Distanța diametrului unghiular

Diametrul unghiular al distanței este o măsură a distanței utilizată în astronomie . Distanța cu diametrul unghiular al unui obiect este o distanță aparentă definită de dimensiunea sa reală $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și din dimensiunea unghiulară $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ a obiectului văzut de pe Pământ.
$d_{A}={\frac {x}{\theta }}$ ${\ displaystyle d_ {A} = {\ frac {x} {\ theta}}}$ $d_A = \ frac {x} {\ theta}$
Distanța în diametru unghiular nu este absolută, ci depinde de modelul cosmologic folosit pentru a descrie universul . Distanța unghiulară a diametrului unui obiect care are o deplasare spre roșu (Redshift) $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , este exprimat în termeni de distanță de deplasare , $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ ca:
$d_{A}={\frac {r(\chi )}{1+z}}$ ${\ displaystyle d_ {A} = {\ frac {r (\ chi)} {1 + z}}}$ $d_A = \ frac {r (\ chi)} {1 + z}$
Unde este $r(\chi )$ ${\ displaystyle r (\ chi)}$ $r (\ cine)$ și definit ca:
$r(\chi )={\begin{cases}\sin \left({\sqrt {-\Omega _{k}}}H_{0}\chi \right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}<0\\\chi &\Omega _{k}=0\\\sinh \left({\sqrt {\Omega _{k}}}H_{0}\chi \right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}>0\end{cases}}$ ${\ displaystyle r (\ chi) = {\ begin {cases} \ sin \ left ({\ sqrt {- \ Omega _ {k}}} H_ {0} \ chi \ right) / \ left (H_ {0} {\ sqrt {| \ Omega _ {k} |}} \ right) & \ Omega _ {k} <0 \\\ chi & \ Omega _ {k} = 0 \\\ sinh \ left ({\ sqrt { \ Omega _ {k}}} H_ {0} \ chi \ right) / \ left (H_ {0} {\ sqrt {| \ Omega _ {k} |}} \ right) & \ Omega _ {k}> 0 \ end {cases}}}$ $r (\ chi) = \ begin {cases} \ sin \ left (\ sqrt {- \ Omega_k} H_0 \ chi \ right) / \ left (H_0 \ sqrt {| \ Omega_k |} \ right) & \ Omega_k <0 \\ \ chi & \ Omega_k = 0 \\ \ sinh \ left (\ sqrt {\ Omega_k} H_0 \ chi \ right) / \ left (H_0 \ sqrt {| \ Omega_k |} \ right) & \ Omega_k> 0 \ sfârșit {cazuri}$
Unde este $\Omega _{k}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {k}}$ $\ Omega_k$ este densitatea de curbură e $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ este valoarea constantei Hubble până în prezent.

Conform modelului matematic care în prezent descrie cel mai bine geometria universului , distanța cu diametrul unghiular al unui obiect este o bună aproximare a „distanței reale”, adică distanța corectă atunci când lumina părăsește obiectul. Este important să rețineți că dincolo de o anumită deplasare la roșu , distanța cu diametrul unghiular devine mai mică odată cu creșterea redshiftului . Cu alte cuvinte, un obiect „în spatele” altui de aceeași dimensiune, dincolo de o anumită deplasare la roșu (aproximativ z = 1,5), apare mai mare pe cer și, prin urmare, ar avea o distanță de diametru unghiular mai mică.

Relația dintre dimensiunea unghiulară și redshift

Relația dintre dimensiunea unghiulară și deplasarea la roșu pentru o cosmologie lambda , cu kiloparseci pe secundă de arc pe axa verticală.

Relația dintre dimensiunea unghiulară și redshift pentru o cosmologie lambda , cu megaparseci pe axa verticală.

Relația dintre dimensiunea unghiulară și deplasarea spre roșu explică relația dintre dimensiunea unghiulară pe cerul unui obiect cu o dimensiune fizică dată și deplasarea spre roșu a obiectului văzut de pe Pământ (care este legat de distanța sa $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , de pe pământ). În geometria euclidiană , relația dintre dimensiunea cerului și distanța față de Pământ ar fi dată pur și simplu de ecuația:

$\tan \left(\theta \right)={\frac {x}{d}}$ ${\ displaystyle \ tan \ left (\ theta \ right) = {\ frac {x} {d}}}$ $\ tan \ left (\ theta \ right) = \ frac {x} {d}$

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este dimensiunea unghiulară a obiectului din cer, $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este dimensiunea obiectului e $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este distanța față de obiect. Cand $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este mică relația poate fi aproximată cu:

$\theta \approx {\frac {x}{d}}$ ${\ displaystyle \ theta \ approx {\ frac {x} {d}}}$ $\ theta \ approx \ frac {x} {d}$ .

Cu toate acestea, folosind modelul matematic care în prezent descrie cel mai bine geometria universului , relația este mai complicată. În acest model, obiectele cu o schimbare la roșu mai mare de aproximativ 1,5 apar mai mari pe cer pe măsură ce schimbarea la roșu crește.

Aceasta este legată de distanța cu diametrul unghiular, care este distanța de la care se calculează că începe un obiect $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , presupunând că universul este euclidian .

Relația efectivă dintre distanța cu diametrul unghiular $d_{a}$ ${\ displaystyle d_ {a}}$ $din$ , iar schimbarea roșu este după cum urmează. $q_{0}$ ${\ displaystyle q_ {0}}$ $q_0$ se numește parametrul de decelerare și măsoară decelerarea ratei de expansiune a universului ; în cele mai simple modele, $q_{0}<0.5$ ${\ displaystyle q_ {0} <0,5}$ $q_0 <0,5$ corespunde cazului în care universul se va extinde pentru totdeauna, $q_{0}>0.5$ ${\ displaystyle q_ {0}> 0,5}$ $q_0> 0,5$ corespunde modelelor care prezic că universul se va opri în cele din urmă să se extindă și va începe să se contracteze în timp ce $q_{0}=0.5$ ${\ displaystyle q_ {0} = 0,5}$ $q_0 = 0,5$ corespunde cazului critic: universul va continua să se extindă încetinind și oprindu-se la infinit

$d_{a}={\cfrac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}{\cfrac {(zq_{0}+(q_{0}-1)({\sqrt {2q_{0}z+1}}-1))}{(1+z)^{2}}}$ ${\ displaystyle d_ {a} = {\ cfrac {c} {H_ {0} q_ {0} ^ {2}}} {\ cfrac {(zq_ {0} + (q_ {0} -1) ({\ sqrt {2q_ {0} z + 1}} - 1))} {(1 + z) ^ {2}}}}$ $d_a = \ cfrac {c} {H_0 q ^ 2_0} \ cfrac {(zq_0 + (q_0 -1) (\ sqrt {2q_0 z + 1} -1))} {(1 + z) ^ 2}$

Relația Matting exprimă distanța unghiulară a diametrului în funcție de redshift pentru un univers cu $\Omega _{\Lambda }=0$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ Lambda} = 0}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ Lambda} = 0}$ . ^[1]