Inegalitate quadratică

O inegalitate se numește un grad 2 sau o inegalitate pătratică dacă în ea, odată redusă într-una din următoarele forme, apar termeni pătratici, adică puteri de ordin maxim egal cu 2.

Toate inegalitățile pătratice pot fi urmărite înapoi, prin simplificările obișnuite, la o formă precum:

$ax^{2}+bx+c<0\;$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c <0 \;}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c <0 \;}$
$ax^{2}+bx+c\leq 0\;$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \ leq 0 \;}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \ leq 0 \;}$
$ax^{2}+bx+c>0\;$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c> 0 \;}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c> 0 \;}$
$ax^{2}+bx+c\geq 0\;$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \ geq 0 \;}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \ geq 0 \;}$

Semn al trinomului de gradul II

Se dă trinomul $ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$ $ax ^ {2} + bx + c$ cu $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ . Vrem să studiem semnul trinomului, adică vrem să identificăm pentru ce valori ale x trinomul este pozitiv, negativ sau nul. În primul rând, soluțiile ecuației asociate sunt calculate:

ax^{2}+bx+c=0

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}

ax ^ {2} + bx + c = 0

.

Există trei cazuri: $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ , $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$ Și $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ .

Caz: delta pozitivă $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$

Dacă $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ecuația asociată are două soluții reale și distincte $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ . În acest caz, trinomul poate fi defalcat conform formulei

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x-x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right)}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x-x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right)}

.

Pentru a studia semnul trinomului, studiază doar semnul produsului. Atenție, există trei factori: a, $(x-x_{1})$ ${\ displaystyle (x-x_ {1})}$ ${\ displaystyle (x-x_ {1})}$ Și $(x-x_{2})$ ${\ displaystyle (x-x_ {2})}$ ${\ displaystyle (x-x_ {2})}$ , semnul produsului este calculat folosind regula cunoscută a semnelor. În cele din urmă, trebuie să ne amintim că, atunci când cel puțin unul dintre factori este anulat, produsul și, prin urmare, trinomul, este, de asemenea, anulat.

Totul este rezumat în cele două tabele de mai jos.

Semnul trinomului de gradul II: $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ Și $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$
Intervalele axei reale	$x<x_{1}$ ${\ displaystyle x <x_ {1}}$ ${\ displaystyle x <x_ {1}}$	$x=x_{1}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$	$x_{1}<x<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x <x_ {2}}$	$x=x_{2}$ ${\ displaystyle x = x_ {2}}$ ${\ displaystyle x = x_ {2}}$	$x>x_{2}$ ${\ displaystyle x> x_ {2}}$ ${\ displaystyle x> x_ {2}}$
semn al unui	+++		+++		+++
semn de $x-x_{1}$ ${\ displaystyle x-x_ {1}}$ ${\ displaystyle x-x_ {1}}$	---	0	+++		+++
semn de $x-x_{2}$ ${\ displaystyle x-x_ {2}}$ ${\ displaystyle x-x_ {2}}$	---		---	0	+++
semnul produsului semn al trinomului	+++	0	---	0	+++

Semnul trinomului de gradul II: $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ Și $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$
Intervalele axei reale	$x<x_{1}$ ${\ displaystyle x <x_ {1}}$ ${\ displaystyle x <x_ {1}}$	$x=x_{1}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$	$x_{1}<x<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x <x_ {2}}$	$x=x_{2}$ ${\ displaystyle x = x_ {2}}$ ${\ displaystyle x = x_ {2}}$	$x>x_{2}$ ${\ displaystyle x> x_ {2}}$ ${\ displaystyle x> x_ {2}}$
semn al unui	---		---		---
semn de $x-x_{1}$ ${\ displaystyle x-x_ {1}}$ ${\ displaystyle x-x_ {1}}$	---	0	+++		+++
semn de $x-x_{2}$ ${\ displaystyle x-x_ {2}}$ ${\ displaystyle x-x_ {2}}$	---		---	0	+++
semnul produsului semn al trinomului	---	0	+++	0	---

Observare . Semnul trinomului are același semn ca și coeficientul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în afara intervalului celor două soluții ale ecuației asociate, adică pentru $x<x_{1}\vee x>x_{2}$ ${\ displaystyle x <x_ {1} \ vee x> x_ {2}}$ ${\ displaystyle x <x_ {1} \ vee x> x_ {2}}$ , în intervalul celor două soluții trinomul are semnul opus celui de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Caz: delta nulă $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$

Dacă $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$ ecuația asociată are două soluții reale și coincidente $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ (se spune că $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ este o soluție dublă sau are multiplicitate 2). În acest caz, trinomul poate fi defalcat conform formulei

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)^{2}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x-x_ {1} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x-x_ {1} \ right) ^ {2}}

.

