Sicherman zaruri

Nucile Sicherman sunt o pereche de zaruri cu 6 fețe care, deși au o numerotare diferită de zarurile clasice de joc, se caracterizează prin aceeași distribuție de probabilitate pe suma scorurilor unei perechi de zaruri standard. Cu alte cuvinte, probabilitatea de a obține un anumit scor prin aruncarea unei perechi de zaruri Sicherman este aceeași cu aruncarea unei perechi de zaruri obișnuite. ^[1]

Numerele care apar pe zarurile lui Sicherman sunt 1, 2, 2, 3, 3, 4 și 1, 3, 4, 5, 6, 8. ^[1]

Proprietate

Tabelul de mai jos enumeră toate totalurile posibile și modalitățile de obținere a acestora, pentru o pereche de zaruri obișnuite și o pereche de zaruri Sicherman. Pentru claritate în citire, numerele unuia dintre zarurile Sicherman sunt raportate cu caractere diferite, pentru a distinge ieșirea celor două 2 și a celor 3: 1–2– 2 –3– 3 –4 .

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Zaruri obișnuite	1 + 1	1 + 2 2 + 1	1 + 3 2 + 2 3 + 1	1 + 4 2 + 3 3 + 2 4 + 1	1 + 5 2 + 4 3 + 3 4 + 2 5 + 1	1 + 6 2 + 5 3 + 4 4 + 3 5 + 2 6 + 1	2 + 6 3 + 5 4 + 4 5 + 3 6 + 2	3 + 6 4 + 5 5 + 4 6 + 3	4 + 6 5 + 5 6 + 4	5 + 6 6 + 5	6 + 6
Nuci de Sicherman	1 +1	2 +1 2 +1	3 +1 3 +1 1 +3	1 +4 2 +3 2 +3 4 +1	1 +5 2 +4 2 +4 3 +3 3 +3	1 +6 2 +5 2 +5 3 +4 3 +4 4 +3	2 +6 2 +6 3 +5 3 +5 4 +4	1 +8 3 +6 3 +6 4 +5	2 +8 2 +8 4 +6	3 +8 3 +8	4 +8

Istorie

Nucile Sicherman sunt menționate pentru prima dată de Martin Gardner într-un articol științific american din 1978, în care atribuie concepția lor colonelului George Sicherman din Buffalo . Articolul tradus în italiană a apărut în numărul din iunie 1978 al revistei Le Scienze , ediția italiană a Scientific American . ^[2]

Dovadă matematică

Dovada existenței și unicității zarurilor lui Sicherman folosește noțiunea de funcție generatoare de probabilitate pentru o variabilă discretă aleatorie, care este rezultatul aruncării unui zar. ^[3]

Să presupunem că piulița canonică n ambele laturi ale unui poliedru cu n laturi ale căror fețe sunt marcate cu numere de la 1 la n, astfel încât probabilitatea de a obține fiecare număr este aceeași și egală cu 1 / n. Luați în considerare matrița canonică pe 6 fețe. Funcția generatoare de probabilitate care reprezintă aruncările acestei matrițe este $x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}$ ${\ displaystyle x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6}}$ ${\ displaystyle x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6}}$ : exponenții puterilor polinomului indică posibilele rezultate ale aruncării, în timp ce coeficientul corespunzător reprezintă numărul de moduri în care poate apărea acel rezultat. Produsul acestei funcții oferă în sine funcția de generare a probabilității pentru aruncarea unei perechi de zaruri: $x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 2x ^ {3} + 3x ^ {4} + 4x ^ {5} + 5x ^ {6} + 6x ^ {7} + 5x ^ {8} + 4x ^ {9} + 3x ^ {10} + 2x ^ {11} + x ^ {12}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 2x ^ {3} + 3x ^ {4} + 4x ^ {5} + 5x ^ {6} + 6x ^ {7} + 5x ^ {8} + 4x ^ {9} + 3x ^ {10} + 2x ^ {11} + x ^ {12}}$ .

Pentru teoria polinoamelor ciclotomice se știe că

x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\Phi _{d}(x).\;

{\ displaystyle x ^ {n} -1 = \ prod _ {d \, \ mid \, n} ^ {n} \ Phi _ {d} (x). \;}

{\ displaystyle x ^ {n} -1 = \ prod _ {d \, \ mid \, n} ^ {n} \ Phi _ {d} (x). \;}

unde d variază în mulțimea divizorilor lui n și $\Phi _{d}(x)\,$ ${\ displaystyle \ Phi _ {d} (x) \,}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {d} (x) \,}$ este d -lea cyclotomic polinomul. De asemenea, se știe că

{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {i} = 1 + x + \ cdots + x ^ {n-1}}

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {i} = 1 + x + \ cdots + x ^ {n-1}}

.

