Mills constant

Mills constant
Simbol	θ
Valoare	1.30637788386308069046861 ... (presupunând ipoteza Riemann ) (secvența A051021 a OEIS )
Originea numelui	William H. Mills
Fracție continuă	[1; 3, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 2, 35, 21, ...] (presupunând ipoteza Riemann) (secvența A123561 a OEIS)
Camp	numere reale

În matematică , numărul pozitiv real este definit ca constantă a lui Mills $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ astfel încât funcția

f(n)=\lfloor \theta ^{3^{n}}\rfloor

{\ displaystyle f (n) = \ lfloor \ theta ^ {3 ^ {n}} \ rfloor}

{\ displaystyle f (n) = \ lfloor \ theta ^ {3 ^ {n}} \ rfloor}

generează numere prime pentru orice număr întreg pozitiv n, unde $\lfloor \theta \rfloor$ ${\ displaystyle \ lfloor \ theta \ rfloor}$ ${\ displaystyle \ lfloor \ theta \ rfloor}$ indică funcția parte întreagă a $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Existența unei astfel de constante a fost dovedită în 1947 de Mills; ceea ce l-a determinat să formuleze teorema lui Mills .

Presupunând ipoteza Riemann , valoarea constantei, rotunjită la 20 de zecimale, este

\theta \approx 1.30637788386308069046...,

{\ displaystyle \ theta \ approx 1.30637788386308069046 ...,}

{\ displaystyle \ theta \ approx 1.30637788386308069046 ...,}

în timp ce numerele prime generate de constanta Mills sunt

2,11,1361,2521008887...

{\ displaystyle 2,11,1361,2521008887 ...}

{\ displaystyle 2,11,1361,2521008887 ...}

(Secvența A051245 a OEIS ) și sunt numite primele Mills .

Aproximări ale constantei Mills

Nu se cunoaște o formulă închisă pentru constanta Mills, ceea ce face imposibilă aproximarea acesteia a priori . Ceea ce este posibil este să determinăm succesiunea primelor lui Mills printr-o estimare a valorii constantei și din acestea derivă o valoare mai precisă.

Cu toate acestea, în 2005 Chris Caldwell și Yuan-You Cheng ^{[1] au} găsit o metodă pentru a calcula aproximativ 7.000 de cifre de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ (presupunând ipoteza Riemann): pornind de la succesiunea primelor lui Mills (menționate mai sus), obținute printr-o aproximare nedefinitivă a constantei, au demonstrat că este posibil să se calculeze primele succesive ale secvenței și printr-o generalizare a teoremei Mills , în loc să folosim constanta Mills. Astfel, alte prime Mills mai mari ( $p_{n}$ ${\ displaystyle p_ {n}}$ $p_n$ ), este posibil să se aproximeze mai precis $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , folosind formula:

\theta =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{3^{n}}]{p_{n}}}.

{\ displaystyle \ theta = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{3 ^ {n}}] {p_ {n}}}.}

{\ displaystyle \ theta = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{3 ^ {n}}] {p_ {n}}}.}

Notă

^ Chris Caldwell și Yuanyou Cheng, Determinarea constantei lui Mills și o notă despre problema lui Honaker ( PDF ), în Journal of Integer Sequences , vol. 8, 2005. Accesat pe 06.06.2009 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Mills Constant , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Chris Caldwell și Yuanyou Cheng, Determinarea constantei lui Mills și o notă despre problema lui Honaker ( PDF ), în Journal of Integer Sequences , vol. 8, 2005. Accesat pe 06.06.2009 .

[1] au