Este esențial să ne amintim că pătratul $\left(x-x_{1}\right)^{2}$ ${\ displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right) ^ {2}}$ este întotdeauna pozitiv sau nul, niciodată negativ. Pătratul dispare $x=x_{1}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ .

Semnul trinomului de gradul II: $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ Și $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$
Intervalele axei reale	$x<x_{1}$ ${\ displaystyle x <x_ {1}}$ ${\ displaystyle x <x_ {1}}$	$x=x_{1}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$	$x>x_{1}$ ${\ displaystyle x> x_ {1}}$ ${\ displaystyle x> x_ {1}}$
semn al unui	+++		+++
semn de $\left(x-x_{1}\right)^{2}$ ${\ displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right) ^ {2}}$	+++	0	+++
semnul produsului semn al trinomului	+++	0	+++

Semnul trinomului de gradul II: $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ Și $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$
Intervalele axei reale	$x<x_{1}$ ${\ displaystyle x <x_ {1}}$ ${\ displaystyle x <x_ {1}}$	$x=x_{1}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$	$x>x_{1}$ ${\ displaystyle x> x_ {1}}$ ${\ displaystyle x> x_ {1}}$
semn al unui	---		---
semn de $\left(x-x_{1}\right)^{2}$ ${\ displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right) ^ {2}}$	+++	0	+++
semnul produsului semn al trinomului	---	0	---

Observare . În acest caz, semnul trinomului are același semn cu coeficientul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ cu excepția în $x=x_{1}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ unde trinomul dispare.

Caz: delta negativă $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$

Dacă $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ecuația asociată nu are soluții reale. Cu toate acestea, este posibil să se evalueze semnul trinomului prin evidențierea acestuia ca o sumă de pătrate.

$ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-\Delta }{4a^{2}}}\right]$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {- \ Delta} {4a ^ {2}}} \ right]}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {- \ Delta} {4a ^ {2}}} \ right]}$

Demonstrație

Din trinomial se colectează $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$

ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)=

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {c} {a}} \ right) =}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {c} {a}} \ right) =}

Cantitatea este adăugată și scăzută ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {4a ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {4a ^ {2}}}}$ pentru a completa pătratul

=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)

{\ displaystyle = a \ left (x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {b ^ {2}} {4a ^ {2}}} - {\ frac {b ^ {2}} {4a ^ {2}}} + {\ frac {c} {a}} \ right)}

{\ displaystyle = a \ left (x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {b ^ {2}} {4a ^ {2}}} - {\ frac {b ^ {2}} {4a ^ {2}}} + {\ frac {c} {a}} \ right)}

Primii trei termeni sunt dezvoltarea unui pătrat

=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}\right]=

{\ displaystyle = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {-b ^ {2} + 4ac} {4a ^ {2} }} \ dreapta] =}

{\ displaystyle = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {-b ^ {2} + 4ac} {4a ^ {2} }} \ dreapta] =}

Amintindu-mi asta $\Delta =b^{2}-4ac$ ${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}$ ${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}$ primesti

ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-\Delta }{4a^{2}}}\right]

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {- \ Delta} {4a ^ {2}}} \ right]}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {- \ Delta} {4a ^ {2}}} \ right]}

Rețineți că în sumă $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-\Delta }{4a^{2}}}$ ${\ displaystyle \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {- \ Delta} {4a ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {- \ Delta} {4a ^ {2}}}}$ primul termen este un pătrat (deci întotdeauna pozitiv sau nul) și al doilea termen este întotdeauna pozitiv din moment ce $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ este negativ prin ipoteză. Prin urmare, această sumă este întotdeauna pozitivă.

