Inegalitate bicadratică

O inegalitate biquadratică este o inegalitate specială de gradul al patrulea care apare sub forma ^[1] :

$ax^{4}+bx^{2}+c>0$ ${\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c> 0}$ ${\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c> 0}$ $\;\;\;\;$ ${\ displaystyle \; \; \; \;}$ ${\ displaystyle \; \; \; \;}$ (sau $\geq ,\leq ,<$ ${\ displaystyle \ geq, \ leq, <}$ ${\ displaystyle \ geq, \ leq, <}$ ),

unde este $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ sunt numere reale (sau complexe ) cu $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ .

Rezoluţie

Ecuația asociată cu inegalitatea $ax^{4}+bx^{2}+c>0$ ${\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c> 0}$ ${\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c> 0}$ este o ecuație biquadratică care se rezolvă prin impunerea substituției $x^{2}=t$ ${\ displaystyle x ^ {2} = t}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = t}$ .

Inegalitatea dată devine astfel oinegalitate de gradul doi în variabilă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ :

$at^{2}+bt+c>0$ ${\ displaystyle at ^ {2} + bt + c> 0}$ ${\ displaystyle at ^ {2} + bt + c> 0}$

care se rezolvă în modul obișnuit ^[2] . Odată ce soluțiile au fost găsite, este necesar să efectuați înlocuirea inversă pentru a găsi (dacă există) intervalele variabilei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care satisfac inegalitatea de plecare.

Exemplu

Rezolvați inegalitatea:

$2x^{4}+5x^{2}-12\geq 0$ ${\ displaystyle 2x ^ {4} + 5x ^ {2} -12 \ geq 0}$ ${\ displaystyle 2x ^ {4} + 5x ^ {2} -12 \ geq 0}$

Operarea înlocuitorului $x^{2}=t$ ${\ displaystyle x ^ {2} = t}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = t}$ , obținem inegalitatea completă de gradul doi:

$2t^{2}+5t-12\geq 0$ ${\ displaystyle 2t ^ {2} + 5t-12 \ geq 0}$ ${\ displaystyle 2t ^ {2} + 5t-12 \ geq 0}$ ,

care are soluții $t\leq -4$ ${\ displaystyle t \ leq -4}$ ${\ displaystyle t \ leq -4}$ Și $t\geq {\frac {3}{2}}$ ${\ displaystyle t \ geq {\ frac {3} {2}}}$ ${\ displaystyle t \ geq {\ frac {3} {2}}}$ . Revenind la variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , noi obținem:

$x^{2}\leq -4\;\;$ ${\ displaystyle x ^ {2} \ leq -4 \; \;}$ ${\ displaystyle x ^ {2} \ leq -4 \; \;}$ care nu are soluții în domeniul numerelor reale .
$x^{2}\geq {\frac {3}{2}}\;\;$ ${\ displaystyle x ^ {2} \ geq {\ frac {3} {2}} \; \;}$ ${\ displaystyle x ^ {2} \ geq {\ frac {3} {2}} \; \;}$ , care la rândul său este o inegalitate pură de gradul doi cu soluții $x\leq -{\frac {\sqrt {6}}{2}}\;\;$ ${\ displaystyle x \ leq - {\ frac {\ sqrt {6}} {2}} \; \;}$ ${\ displaystyle x \ leq - {\ frac {\ sqrt {6}} {2}} \; \;}$ Și $x\geq {\frac {\sqrt {6}}{2}}$ ${\ displaystyle x \ geq {\ frac {\ sqrt {6}} {2}}}$ ${\ displaystyle x \ geq {\ frac {\ sqrt {6}} {2}}}$ .

Rețineți că în setul de numere complexe posedă întotdeauna o inegalitate, precum și o ecuație, de gradul al patrulea $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ soluții (oricâte sunt gradul său) ^[3] care pot fi toate reale, sau toate complexe , sau $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ contrariile reale e $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ conjugate complexe .

Notă

^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol . 3 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-53781-2 . p.10
^ Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.120
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, New Course of Trigonometry , Ghisetti and Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6 . p.288

Bibliografie

Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol . 3 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-53781-2 .
Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematice (volumul 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .
În Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol . 3 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-53781-2 . p.10

[2] Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.120

[3] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, New Course of Trigonometry , Ghisetti and Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6 . p.288

[1]

[2]

[3]