Remarcabil Trinomial

În calculul literal , tocmai în descompunerea polinoamelor , remarcabilul trinom este un polinom care poate fi exprimat sub forma: ^[1]

ax^{2}+bx+c\qquad ({\mbox{con }}a,b,c\neq 0)

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \ qquad ({\ mbox {con}} a, b, c \ neq 0)}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \ qquad ({\ mbox {con}} a, b, c \ neq 0)}

și pentru care există o metodă cunoscută pentru descompunerea acestuia ca produs al două binomii de gradul I.

Metoda de descompunere

Putem distinge cele două cazuri în care coeficientul termenului de gradul doi este egal sau diferit de $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Cazul a = 1

În cazul în care coeficientul termenului de gradul doi este egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , trinomul ia forma: ^[1]

x^{2}+bx+c\,

{\ displaystyle x ^ {2} + bx + c \,}

{\ displaystyle x ^ {2} + bx + c \,}

în acest caz poate fi descompus în produsul a doi binomi de gradul I sub forma:

(x+u)(x+v)

{\ displaystyle (x + u) (x + v)}

{\ displaystyle (x + u) (x + v)}

,

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt doi termeni cu următoarele două proprietăți:

$u+v=b$ ${\ displaystyle u + v = b}$ ${\ displaystyle u + v = b}$
$u\cdot v=c$ ${\ displaystyle u \ cdot v = c}$ ${\ displaystyle u \ cdot v = c}$ .

De fapt, prin efectuarea conturilor, obținem:

{\begin{aligned}(x-u)(x-v)&=x^{2}-vx-ux+uv\\&=x^{2}-x(v+u)+uv\\&=x^{2}+bx+c\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (xu) (xv) & = x ^ {2} -vx-ux + uv \\ & = x ^ {2} -x (v + u) + uv \\ & = x ^ {2} + bx + c \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (xu) (xv) & = x ^ {2} -vx-ux + uv \\ & = x ^ {2} -x (v + u) + uv \\ & = x ^ {2} + bx + c \\\ end {align}}}

O modalitate practică de a găsi $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ poate fi găsirea celor două rădăcini ale polinomului. De fapt dacă

x^{2}+bx+c=0

{\ displaystyle x ^ {2} + bx + c = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} + bx + c = 0}

,

asa de:

(x-u)(x-v)=0\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=u\\x_{2}=v\end{cases}}

{\ displaystyle (xu) (xv) = 0 \ Rightarrow {\ begin {cases} x_ {1} = u \\ x_ {2} = v \ end {cases}}}

{\ displaystyle (x-u) (x-v) = 0 \ Rightarrow {\ begin {cases} x_ {1} = u \\ x_ {2} = v \ end {cases}}}

Pentru a găsi rădăcinile trinomului notabil, este suficient să folosiți formula soluției pentru ecuațiile de gradul al doilea :

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

Cazul a ≠ 1

În cazul în care coeficientul termenului de gradul doi este diferit de $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ polinomul se descompune astfel:

ax^{2}+bx+c=a(x-u)(x-v)

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (xu) (xv)}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x-u) (x-v)}

,

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ posedă următoarele proprietăți: ^[2]

$u+v=-{\frac {b}{a}}$ ${\ displaystyle u + v = - {\ frac {b} {a}}}$ ${\ displaystyle u + v = - {\ frac {b} {a}}}$
$u\cdot v={\frac {c}{a}}$ ${\ displaystyle u \ cdot v = {\ frac {c} {a}}}$ ${\ displaystyle u \ cdot v = {\ frac {c} {a}}}$ .

De asemenea, în acest caz descompunerea poate fi demonstrată în felul următor: ^[3]

{\begin{aligned}a(x-u)(x-v)&=ax^{2}-avx-aux+auv\\&=ax^{2}-ax(v+u)+auv\\&=ax^{2}+bx+c\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a (xu) (xv) & = ax ^ {2} -avx-aux + auv \\ & = ax ^ {2} -ax (v + u) + auv \\ & = ax ^ {2} + bx + c \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a (xu) (xv) & = ax ^ {2} -avx-aux + auv \\ & = ax ^ {2} -ax (v + u) + auv \\ & = ax ^ {2} + bx + c \\\ end {align}}}

Ca și în cazul anterior, $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ poate fi găsit căutând rădăcinile polinomului folosind formula pentru ecuațiile de gradul al doilea.

Trinomele cu un grad peste 2

Mai general dacă luăm în considerare trinomul: ^[4]

ax^{h}+bx^{k}+c\qquad {\mbox{con }}h=2k

{\ displaystyle ax ^ {h} + bx ^ {k} + c \ qquad {\ mbox {con}} h = 2k}

{\ displaystyle ax ^ {h} + bx ^ {k} + c \ qquad {\ mbox {con}} h = 2k}

acest lucru poate fi defalcat folosind substituția variabilă $x^{k}=t$ ${\ displaystyle x ^ {k} = t}$ ${\ displaystyle x ^ {k} = t}$ astfel încât să se obțină trinomul:

at^{2}+bt+c

{\ displaystyle at ^ {2} + bt + c}

{\ displaystyle at ^ {2} + bt + c}

,

care poate fi descompus folosind metodele descrise mai sus și reaplicând ulterior substituția în sens invers.

Notă

^ ^a ^b Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.419
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.872
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematice (volumul 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p. 277
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematice (volumul 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.99

Bibliografie

Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematice (volumul 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .
Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[a-1] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.419

[2] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.872

[3] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematice (volumul 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p. 277

[4] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematice (volumul 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.99

[1]

[2]

[3]

[4]