Semnul produsului și, prin urmare, al trinomului depinde numai de coeficient $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Rezumând când $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$

trinomul va fi ÎNTOTDEAUNA POZITIV dacă $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$
trinomul va fi ÎNTOTDEAUNA NEGATIV dacă $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$

Observare . În acest caz, trinomul ÎNTOTDEAUNA are același semn ca și coeficientul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Observații practice valabile pentru toate cele trei cazuri

În schema grafică a semnului trinomului începe (în dreapta) și se termină (în stânga) întotdeauna cu semnul lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .
Dacă există două soluții ale ecuației asociate, semnul discordant cu cel al lui trebuie plasat între cele două soluții $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .
Dacă nu există soluții la ecuația asociată, se folosește doar semnul lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Tabel rezumat al semnului trinomului

semn de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$	$\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$	$\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$	$\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$
$a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$	axa x __x1___x2___ semn +++ 0 ---- 0 ++++	axa x ___x1___ semn ++++ 0 +++	axa x _____ +++++ semn
$a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$	axa x __x1___x2___ semn --- 0 ++++ 0 ----	axa x ___x1___ semn ---- 0 ---	axa x _____ semn -----

Metode de rezolvare a inegalităților de gradul II

Luați în considerare o inegalitate de gradul doi scrisă în formă normală:

ax^{2}+bx+c>0

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c> 0}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c> 0}

Și

a\neq 0

{\ displaystyle a \ neq 0}

a \ neq 0

.

Următoarea procedură se aplică și celorlalte trei cazuri cu $<0$ ${\ displaystyle <0}$ ${\ displaystyle <0}$ $\leq 0$ ${\ displaystyle \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ leq 0}$ $\geq 0$ ${\ displaystyle \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ geq 0}$ .

Metoda semnului coeficientului a

Aduceți inegalitatea de gradul 2 la forma normală
Rezolvați ecuația asociată
Desenați modelul grafic al semnului trinomial
Alegeți gama de soluții pe baza direcției inegalității.

Exemple

Discriminant pozitiv

Exemplul 1 : $x^{2}-5x+6\leq 0\;$ ${\ displaystyle x ^ {2} -5x + 6 \ leq 0 \;}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -5x + 6 \ leq 0 \;}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ displaystyle a> 0}$

Ecuație asociată: $x^{2}-5x+6=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} -5x + 6 = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -5x + 6 = 0}$

\Delta =(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=1>0

{\ displaystyle \ Delta = (- 5) ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 6 = 1> 0}

{\ displaystyle \ Delta = (- 5) ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 6 = 1> 0}

Soluții ale ecuației asociate

x_{1}=2

{\ displaystyle x_ {1} = 2}

{\ displaystyle x_ {1} = 2}

,

x_{2}=3

{\ displaystyle x_ {2} = 3}

{\ displaystyle x_ {2} = 3}

.

Diagrama semnului trinomului

 axa x _____2______3_____
semn ++++++ 0 ------ 0 +++++

Soluții Se cere ca trinomul să fie negativ sau nul (priviți direcția inegalității în formă normală). Soluțiile inegalității sunt valorile interne de 2 și 3, inclusiv extremele: $2\leq x\leq 3$ ${\ displaystyle 2 \ leq x \ leq 3}$ ${\ displaystyle 2 \ leq x \ leq 3}$ .

Alte exemple cu $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$

Exemplul 2 : $-x^{2}+x+2<0$ ${\ displaystyle -x ^ {2} + x + 2 <0}$ ${\ displaystyle -x ^ {2} + x + 2 <0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ ${\ displaystyle a <0}$

Ecuație asociată: $-x^{2}+x+2=0$ ${\ displaystyle -x ^ {2} + x + 2 = 0}$ ${\ displaystyle -x ^ {2} + x + 2 = 0}$

\Delta =1^{2}-4\cdot (-1)\cdot 2=9>0

{\ displaystyle \ Delta = 1 ^ {2} -4 \ cdot (-1) \ cdot 2 = 9> 0}

{\ displaystyle \ Delta = 1 ^ {2} -4 \ cdot (-1) \ cdot 2 = 9> 0}

Soluții ale ecuației asociate

x_{1}=-1

{\ displaystyle x_ {1} = - 1}

{\ displaystyle x_ {1} = - 1}

,

x_{2}=2

{\ displaystyle x_ {2} = 2}

{\ displaystyle x_ {2} = 2}

.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ____- 1____2____
semn ----- O ++++ 0 ----

Soluții Se cere ca trinomul să fie negativ (priviți direcția inegalității în formă normală). Soluțiile inegalității sunt valorile externe la -1 și 2, excluzând extremele: $x<-1\vee x>2$ ${\ displaystyle x <-1 \ vee x> 2}$ ${\ displaystyle x <-1 \ vee x> 2}$ .

Exemplul 3 : $-x^{2}+4\geq 0$ ${\ displaystyle -x ^ {2} +4 \ geq 0}$ ${\ displaystyle -x ^ {2} +4 \ geq 0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ ${\ displaystyle a <0}$

Ecuație asociată: $-x^{2}+4=0$ ${\ displaystyle -x ^ {2} + 4 = 0}$ ${\ displaystyle -x ^ {2} + 4 = 0}$

\Delta >0

{\ displaystyle \ Delta> 0}

{\ displaystyle \ Delta> 0}

este o ecuație pură cu a și c discordante

Soluții ale ecuației asociate

x_{1}=-2

{\ displaystyle x_ {1} = - 2}

{\ displaystyle x_ {1} = - 2}

,

x_{2}=2

{\ displaystyle x_ {2} = 2}

{\ displaystyle x_ {2} = 2}

.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ____- 2____2____
semn ----- O ++++ 0 ----

Soluții Se cere ca trinomul să fie pozitiv sau nul (priviți direcția inegalității în formă normală). Soluțiile inegalității sunt valorile interne la -2 și 2, inclusiv extremele: $-2\leq x\leq 2$ ${\ displaystyle -2 \ leq x \ leq 2}$ ${\ displaystyle -2 \ leq x \ leq 2}$ .

Nul discriminant

Exemplul 4 : $x^{2}-2x+1>0$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1> 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1> 0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ displaystyle a> 0}$

Ecuație asociată: $x^{2}-2x+1=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1 = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1 = 0}$

\Delta =0

{\ displaystyle \ Delta = 0}

\ Delta = 0

Soluții ale ecuației asociate

x_{1,2}=1

{\ displaystyle x_ {1,2} = 1}

{\ displaystyle x_ {1,2} = 1}

Dubla.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ____1____
semnează +++++ 0 ++++

Soluții Se cere, prin urmare, ca trinomul să fie pozitiv $x\neq 1$ ${\ displaystyle x \ neq 1}$ ${\ displaystyle x \ neq 1}$ .

Alte exemple cu $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$

Exemplul 5 : $x^{2}-2x+1<0$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1 <0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1 <0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ displaystyle a> 0}$

Ecuație asociată:

\Delta =0

{\ displaystyle \ Delta = 0}

\ Delta = 0

Soluții ale ecuației asociate

x_{1,2}=1

{\ displaystyle x_ {1,2} = 1}

{\ displaystyle x_ {1,2} = 1}

Dubla.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ____1____
semnează ++++ 0 ++++

Soluții Se cere ca trinomul să fie negativ, de aceea inegalitatea este imposibilă $\nexists x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ nexists x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ nexists x \ in \ mathbb {R}}$ .

Exemplul 6 : $-x^{2}-6x-9\geq 0$ ${\ displaystyle -x ^ {2} -6x-9 \ geq 0}$ ${\ displaystyle -x ^ {2} -6x-9 \ geq 0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ ${\ displaystyle a <0}$

Ecuație asociată:

\Delta =0

{\ displaystyle \ Delta = 0}

\ Delta = 0

Soluții ale ecuației asociate

x_{1,2}=-3

{\ displaystyle x_ {1,2} = - 3}

{\ displaystyle x_ {1,2} = - 3}

Dubla.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ___- 3____
semn ---- 0 ----

Soluții Se cere ca trinomul să fie pozitiv sau nul, deci inegalitatea are doar o soluție $x=-3$ ${\ displaystyle x = -3}$ ${\ displaystyle x = -3}$ .

