Factor de calitate (geofizică)

Factorul de calitate al rocilor ( Q ) este una dintre cantitățile utilizate în geofizică (și în special seismologie ) pentru estimarea caracteristicilor atenuante ale mediului terestru .

Definiție

Factorul de calitate Q este, în principiu, o cantitate dependentă de frecvență și poate fi definit în termeni de pierdere relativă de energie E pe ciclu de undă ca:

{\frac {1}{Q}}=-{\frac {\Delta E}{2\pi E}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {Q}} = - {\ frac {\ Delta E} {2 \ pi E}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {Q}} = - {\ frac {\ Delta E} {2 \ pi E}}}

(1)

unde ΔE ≤ 0 este fracția de energie consumată pe ciclu de undă, în ipoteza | ΔE | «E.

Atenuare și factor de calitate

Din definiția lui ,E, s-a definit ΔE (R) energia consumată într-o întindere ΔR astfel încât:

{\frac {\Delta E}{\lambda }}={\frac {\Delta E(R)}{\Delta R}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E} {\ lambda}} = {\ frac {\ Delta E (R)} {\ Delta R}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E} {\ lambda}} = {\ frac {\ Delta E (R)} {\ Delta R}}}

(2)

primesti:

{\frac {\Delta E(R)}{E}}={\frac {\Delta E\Delta R}{\lambda E}}={\frac {2\pi }{Q\lambda }}\Delta R=\eta \Delta R

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E (R)} {E}} = {\ frac {\ Delta E \ Delta R} {\ lambda E}} = {\ frac {2 \ pi} {Q \ lambda} } \ Delta R = \ eta \ Delta R}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E (R)} {E}} = {\ frac {\ Delta E \ Delta R} {\ lambda E}} = {\ frac {2 \ pi} {Q \ lambda} } \ Delta R = \ eta \ Delta R}

(3)

unde λ indică lungimea de undă și η coeficientul de atenuare . Din (3) este clar cum, pe măsură ce factorul de calitate crește, energia disipată de undă în mediu scade. În ipoteza inelasticității slabe a pământului (Q> 100), considerați o undă monocromatică , care se caracterizează printr-o singură componentă de frecvență. Energia unui pachet de unde (seismogramă) este proporțională cu amplitudinea undei pătrate ( $E=k*A^{2}$ ${\ displaystyle E = k * A ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = k * A ^ {2}}$ ); diferențierea:

{\frac {dE}{E}}={\frac {2dA}{A}}

{\ displaystyle {\ frac {dE} {E}} = {\ frac {2dA} {A}}}

{\ displaystyle {\ frac {dE} {E}} = {\ frac {2dA} {A}}}

(4)

și aproximând diferențialele cu trepte finite, obținem:

{\frac {\Delta E}{E}}{\tilde {=}}{\frac {2\Delta A}{A}}{\tilde {=}}{\frac {2\pi }{Q(f)}}\Longrightarrow {\frac {1}{Q}}{\tilde {=}}{\frac {\Delta A}{\pi A}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E} {E}} {\ tilde {=}} {\ frac {2 \ Delta A} {A}} {\ tilde {=}} {\ frac {2 \ pi} {Q (f)}} \ Longrightarrow {\ frac {1} {Q}} {\ tilde {=}} {\ frac {\ Delta A} {\ pi A}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E} {E}} {\ tilde {=}} {\ frac {2 \ Delta A} {A}} {\ tilde {=}} {\ frac {2 \ pi} {Q (f)}} \ Longrightarrow {\ frac {1} {Q}} {\ tilde {=}} {\ frac {\ Delta A} {\ pi A}}}

(5)

unde ΔA este modificarea amplitudinii pe ciclu de undă. Dacă x este o coordonată spațială în orice direcție, putem scrie:

\Delta A={\frac {dA}{dx}}*\lambda

{\ displaystyle \ Delta A = {\ frac {dA} {dx}} * \ lambda}

{\ displaystyle \ Delta A = {\ frac {dA} {dx}} * \ lambda}

(6)

și, plasând definiția lui inA în (5), obținem:

{\frac {dA}{dx}}*\lambda ={\frac {\pi A}{Q}}

{\ displaystyle {\ frac {dA} {dx}} * \ lambda = {\ frac {\ pi A} {Q}}}

{\ displaystyle {\ frac {dA} {dx}} * \ lambda = {\ frac {\ pi A} {Q}}}

(7)

Rezolvând această ecuație pentru A și setând λ = vT = 2πv / ω, unde v este viteza undei, obținem:

A(x,Q,\omega )=A_{0}*\exp(-{\frac {\omega x}{2vQ}})

{\ displaystyle A (x, Q, \ omega) = A_ {0} * \ exp (- {\ frac {\ omega x} {2vQ}})}

{\ displaystyle A (x, Q, \ omega) = A_ {0} * \ exp (- {\ frac {\ omega x} {2vQ}})}

(8)

din care este evidentă dependența amplitudinii undelor seismice de la Q.

Intrinsec și împrăștiere Q

Energia pierdută din cauza disipării inelastice din undă în timpul propagării este de obicei măsurată prin coeficientul de atenuare intrinsecă ; această disipare determină degradarea amplitudinii volumului și a undelor de suprafață cu distanță și frecvență. Se recunoaște în unanimitate că atenuarea intrinsecă este asociată cu luxații la scară mică de cristale , fricțiuni și mișcări ale fluidelor interstițiale, care transformă energia vibrațională în căldură ; multe lucrări propun mecanisme diferite de atenuare, dintre care unii factori de calitate sunt dependenți de frecvență, în timp ce în altele sunt independenți de aceasta.

Una dintre principalele cauze de atenuare este, prin urmare, pierderea de energie datorată încălzirii mediului trecut; prin urmare, putem defini un factor de calitate intrinsec, strict legat de pierderile de energie datorate disipării inelastice, prin relația:

{\frac {\Delta E(R)^{I}}{E}}={\frac {2\pi }{\lambda Q_{I}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E (R) ^ {I}} {E}} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda Q_ {I}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E (R) ^ {I}} {E}} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda Q_ {I}}}}

Cu toate acestea, nu numai fenomenele termice produc atenuarea; unda primară este de fapt atenuată de procese de împrăștiere sau redistribuire a energiei undei prin reflexie , refracție și conversie , odată cu generarea undelor secundare . Fenomenele de împrăștiere depind de mărimea eterogenităților prezente în mediul de investigație. Diferite fenomenologii apar în funcție de dimensiunile relative dintre lungimea de undă incidentă și dimensiunile caracteristice ale eterogenităților prezente în material. Energia transferată de la undele primare la împrăștieri în timpul călătoriei este o funcție a drumului liber mediu . Acesta din urmă este definit în câmpul seismologic ca călătoria medie efectuată de pachetele de unde înainte de a întâlni un centru de împrăștiere și este în mod evident o funcție a densității centrelor de împrăștiere în mediu. Pentru parametrizarea împrăștierii trebuie să definim densitatea numerică a centrelor de împrăștiere pe unitate de volum n și secțiunea transversală σ, pentru a obține: