'\left(1-\beta ^{2}\right)=L'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ ${\ displaystyle L = x_ {2} ^ {(4)} - x_ {1} ^ {(4)} = \ gamma L '\ left (1- \ beta ^ {2} \ right) = L' {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$ ${\ displaystyle L = x_ {2} ^ {(4)} - x_ {1} ^ {(4)} = \ gamma L '\ left (1- \ beta ^ {2} \ right) = L' {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$

Astfel am obținut rezultatul corect. O atenție deosebită trebuie acordată atunci când se calculează contracția lungimilor în relativitatea specială, deoarece trebuie să se țină seama de faptul că evenimentele care sunt simultane într-un sistem de referință nu rămân neapărat în altul.

Teste experimentale

Deși contracția lungimilor nu a fost niciodată observată experimental pe obiecte materiale macroscopice, a fost verificată mai întâi prin celebrul experiment de Bruno Rossi și David B. Hall , care se concentrează pe decăderea muonilor atmosferici. Din punctul de vedere al unui sistem de referință solidar cu Pământul (observator de laborator), muonii se nasc la aproximativ 10-15 km altitudine; de fapt, teoria relativității speciale prezice că, pentru un observator solidar cu particula, distanța muon-Pământ este contractată și egală cu 447-671 m atunci când se nasc din cauza decăderii mezonilor din atmosfera superioară. Experimentul arată că durata medie de viață a unui muon în repaus este validă 2,4 × 10 ⁻⁶ s ^[1] ; întrucât particula are o viteză de aproximativ 99,8% din cea a luminii în vid, aceasta se deplasează în medie cu 719 m înainte de descompunere și, prin urmare, poate fi detectată la altitudine mică, chiar și la nivelul mării, după cum a confirmat experimentul. ^[2] ^[3] Observați că, în termeni clasici, acest lucru nu ar fi posibil, deoarece distanța inițială particulă-Pământ ar trebui să fie de câțiva kilometri.

Notă

^ B. Rossi, DB Hall, Variation of the Rate of Decay of Mesotrons with Momentum , Physical Review, vol. 59, nr 3, 1 februarie 1941, p. 228, DOI: https: //doi.org/10.1103/PhysRev.59.223
^ B. Rossi, DB Hall, Variation of the Rate of Decay of Mesotrons with Momentum , Physical Review, vol. 59, nr. 3, 1 februarie 1941, p. 227, DOI: https: //doi.org/10.1103/PhysRev.59.223
^ Focardi, Sergio., Fizică generală: mecanică și termodinamică , 2. ed., CEA, 2014, p. 650-651, ISBN 9788808182159 ,OCLC 883543794 .

Bibliografie

V. Barone, Relativitate. Principii și aplicații , Bollati Boringhieri , ISBN 9788833957579
S. Focardi, I. Massa, A. Uguzzoni, M. Villa, General physics - II edition , Casa Editrice Ambrosiana, ISBN 9788808182159
P. Mazzoldi, M. NIgro, C. Voices, Physics , vol. 1, EdiSeS, ISBN 9788879591379
E. Mazur, Principiile și practica fizicii , Pearson Global Edition, ISBN 9781292078861
B. Rossi, DB Hall, Variation of the Rate of Decay of Mesotrons with Momentum , Physical Review, vol. 59, nr. 3, 1 februarie 1941, DOI: https: //doi.org/10.1103/PhysRev.59.223
E. Segrè, Nucleii și particulele - ediția a doua , Zanichelli, ISBN 8808056287

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

( EN ) Contracția lungimilor , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate

[1] B. Rossi, DB Hall, Variation of the Rate of Decay of Mesotrons with Momentum , Physical Review, vol. 59, nr 3, 1 februarie 1941, p. 228, DOI: https: //doi.org/10.1103/PhysRev.59.223

[2] B. Rossi, DB Hall, Variation of the Rate of Decay of Mesotrons with Momentum , Physical Review, vol. 59, nr. 3, 1 februarie 1941, p. 227, DOI: https: //doi.org/10.1103/PhysRev.59.223

[3] Focardi, Sergio., Fizică generală: mecanică și termodinamică , 2. ed., CEA, 2014, p. 650-651, ISBN 9788808182159 ,OCLC 883543794 .

[1]

[2]

[3]