Exemplul 7 : $-x^{2}-6x-9\leq 0$ ${\ displaystyle -x ^ {2} -6x-9 \ leq 0}$ ${\ displaystyle -x ^ {2} -6x-9 \ leq 0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ ${\ displaystyle a <0}$

Ecuație asociată:

\Delta =0

{\ displaystyle \ Delta = 0}

\ Delta = 0

Soluții ale ecuației asociate

x_{1},2=-3

{\ displaystyle x_ {1}, 2 = -3}

{\ displaystyle x_ {1}, 2 = -3}

Dubla.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ___- 3____
semn ---- 0 ----

Soluții Se cere ca trinomul să fie negativ sau nul, deci inegalitatea are o soluție $\forall x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ .

Discriminant negativ

Exemplul 8 : $-x^{2}+x-3>0$ ${\ displaystyle -x ^ {2} + x-3> 0}$ ${\ displaystyle -x ^ {2} + x-3> 0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ ${\ displaystyle a <0}$

Ecuație asociată:

\Delta =-11<0

{\ displaystyle \ Delta = -11 <0}

{\ displaystyle \ Delta = -11 <0}

, nu există soluții la ecuația asociată.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ________
semn --------

Soluții Se cere ca trinomul să fie pozitiv, deci inegalitatea nu are soluții.

Alte exemple cu $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$

Exemplul 9 : $x^{2}+x+1\geq 0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 \ geq 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 \ geq 0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ displaystyle a> 0}$

Ecuație asociată:

\Delta =-3<0

{\ displaystyle \ Delta = -3 <0}

{\ displaystyle \ Delta = -3 <0}

, nu există soluții la ecuația asociată.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ________
++++++++ semn

Soluții Se cere ca trinomul să fie pozitiv sau nul, deci inegalitatea are soluții $\forall x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ .

Exemplul 10 : $-x^{2}-5<0$ ${\ displaystyle -x ^ {2} -5 <0}$ ${\ displaystyle -x ^ {2} -5 <0}$ . Inegalitatea este deja în formă normală $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ ${\ displaystyle a <0}$

Ecuație asociată:

\Delta <0

{\ displaystyle \ Delta <0}

{\ displaystyle \ Delta <0}

, este o ecuație pură cu a și c sunt de acord, deci nu există soluții ale ecuației asociate.

Diagrama semnului trinomului

 axa x ______
semn ------

Soluții Se cere ca trinomul să fie negativ, deci inegalitatea are soluții $\forall x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ .

Metoda parabolei

Luați în considerare inegalitatea $ax^{2}+bx+c>0$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c> 0}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c> 0}$ și pilda $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ $y = ax ^ {2} + bx + c$ . În acest caz, inegalitatea se rezolvă atunci când trinomul de gradul 2 este pozitiv, adică când y (ordonata) este pozitivă, grafic când parabola este deasupra axei x.

