Ecuația lui Euler

În matematică , ecuația Euler sau ecuația Euler-Cauchy este o ecuație diferențială ordinară omogenă cu coeficienți variabili de formă:

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots +a_{n-1}xy'(x)+a_{n}y(x)=0

{\ displaystyle x ^ {n} y ^ {(n)} (x) + a_ {1} x ^ {n-1} y ^ {(n-1)} (x) + \ ldots + a_ {n- 1} xy '(x) + a_ {n} y (x) = 0}

{\ displaystyle x ^ {n} y ^ {(n)} (x) + a_ {1} x ^ {n-1} y ^ {(n-1)} (x) + \ ldots + a_ {n- 1} xy '(x) + a_ {n} y (x) = 0}

Înlocuitorul $x=e^{u}$ ${\ displaystyle x = e ^ {u}}$ ${\ displaystyle x = e ^ {u}}$ arată că căutarea soluțiilor pentru acest tip de ecuații diferențiale poate fi redusă la rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Din această observație rezultă că soluțiile ecuațiilor omogene Euler pot fi scrise ca combinații liniare de funcții ale formei:

x^{\lambda }\log ^{m}x

{\ displaystyle x ^ {\ lambda} \ log ^ {m} x}

{\ displaystyle x ^ {\ lambda} \ log ^ {m} x}

Unde $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este un număr complex și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este un număr întreg negativ.

În forma sa cea mai generală (neomogenă):

\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{(i)}(x)=f(x)\qquad a_{n}\neq 0

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} y ^ {(i)} (x) = f (x) \ qquad a_ {n} \ neq 0}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} y ^ {(i)} (x) = f (x) \ qquad a_ {n} \ neq 0}

a fost studiată de Euler începând cu 1740.

Ecuația de ordinul doi

Cea mai comună ecuație Euler este ecuația de gradul doi:

x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=0

{\ displaystyle x ^ {2} y '' + a_ {1} xy '+ a_ {2} y = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} y '' + a_ {1} xy '+ a_ {2} y = 0}

unde este $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $a_1$ Și $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ sunt numere reale . Este folosit în diverse contexte, de exemplu în studiul ecuației Laplace .

Presupunând că ecuația admite o soluție banală precum:

y=x^{m}

{\ displaystyle y = x ^ {m}}

{\ displaystyle y = x ^ {m}}

diferențierea avem:

{\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\qquad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = mx ^ {m-1} \ qquad {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = m (m-1) x ^ {m-2}}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = mx ^ {m-1} \ qquad {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = m (m-1) x ^ {m-2}}

Înlocuind în ecuația inițială:

x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+a_{1}x(mx^{m-1})+a_{2}(x^{m})=0

{\ displaystyle x ^ {2} (m (m-1) x ^ {m-2}) + a_ {1} x (mx ^ {m-1}) + a_ {2} (x ^ {m}) = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} (m (m-1) x ^ {m-2}) + a_ {1} x (mx ^ {m-1}) + a_ {2} (x ^ {m}) = 0}

și rearanjarea termenilor:

m^{2}+(a_{1}-1)m+a_{2}=0

{\ displaystyle m ^ {2} + (a_ {1} -1) m + a_ {2} = 0}

{\ displaystyle m ^ {2} + (a_ {1} -1) m + a_ {2} = 0}

Acum poate fi rezolvat în funcție de $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , obținând trei cazuri de interes special:

Cazul 1: există două rădăcini distincte $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ Și $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ .
Cazul 2: aveți o rădăcină reală $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ multiplu.
Cazul 3: există două rădăcini complexe $m_{1,2}=\alpha \pm i\beta$ ${\ displaystyle m_ {1,2} = \ alpha \ pm i \ beta}$ ${\ displaystyle m_ {1,2} = \ alpha \ pm i \ beta}$

În primul caz, soluția este:

y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}

{\ displaystyle y = c_ {1} x ^ {m_ {1}} + c_ {2} x ^ {m_ {2}}}

{\ displaystyle y = c_ {1} x ^ {m_ {1}} + c_ {2} x ^ {m_ {2}}}

În al doilea este:

y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}

{\ displaystyle y = c_ {1} x ^ {m} \ ln (x) + c_ {2} x ^ {m}}

{\ displaystyle y = c_ {1} x ^ {m} \ ln (x) + c_ {2} x ^ {m}}

Pentru a obține această soluție, trebuie să aplicați metoda de reducere a comenzii după ce ați găsit o soluție $y=x^{m}$ ${\ displaystyle y = x ^ {m}}$ ${\ displaystyle y = x ^ {m}}$ .

În al treilea caz, soluția este:

y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))

{\ displaystyle y = c_ {1} x ^ {\ alpha} \ cos (\ beta \ ln (x)) + c_ {2} x ^ {\ alpha} \ sin (\ beta \ ln (x))}

{\ displaystyle y = c_ {1} x ^ {\ alpha} \ cos (\ beta \ ln (x)) + c_ {2} x ^ {\ alpha} \ sin (\ beta \ ln (x))}

cu:

\alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\qquad \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)

{\ displaystyle \ alpha = \ mathop {\ rm {Re}} (m) \ qquad \ beta = \ mathop {\ rm {Im}} (m)}

{\ displaystyle \ alpha = \ mathop {\ rm {Re}} (m) \ qquad \ beta = \ mathop {\ rm {Im}} (m)}

Pentru $c_{1}\,$ ${\ displaystyle c_ {1} \,}$ ${\ displaystyle c_ {1} \,}$ Și $c_{2}\,$ ${\ displaystyle c_ {2} \,}$ ${\ displaystyle c_ {2} \,}$ în planul real. Acest formular se obține prin plasare $x=e^{t}$ ${\ displaystyle x = e ^ {t}}$ ${\ displaystyle x = e ^ {t}}$ și folosind formula lui Euler .

Bibliografie

( EN ) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics , Wiley, 10 mai 2006, ISBN 978-0-470-08484-7 .
( EN ) Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions . Brookline, MA: Matematică. Sci. Press, 1950.
( EN ) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, ediția a III-a . Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) N.Kh. Rozov, ecuația Euler , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Euler Differential Equation în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică