Ecuația Ramanujan-Nagell

În teoria numerelor , ecuația Ramanujan-Nagell este următoarea ecuație diofantină exponențială:

2^{n}-7=x^{2}

{\ displaystyle 2 ^ {n} -7 = x ^ {2}}

2 ^ {n} -7 = x ^ {2}

Avem soluții pentru această ecuație numai pentru

n = 3, 4, 5, 7 și 15 ^[1] .

care corespund valorilor x egale cu 1, 3, 5, 11 și 181 ^[2] . Acest lucru a fost presupus de Srinivasa Ramanujan și dovedit de Trygve Nagell ^[3] .

Generalizări

Ecuația

2^{n}=x^{2}+7y^{2}

{\ displaystyle 2 ^ {n} = x ^ {2} + 7y ^ {2}}

2 ^ {n} = x ^ {2} + 7y ^ {2}

admite o soluție unică pentru x și y numere întregi pozitive impare și n ≥ 3. Această ecuație a fost luată în considerare de Euler , care nu a publicat-o. ^[4]

Bugeaud, Mignotte și Siksek ^{[5] au} rezolvat complet ecuația:

x^{2}+7=y^{n}

{\ displaystyle x ^ {2} + 7 = y ^ {n}}

x ^ {2} + 7 = y ^ {n}

Herrmann, Luca și Walsh ^[6] au rezolvat:

x^{2}+7y^{4}=2^{n_{1}}7^{n_{2}}11^{n_{3}}

{\ displaystyle x ^ {2} + 7y ^ {4} = 2 ^ {n_ {1}} 7 ^ {n_ {2}} 11 ^ {n_ {3}}}

x ^ {2} + 7y ^ {4} = 2 ^ {{n_ {1}}} 7 ^ {{n_ {2}}} 11 ^ {{n_ {3}}}

Alți autori, inclusiv Beukers ^[7] , au studiat ecuația:

x^{2}-D=2^{n}

{\ displaystyle x ^ {2} -D = 2 ^ {n}}

x ^ {2} -D = 2 ^ {n}

cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ întreg. Apéry ^{[8] a} dovedit că, dacă $D<0$ ${\ displaystyle D <0}$ $D <0$ Și $D\neq -7$ ${\ displaystyle D \ neq -7}$ $D \ neq -7$ , există cel mult două soluții. Browkin și Schinzel ^{[9] au} presupus că numărul de soluții este egal cu două, dacă numai dacă $D=-23$ ${\ displaystyle D = -23}$ $D = -23$ sau $D=1-2^{k}$ ${\ displaystyle D = 1-2 ^ {k}}$ $D = 1-2 ^ {k}$ pentru unii $k\geq 3$ ${\ displaystyle k \ geq 3}$ $k \ geq 3$ . Schinzel ^{[10] a} dovedit că, dacă $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ nu este de formă $1-2^{k}$ ${\ displaystyle 1-2 ^ {k}}$ $1-2 ^ {k}$ , ecuația are cel mult o soluție cu $n>80$ ${\ displaystyle n> 80}$ $n> 80$ . Conjectura completă a lui Browkin și Schinzel a fost dovedită de Beukers.

Beukers a considerat, de asemenea, ^[11] generalizarea ulterioară

x^{2}-D=p^{n}

{\ displaystyle x ^ {2} -D = p ^ {n}}

x ^ {2} -D = p ^ {n}

cu $D>0$ ${\ displaystyle D> 0}$ $D> 0$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ prim impar nu divizor de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , arătând că există cel mult 4 soluții în numere întregi pozitive $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Notă

^ (EN) secvența A060728 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A038198 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ T. Nagell, Ecuația diofantină x ² + 7 = 2 ⁿ , Arkiv mathematik 4 (1960), 185–187.
^ A. Engel, Strategii de rezolvare a problemelor , Springer, New York, 1999, ISBN 0-387-98219-1
^ Y. Bugeaud, M. Mignotte și S. Siksek, Abordări clasice și modulare ale ecuațiilor diofantine exponențiale II: ecuația Lebesgue-Nagell , Compositio Mathematica 142 (2006), 31-62
^ E. Herrmann, F. Luca și PG Walsh, O notă despre ecuația Ramanujan-Nagell , Publ. Matematica. Debrecen 64 (2004), nr. 1-2, 21-30.
^ F. Beukers, Despre ecuația generalizată Ramanujan-Nagell I , Acta Arith. 38 (1980), 389-410. pdf
^ R. Apéry, Sur une équation diophantienne , CR Acad. Schi. Paris Sér. A 251 (1960), 1263-1264.
^ J. Browkin, A. Schinzel, Cu privire la ecuația 2 ⁿ -D = y ² , Bull. Acad. Polon. Știință. Matematică. Astronom. Fizic. 8 (1960), pp. 311-318.
^ A. Schinzel, Despre două teoreme ale lui Gelfond și unele dintre aplicațiile lor , Acta Arith. 13 (1967), 177-236.
^ F. Beukers, Despre ecuația generalizată Ramanujan-Nagell II , Acta Arith. 39 (1981), 113-123. pdf

Bibliografie

MA Bennett, M. Filaseta și O. Trifonov, O altă generalizare a ecuației Ramanujan-Nagell , 2007. pdf

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, ecuația Ramanujan-Nagell , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A060728 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[2] (EN) secvența A038198 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[3] T. Nagell, Ecuația diofantină x ² + 7 = 2 ⁿ , Arkiv mathematik 4 (1960), 185–187.

[4] A. Engel, Strategii de rezolvare a problemelor , Springer, New York, 1999, ISBN 0-387-98219-1

[5] Y. Bugeaud, M. Mignotte și S. Siksek, Abordări clasice și modulare ale ecuațiilor diofantine exponențiale II: ecuația Lebesgue-Nagell , Compositio Mathematica 142 (2006), 31-62

[6] E. Herrmann, F. Luca și PG Walsh, O notă despre ecuația Ramanujan-Nagell , Publ. Matematica. Debrecen 64 (2004), nr. 1-2, 21-30.

[7] F. Beukers, Despre ecuația generalizată Ramanujan-Nagell I , Acta Arith. 38 (1980), 389-410. pdf

[8] R. Apéry, Sur une équation diophantienne , CR Acad. Schi. Paris Sér. A 251 (1960), 1263-1264.

[9] J. Browkin, A. Schinzel, Cu privire la ecuația 2 ⁿ -D = y ² , Bull. Acad. Polon. Știință. Matematică. Astronom. Fizic. 8 (1960), pp. 311-318.

[10] A. Schinzel, Despre două teoreme ale lui Gelfond și unele dintre aplicațiile lor , Acta Arith. 13 (1967), 177-236.

[11] F. Beukers, Despre ecuația generalizată Ramanujan-Nagell II , Acta Arith. 39 (1981), 113-123. pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5] au

[6]

[7]

[8] a

[9] au

[10] a

[11]