Acum putem obține funcția de generare a unei singure matrițe canonice n

x+x^{2}+\cdots +x^{n}=x\left(1+x+\cdots +x^{n-1}\right)=x\,{\frac {x^{n}-1}{x-1}}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\Phi _{d}(x)

{\ displaystyle x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n} = x \ left (1 + x + \ cdots + x ^ {n-1} \ right) = x \, {\ frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = {\ frac {x} {x-1}} \ prod _ {d \, \ mid \, n} ^ {n} \ Phi _ {d} ( x)}

{\ displaystyle x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n} = x \ left (1 + x + \ cdots + x ^ {n-1} \ right) = x \, {\ frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = {\ frac {x} {x-1}} \ prod _ {d \, \ mid \, n} ^ {n} \ Phi _ {d} ( x)}

Factorizarea funcției generatoare pentru o matriță canonică pe 6 fețe poate fi, prin urmare, exprimată ca

x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}={\frac {x}{x-1}}\,\Phi _{1}(x)\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)

{\ displaystyle x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6} = {\ frac {x} {x-1}} \, \ Phi _ {1} (x) \, \ Phi _ {2} (x) \, \ Phi _ {3} (x) \, \ Phi _ {6} (x) = x \; (x + 1) \; (x ^ {2} + x + 1) \; (x ^ {2} -x + 1)}

{\ displaystyle x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6} = {\ frac {x} {x-1}} \, \ Phi _ {1} (x) \, \ Phi _ {2} (x) \, \ Phi _ {3} (x) \, \ Phi _ {6} (x) = x \; (x + 1) \; (x ^ {2} + x + 1) \; (x ^ {2} -x + 1)}

Funcția generatoare a aruncării unei perechi de zaruri canonice pe 6 fețe este obținută de la produsul factorizării menționate mai sus: va conține fiecare dintre factorii repetați de două ori. Întrebarea este, prin urmare, dacă există posibilitatea de a rearanja acești factori pentru a crea funcțiile de generare a două zaruri ale căror scoruri nu sunt cele ale zarurilor tradiționale. O partiție care îndeplinește aceste condiții există și este unică: funcțiile generatoare ale celor două zaruri sunt

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}

{\ displaystyle x \; (x + 1) \; (x ^ {2} + x + 1) = x + 2x ^ {2} + 2x ^ {3} + x ^ {4}}

{\ displaystyle x \; (x + 1) \; (x ^ {2} + x + 1) = x + 2x ^ {2} + 2x ^ {3} + x ^ {4}}

Și

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}

{\ displaystyle x \; (x + 1) \; (x ^ {2} + x + 1) \; (x ^ {2} -x + 1) ^ {2} = x + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6} + x ^ {8}}

{\ displaystyle x \; (x + 1) \; (x ^ {2} + x + 1) \; (x ^ {2} -x + 1) ^ {2} = x + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6} + x ^ {8}}

Aceste funcții oferă distribuția scorurilor zarurilor lui Sicherman: 1, 2, 2, 3, 3, 4 pentru prima și 1, 3, 4, 5, 6, 8 pentru a doua. ^[3]

Notă

^ ^a ^b ( EN ) Gianni A. Sarcone și Marie-Jo Waeber, puzzle-uri numerice, secvențiale și combinatorii , în puzzle-uri pliabile imposibile și alte paradoxuri matematice , New York, publicațiile Dover, 2013, pp. 88-89, ISBN 978-0-486-49351-0 . Adus pe 19 mai 2016 .
^ Martin Gardner , Jocuri matematice ( PDF ), în The Sciences , L'Espresso Publishing Group, iunie 1978, p. 114.
^ ^A ^b (EN) Alexander Bogomolny, Sicherman spune pe cut-the-knot.org, Cut The Knot. Adus pe 19 mai 2016 .

Elemente conexe

Joc de zaruri)

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, de la Sicherman Nuts în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Julia Jenkins, Sicherman Says (PDF) pe buzzard.ups.edu, 28 aprilie 2010. Accesat la 19 mai 2016.
( EN ) Duane M. Broline, Renumerotarea fețelor zarurilor , în revista Mathematics , vol. 52, nr. 5, Mathematical Association of America, noiembrie 1979, pp. 312-315, DOI : 10.2307 / 2689786 .
(EN) Randall Swift și Brian Fowler, relabeling spune , în The College Mathematics Journal, vol. 30, n. 3, Mathematical Association of America, mai 1999, pp. 204-208.
( EN ) Joseph A. Gallian și David J. Rusin, Cyclotomic Polynomials and Nonstandard Dice , în Discrete Mathematics , vol. 27, n. 3, Elsevier, decembrie 1979, pp. 245-259.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[puzzles-1] ( EN ) Gianni A. Sarcone și Marie-Jo Waeber, puzzle-uri numerice, secvențiale și combinatorii , în puzzle-uri pliabile imposibile și alte paradoxuri matematice , New York, publicațiile Dover, 2013, pp. 88-89, ISBN 978-0-486-49351-0 . Adus pe 19 mai 2016 .

[scienze-2] Martin Gardner , Jocuri matematice ( PDF ), în The Sciences , L'Espresso Publishing Group, iunie 1978, p. 114.

[knot-3] A ^b (EN) Alexander Bogomolny, Sicherman spune pe cut-the-knot.org, Cut The Knot. Adus pe 19 mai 2016 .

[1]

[2]

[3]