Ecuația de stare (cosmologie)

În cosmologie , ecuația de stare a unui fluid perfect este caracterizată printr-un număr adimensional $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ , egal cu raportul presiunii sale $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și densitatea sa de energie $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ :

w\equiv {\frac {p}{\rho }}

{\ displaystyle w \ equiv {\ frac {p} {\ rho}}}

{\ displaystyle w \ equiv {\ frac {p} {\ rho}}}

.

Este strâns legată de ecuația stării termodinamicii și de cea a gazelor ideale .

Ecuaţie

Ecuația de stare a gazului ideal poate fi scrisă ca

p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}

{\ displaystyle p = \ rho _ {m} RT = \ rho _ {m} C ^ {2}}

{\ displaystyle p = \ rho _ {m} RT = \ rho _ {m} C ^ {2}}

unde este $\rho _{m}$ ${\ displaystyle \ rho _ {m}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {m}}$ este densitatea masei , $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este constanta gazului , $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este viteza termică a moleculelor ( $C={\sqrt {RT}}$ ${\ displaystyle C = {\ sqrt {RT}}}$ ${\ displaystyle C = {\ sqrt {RT}}}$ ). Înlocuiește

w\equiv {\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0

{\ displaystyle w \ equiv {\ frac {p} {\ rho}} = {\ frac {\ rho _ {m} C ^ {2}} {\ rho _ {m} c ^ {2}}} = { \ frac {C ^ {2}} {c ^ {2}}} \ approx 0}

{\ displaystyle w \ equiv {\ frac {p} {\ rho}} = {\ frac {\ rho _ {m} C ^ {2}} {\ rho _ {m} c ^ {2}}} = { \ frac {C ^ {2}} {c ^ {2}}} \ approx 0}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii, $\rho =\rho _{m}c^{2}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {m} c ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {m} c ^ {2}}$ Și $C\ll c$ ${\ displaystyle C \ ll c}$ ${\ displaystyle C \ ll c}$ pentru un gaz „rece”.

Ecuațiile FLRW și ecuația de stare

Ecuația de stare poate fi utilizată în ecuațiile lui Friedmann pentru a descrie evoluția unui univers izotrop plin cu un fluid perfect. De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este atunci factorul de scară

\rho \propto a^{-3(1+w)}.

{\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)}.}

{\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)}.}

Dacă fluidul este forma dominantă a materiei într-un univers plat atunci

a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},

{\ displaystyle a \ propto t ^ {\ frac {2} {3 (1 + w)}},}

{\ displaystyle a \ propto t ^ {\ frac {2} {3 (1 + w)}},}

unde este $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este timpul potrivit .

În general, ecuația de accelerație Friedmann este

3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)

{\ displaystyle 3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = \ Lambda -4 \ pi G (\ rho + 3p)}

{\ displaystyle 3 {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = \ Lambda -4 \ pi G (\ rho + 3p)}

unde este $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ este constanta cosmologică e $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este constanta lui Newton e ${\ddot {a}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {a}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {a}}}$ este a doua derivată în ceea ce privește timpul corect al factorului de scală.

Dacă definim (ceea ce s-ar putea numi „eficient”) densitatea energiei și presiunea ca

\rho ^{\prime }\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}

{\ displaystyle \ rho ^ {\ prime} \ equiv \ rho + {\ frac {\ Lambda} {8 \ pi G}}}

{\ displaystyle \ rho ^ {\ prime} \ equiv \ rho + {\ frac {\ Lambda} {8 \ pi G}}}

p^{\prime }\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}

{\ displaystyle p ^ {\ prime} \ equiv p - {\ frac {\ Lambda} {8 \ pi G}}}

{\ displaystyle p ^ {\ prime} \ equiv p - {\ frac {\ Lambda} {8 \ pi G}}}

Și

p^{\prime }=w^{\prime }\rho ^{\prime }

{\ displaystyle p ^ {\ prime} = w ^ {\ prime} \ rho ^ {\ prime}}

{\ displaystyle p ^ {\ prime} = w ^ {\ prime} \ rho ^ {\ prime}}

ecuația de accelerație poate fi scrisă ca

{\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho ^{\prime }+3p^{\prime }\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w^{\prime })\rho ^{\prime }

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4} {3}} \ pi G \ left (\ rho ^ {\ prime} + 3p ^ {\ prime} \ dreapta) = - {\ frac {4} {3}} \ pi G (1 + 3w ^ {\ prime}) \ rho ^ {\ prime}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4} {3}} \ pi G \ left (\ rho ^ {\ prime} + 3p ^ {\ prime} \ dreapta) = - {\ frac {4} {3}} \ pi G (1 + 3w ^ {\ prime}) \ rho ^ {\ prime}}

Particule nerelativiste

Ecuația de stare pentru materia obișnuită non- relativistă (de exemplu, praf rece) este $w=0$ ${\ displaystyle w = 0}$ ${\ displaystyle w = 0}$ , ceea ce înseamnă că densitatea sa de energie scade cu $\rho \propto a^{-3}=V^{-1}$ ${\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3} = V ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3} = V ^ {- 1}}$ , unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un volum. Într-un univers în expansiune, energia totală a materiei non-relativiste rămâne constantă, densitatea sa scăzând odată cu creșterea volumului.

Particule ultra-relativiste

Ecuația de stare pentru „radiații” ultra-relativiste (inclusiv neutrini și, în universul timpuriu , alte particule care au devenit ulterior non-relativiste) este $w=1/3$ ${\ displaystyle w = 1/3}$ ${\ displaystyle w = 1/3}$ ceea ce înseamnă că densitatea sa de energie scade cu $\rho \propto a^{-4}$ ${\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 4}}$ ${\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 4}}$ . Într-un univers în expansiune, densitatea energetică a radiației scade mai repede decât expansiunea volumului, deoarece lungimea sa de undă suferă o schimbare gravitațională spre roșu .

Accelerarea inflației cosmice

Inflația cosmică și expansiunea accelerată a universului pot fi caracterizate prin ecuația stării energiei întunecate . În cel mai simplu caz, ecuația de stare a constantei cosmologice este $w=-1$ ${\ displaystyle w = -1}$ $w = -1$ . În acest caz, expresia de mai sus pentru factorul de scară nu se menține și trebuie să o scrieți astfel: $a\propto e^{Ht}$ ${\ displaystyle a \ propto e ^ {Ht}}$ ${\ displaystyle a \ propto e ^ {Ht}}$ , unde constanta H este constanta Hubble . Mai general, expansiunea universului se accelerează pentru orice ecuație de stare în care $w<-1/3$ ${\ displaystyle w <-1/3}$ $w <-1/3$ . Expansiunea accelerată a Universului a fost de fapt observată. ^[1] Conform observațiilor, valoarea ecuației stării constantei cosmologice este apropiată de -1.

Energia fantomă ipotetică ar avea o ecuație de stare $w<-1$ ${\ displaystyle w <-1}$ ${\ displaystyle w <-1}$ și ar provoca așa-numitul Big Rip (sau Big Rip ). Cu toate acestea, datele actuale ne fac să credem că $-1\leq \omega \leq -1/3$ ${\ displaystyle -1 \ leq \ omega \ leq -1/3}$ ${\ displaystyle -1 \ leq \ omega \ leq -1/3}$ .

Fluide

Într-un univers în expansiune, fluidele cu $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ cele mai mari dispar mai repede decât cele cu $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ mai mica. Aceasta este originea problemei planeității și a problemelor monopolurilor magnetice : curbura are $w=-1/3$ ${\ displaystyle w = -1 / 3}$ $w = -1 / 3$ iar monopolurile magnetice au $w=0$ ${\ displaystyle w = 0}$ ${\ displaystyle w = 0}$ , deci dacă ar fi prezenți în momentul Big Bang-ului , ar trebui să fie vizibili și astăzi. Aceste probleme sunt rezolvate de inflația cosmică pe care o are $w\approx -1$ ${\ displaystyle w \ approx -1}$ ${\ displaystyle w \ approx -1}$ . Măsurarea ecuației stării energiei întunecate este unul dintre eforturile majore ale cosmologiei observaționale . Măsurând cu precizie $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ , se speră că constanta cosmologică poate fi distinsă de chintesența pe care o are $w\neq -1$ ${\ displaystyle w \ neq -1}$ ${\ displaystyle w \ neq -1}$ .

Modelarea scalară

Un câmp scalar $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ poate fi văzut ca un fel de fluid perfect cu ecuație de stare

{w={\frac {{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}{{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+V(\phi )}},}

{\ displaystyle {w = {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ dot {\ phi}} ^ {2} -V (\ phi)} {{\ frac {1} {2}} {\ dot {\ phi}} ^ {2} + V (\ phi)}},}}

{\ displaystyle {w = {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ dot {\ phi}} ^ {2} -V (\ phi)} {{\ frac {1} {2}} {\ dot {\ phi}} ^ {2} + V (\ phi)}},}}

unde este ${\dot {\phi }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$ este derivata în timp a $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $V(\phi )$ ${\ displaystyle V (\ phi)}$ ${\ displaystyle V (\ phi)}$ este energia potențială. Un câmp scalar liber ( $V=0$ ${\ displaystyle V = 0}$ ${\ displaystyle V = 0}$ ) are $w=1$ ${\ displaystyle w = 1}$ ${\ displaystyle w = 1}$ și una cu energie cinetică decolorată echivalează cu o constantă cosmologică: $w=-1$ ${\ displaystyle w = -1}$ $w = -1$ . Orice ecuație de stare între (dar nu dincolo de $w=-1$ ${\ displaystyle w = -1}$ $w = -1$ , bariera cunoscută sub numele de Phantom Divide Line (PDL), ^[2] este realizabilă, ceea ce face ca câmpurile scalare să fie modele utile pentru multe fenomene cosmologice.