Ecuația Pell

Ecuația Pell este o ecuație diofantină pătratică în două variabile, de tipul

x^{2}-dy^{2}=1

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 1}

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 1}

, sau

x^{2}-dy^{2}=-1

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = - 1}

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = - 1}

Ecuațiile primului tip admit o soluție banală pentru fiecare valoare a lui d , adică $x=\pm 1,~y=0$ ${\ displaystyle x = \ pm 1, ~ y = 0}$ ${\ displaystyle x = \ pm 1, ~ y = 0}$ , și poate fi rezolvat în numere întregi netiviale pentru orice valoare a lui d care nu este un pătrat perfect . Cei de-al doilea tip, pe de altă parte, au o soluție doar pentru anumite cazuri particulare.

Numele ecuației derivă din cel al matematicianului englez John Pell , căruia Euler i-a atribuit (probabil din greșeală) metoda de găsire a soluțiilor sale.

Metoda soluției

Pentru a rezolva o ecuație Pell, se dezvoltă mai întâi ${\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ în fracție continuă :

{\sqrt {d}}=q_{0},{\overline {q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},2q_{0}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {d}} = q_ {0}, {\ overline {q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, 2q_ {0}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {d}} = q_ {0}, {\ overline {q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, 2q_ {0}}}}

să luăm apoi în considerare al n - lea convergent, ${\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ . Soluția $x_{0}=A_{n},~y_{0}=B_{n}$ ${\ displaystyle x_ {0} = A_ {n}, ~ y_ {0} = B_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {0} = A_ {n}, ~ y_ {0} = B_ {n}}$ va acoperi ecuația $x^{2}-dy^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = 1}$ , sau asta $x^{2}-dy^{2}=-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = - 1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = - 1}$ în funcție de dacă n este impar sau par. În acest din urmă caz, fracția continuă este extinsă cu o altă perioadă, până la atingerea convergenților $x=A_{2n+1},~y=B_{2n+1}$ ${\ displaystyle x = A_ {2n + 1}, ~ y = B_ {2n + 1}}$ ${\ displaystyle x = A_ {2n + 1}, ~ y = B_ {2n + 1}}$ care rezolvă ecuația pentru +1.

Alte soluții

Se poate arăta că fiecare soluție x , y a ecuației lui Pell este dată de

x+y{\sqrt {d}}=(x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}})^{i}

{\ displaystyle x + y {\ sqrt {d}} = (x_ {0} + y_ {0} {\ sqrt {d}}) ^ {i}}

{\ displaystyle x + y {\ sqrt {d}} = (x_ {0} + y_ {0} {\ sqrt {d}}) ^ {i}}

pentru anumite numere întregi $x_{0},y_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}}$ și un întreg $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ pozitiv.

De fapt, să luăm în considerare inelul $\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]=\{a+b{\sqrt {d}}|a,b\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {d}}] = \ {a + b {\ sqrt {d}} | a, b \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {d}}] = \ {a + b {\ sqrt {d}} | a, b \ in \ mathbb {Z} \}}$ ( d> 0 ), conținut în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Se poate defini o normă multiplicativă $a^{2}-db^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} -db ^ {2}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} -db ^ {2}}$ . Acum, norma de $x+y{\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle x + y {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle x + y {\ sqrt {d}}}$ este 1, dacă și numai dacă (x, y) este o soluție a ecuației lui Pell și, prin urmare, este o unitate pentru inel (adică este inversabilă).