Semnul ordonatei punctelor parabolei pe măsură ce valoarea variază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și de $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$
Coeficient $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$	$\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$	$\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$	$\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$
$a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$
	$y>0$ ${\ displaystyle y> 0}$ $y> 0$ pentru $x<x_{1}\vee x>x_{2}$ ${\ displaystyle x <x_ {1} \ vee x> x_ {2}}$ ${\ displaystyle x <x_ {1} \ vee x> x_ {2}}$	$y>0$ ${\ displaystyle y> 0}$ $y> 0$ pentru $x\neq x_{1}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {1}}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {1}}$	$y>0$ ${\ displaystyle y> 0}$ $y> 0$ $\forall x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$
	$y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ pentru $x=x_{1}\vee x=x_{2}$ ${\ displaystyle x = x_ {1} \ vee x = x_ {2}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1} \ vee x = x_ {2}}$	$y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ pentru $x=x_{1}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$	$y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ $\not \exists x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$
	$y<0$ ${\ displaystyle y <0}$ $y <0$ pentru $x_{1}<x<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x <x_ {2}}$	$y<0$ ${\ displaystyle y <0}$ $y <0$ $\not \exists x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$	$y<0$ ${\ displaystyle y <0}$ $y <0$ $\not \exists x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$
$a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$
	$y>0$ ${\ displaystyle y> 0}$ $y> 0$ pentru $x_{1}<x<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x <x_ {2}}$	$y>0$ ${\ displaystyle y> 0}$ $y> 0$ pentru $\not \exists x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$	$y>0$ ${\ displaystyle y> 0}$ $y> 0$ $\not \exists x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$
	$y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ pentru $x=x_{1}\vee x=x_{2}$ ${\ displaystyle x = x_ {1} \ vee x = x_ {2}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1} \ vee x = x_ {2}}$	$y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ pentru $x=x_{1}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}}$	$y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ $\not \exists x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ not \ există x \ în \ mathbb {R}}$
	$y<0$ ${\ displaystyle y <0}$ $y <0$ pentru $x<x_{1}\vee x>x_{2}$ ${\ displaystyle x <x_ {1} \ vee x> x_ {2}}$ ${\ displaystyle x <x_ {1} \ vee x> x_ {2}}$	$y<0$ ${\ displaystyle y <0}$ $y <0$ pentru $x\neq x_{1}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {1}}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {1}}$	$y<0$ ${\ displaystyle y <0}$ $y <0$ $\forall x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}$

Procedura de soluționare a inegalităților de gradul II cu parabola:

Puneți inegalitatea în formă normală
Scrieți ecuația parabolei
Stabiliți semnul unui
Găsiți orice abscisă a punctelor de intersecție a parabolei cu axa x
Trasați graficul aproximativ al parabolei (concavilitate și intersecții pe axa X)
Determinați abscisa punctelor parabolei care au ordonata necesară (y> 0 sau y <0)

Inegalitatea de gradul IV atribuită unui trinom notabil

Având în vedere o inegalitate de gradul patru, necunoscutul fiind ridicat doar la al patrulea și al doilea, această inegalitate poate fi urmărită înapoi la o altă inegalitate, a cărei necunoscută este pătratul necunoscutului inegalității inițiale.

Exemplu $x^{4}-5x^{2}+6\leq 0\;$ ${\ displaystyle x ^ {4} -5x ^ {2} +6 \ leq 0 \;}$ ${\ displaystyle x ^ {4} -5x ^ {2} +6 \ leq 0 \;}$

Prin înlocuire $t=x^{2}$ ${\ displaystyle t = x ^ {2}}$ ${\ displaystyle t = x ^ {2}}$ da ai

$t^{2}-5t+6\leq 0\;$ ${\ displaystyle t ^ {2} -5t + 6 \ leq 0 \;}$ ${\ displaystyle t ^ {2} -5t + 6 \ leq 0 \;}$

care se rezolvă ca o inegalitate normală, acordând atenție totuși că, în final, va fi necesar să înlocuim rezultatele obținute cu $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ .

Bibliografie

Dodero, Baroncini, Manfredi, Schițe de matematică 2 pentru cei doi ani de liceu , ediția a II-a, Ghisetti și Corvi Editori, 1999

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse privind inegalitatea quadratică

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Inegalitate quadratică

Semn al trinomului de gradul II

Caz: delta pozitivă Δ > 0 {\ displaystyle \ Delta> 0}

Caz: delta nulă Δ = 0 {\ displaystyle \ Delta = 0}

Caz: delta negativă Δ < 0 {\ displaystyle \ Delta <0}

Observații practice valabile pentru toate cele trei cazuri

Tabel rezumat al semnului trinomului

Metode de rezolvare a inegalităților de gradul II

Metoda semnului coeficientului a

Exemple

Discriminant pozitiv

Alte exemple cu Δ > 0 {\ displaystyle \ Delta> 0}

Nul discriminant

Alte exemple cu Δ = 0 {\ displaystyle \ Delta = 0}

Discriminant negativ

Alte exemple cu Δ < 0 {\ displaystyle \ Delta <0}

Metoda parabolei

Inegalitatea de gradul IV atribuită unui trinom notabil

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

Caz: delta pozitivă $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$

Caz: delta nulă $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$

Caz: delta negativă $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$

Alte exemple cu $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$

Alte exemple cu $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$

Alte exemple cu $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$