Să fie acum $u=x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle u = x_ {0} + y_ {0} {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle u = x_ {0} + y_ {0} {\ sqrt {d}}}$ cea mai mică unitate mai mare decât 1. Toate elementele sub forma u ⁱ au ^și norma 1 și, prin urmare, componentele lor sunt încă soluții ale ecuației lui Pell. Dacă ar exista o altă soluție q , ar trebui să se afle între două puteri ale lui u :

u^{n}<q<u^{n+1}

{\ displaystyle u ^ {n} <q <u ^ {n + 1}}

{\ displaystyle u ^ {n} <q <u ^ {n + 1}}

adică împărțind la u ⁿ (ceea ce este posibil deoarece este un element inversabil al inelului),

1<qu^{-n}<u

{\ displaystyle 1 <qu ^ {- n} <u}

{\ displaystyle 1 <qu ^ {- n} <u}

adică ar trebui să existe o altă soluție $q'=qu^{-n}$ ${\ displaystyle q '= qu ^ {- n}}$ ${\ displaystyle q '= qu ^ {- n}}$ între 1 și u . Dar am presupus u ca cea mai mică soluție posibilă și, prin urmare, aceasta este absurdă, adică toate soluțiile sunt puteri ale soluției de bază $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ .

Demonstrarea metodei

Din teoria fracțiilor continuate avem acest lucru, având în vedere doi coeficienți consecutivi ${\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ Și ${\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}}}$ la un număr irațional α, acestea verifică relația

\alpha ={\frac {\alpha _{n+1}A_{n}+A_{n-1}}{\alpha _{n+1}B_{n}+B_{n-1}}}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ alpha _ {n + 1} A_ {n} + A_ {n-1}} {\ alpha _ {n + 1} B_ {n} + B_ {n-1} }}}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ alpha _ {n + 1} A_ {n} + A_ {n-1}} {\ alpha _ {n + 1} B_ {n} + B_ {n-1} }}}

,

unde este $\alpha _{n+1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {n + 1}}$ este coeficientul complet după $q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ $q_ {n}$ . În cazul fracției continue pentru ${\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ , se va dovedi

\alpha _{n+1}=2q_{0}+{\frac {1}{q_{1}+}}+{\frac {1}{q_{2}+}}\cdots ={\sqrt {d}}+q_{0}

{\ displaystyle \ alpha _ {n + 1} = 2q_ {0} + {\ frac {1} {q_ {1} +}} + {\ frac {1} {q_ {2} +}} \ cdots = { \ sqrt {d}} + q_ {0}}

{\ displaystyle \ alpha _ {n + 1} = 2q_ {0} + {\ frac {1} {q_ {1} +}} + {\ frac {1} {q_ {2} +}} \ cdots = { \ sqrt {d}} + q_ {0}}

Înlocuind această valoare, obținem

{\sqrt {d}}[({\sqrt {d}}+q_{0})B_{n}+B_{n-1}]=({\sqrt {d}}+q_{0})A_{n}+A_{n-1}

{\ displaystyle {\ sqrt {d}} [({\ sqrt {d}} + q_ {0}) B_ {n} + B_ {n-1}] = ({\ sqrt {d}} + q_ {0 }) A_ {n} + A_ {n-1}}

{\ displaystyle {\ sqrt {d}} [({\ sqrt {d}} + q_ {0}) B_ {n} + B_ {n-1}] = ({\ sqrt {d}} + q_ {0 }) A_ {n} + A_ {n-1}}

dB_{n}+{\sqrt {d}}(q_{0}B_{n}+B_{n-1})=q_{0}A_{n}+A_{n-1}+{\sqrt {d}}A_{n}

{\ displaystyle dB_ {n} + {\ sqrt {d}} (q_ {0} B_ {n} + B_ {n-1}) = q_ {0} A_ {n} + A_ {n-1} + { \ sqrt {d}} A_ {n}}

{\ displaystyle dB_ {n} + {\ sqrt {d}} (q_ {0} B_ {n} + B_ {n-1}) = q_ {0} A_ {n} + A_ {n-1} + { \ sqrt {d}} A_ {n}}

și de atunci $A_{n},~B_{n},~A_{n-1},~B_{n-1}$ ${\ displaystyle A_ {n}, ~ B_ {n}, ~ A_ {n-1}, ~ B_ {n-1}}$ ${\ displaystyle A_ {n}, ~ B_ {n}, ~ A_ {n-1}, ~ B_ {n-1}}$ sunt numere întregi, puteți sparge ecuația într-o parte care conține ${\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ , cu siguranță irațional și într-o parte care nu îl conține (cu siguranță întreg) obținând cele două ecuații

dB_{n}=q_{0}A_{n}+A_{n-1}~~~

{\ displaystyle dB_ {n} = q_ {0} A_ {n} + A_ {n-1} ~~~}

{\ displaystyle dB_ {n} = q_ {0} A_ {n} + A_ {n-1} ~~~}

Și

q_{0}B_{n}+B_{n-1}=A_{n}~~~

{\ displaystyle q_ {0} B_ {n} + B_ {n-1} = A_ {n} ~~~}

{\ displaystyle q_ {0} B_ {n} + B_ {n-1} = A_ {n} ~~~}

(acesta din urmă după simplificarea rădăcinilor)

Acum le putem transforma în expresii pentru $A_{n-1}$ ${\ displaystyle A_ {n-1}}$ ${\ displaystyle A_ {n-1}}$ Și $B_{n-1}$ ${\ displaystyle B_ {n-1}}$ ${\ displaystyle B_ {n-1}}$ :

A_{n-1}=dB_{n}-q_{0}A_{n}~~~

{\ displaystyle A_ {n-1} = dB_ {n} -q_ {0} A_ {n} ~~~}

{\ displaystyle A_ {n-1} = dB_ {n} -q_ {0} A_ {n} ~~~}

Și

B_{n-1}=A_{n}-q_{0}B_{n}~~~\;

{\ displaystyle B_ {n-1} = A_ {n} -q_ {0} B_ {n} ~~~ \;}

{\ displaystyle B_ {n-1} = A_ {n} -q_ {0} B_ {n} ~~~ \;}

Știm, de asemenea, (din nou din teoria fracțiilor continue) că apar oricare două convergențe:

A_{n}B_{n-1}-B_{n}A_{n-1}=(-1)^{n-1}

{\ displaystyle A_ {n} B_ {n-1} -B_ {n} A_ {n-1} = (- 1) ^ {n-1}}

{\ displaystyle A_ {n} B_ {n-1} -B_ {n} A_ {n-1} = (- 1) ^ {n-1}}

și, prin urmare, substituind avem

A_{n}^{2}-dB_{n}^{2}=(-1)^{n-1}

{\ displaystyle A_ {n} ^ {2} -dB_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n-1}}

{\ displaystyle A_ {n} ^ {2} -dB_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n-1}}

care este ecuația Pell pe care o căutam. Dacă acum n este impar, vom avea o soluție cu +1; dacă este par, vom obține o soluție cu -1 Pentru a obține una pozitivă, totuși, este suficient să extindem fracția continuată cu o altă perioadă; în acest fel veți obține, înainte de următorul mandat $2q_{0}$ ${\ displaystyle 2q_ {0}}$ ${\ displaystyle 2q_ {0}}$ , un termen cu index 2 n +1, care va rezolva ecuația.

Se poate arăta, de asemenea, că dacă perioada fracției continuă pentru ${\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ are un număr impar de termen în partea simetrică (adică există un termen mediu), ecuația $x^{2}-dy^{2}=-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = - 1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = - 1}$ nu are soluții.

Generalizări

O ecuație Pell generalizată este în formă

x^{2}-dy^{2}=\pm M

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = \ pm M}

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = \ pm M}

ale cărui soluții sunt furnizate de un convergent adecvat la fracția continuată pentru ${\sqrt {d}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {d}}}$ .

Bibliografie

Harold Davenport , Capitolul IV , în Aritmetica superioară , Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Ecuația lui Pell , din Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 20871 · LCCN (EN) sh2002004493 · BNF (FR) cb150987299 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică