Funcția K

În matematică, funcția K este o funcție specială care constituie o extensie la un domeniu complex al succesiunii numerelor întregi numite hiperfactoriale de Neil Sloane și Simon Plouffe , la fel cum funcția Gamma este o extensie complexă a succesiunii factorialelor .

Functia $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ poate fi definit ca

K(z):=(2\pi )^{\frac {-z+1}{2}}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}dt\,\ln(t!)\right].

{\ displaystyle K (z): = (2 \ pi) ^ {\ frac {-z + 1} {2}} \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} z ​​\\ 2 \ end {pmatrix} } + \ int _ {0} ^ {z-1} dt \, \ ln (t!) \ right].}

{\ displaystyle K (z): = (2 \ pi) ^ {\ frac {-z + 1} {2}} \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} z ​​\\ 2 \ end {pmatrix} } + \ int _ {0} ^ {z-1} dt \, \ ln (t!) \ right].}

poate fi exprimat și în formă închisă ca:

K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]

{\ displaystyle K (z) = \ exp \ left [\ zeta ^ {\ prime} (- 1, z) - \ zeta ^ {\ prime} (- 1) \ right]}

{\ displaystyle K (z) = \ exp \ left [\ zeta ^ {\ prime} (- 1, z) - \ zeta ^ {\ prime} (- 1) \ right]}

prin derivate ale funcției zeta Riemann $\zeta '(z)$ ${\ displaystyle \ zeta '(z)}$ ${\ displaystyle \ zeta '(z)}$ și funcția Hurwitz zeta $\zeta (a,z)$ ${\ displaystyle \ zeta (a, z)}$ ${\ displaystyle \ zeta (a, z)}$ ; aici se intenționează tocmai să fie

\zeta ^{\prime }(a,z)\equiv \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.

{\ displaystyle \ zeta ^ {\ prime} (a, z) \ equiv \ left [{\ frac {d \ zeta (s, z)} {ds}} \ right] _ {s = a}.}

{\ displaystyle \ zeta ^ {\ prime} (a, z) \ equiv \ left [{\ frac {d \ zeta (s, z)} {ds}} \ right] _ {s = a}.}

Functia $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este strâns legată de funcția Gamma și funcția Barnes G ; pe subiecte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere întregi naturale pe care le are

K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.

{\ displaystyle K (n) = {\ frac {(\ Gamma (n)) ^ {n-1}} {G (n)}}.}

{\ displaystyle K (n) = {\ frac {(\ Gamma (n)) ^ {n-1}} {G (n)}}.}

Mai concret putem scrie

K(n)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.

{\ displaystyle K (n) = 1 ^ {1} \, 2 ^ {2} \, 3 ^ {3} \ cdots (n-1) ^ {n-1}.}

{\ displaystyle K (n) = 1 ^ {1} \, 2 ^ {2} \, 3 ^ {3} \ cdots (n-1) ^ {n-1}.}

Succesiunea acestor valori, adică succesiunea hiperfactorialelor, constituie secvența A002109 a Enciclopediei on-line a secvențelor întregi . Valorile acestei secvențe în raport cu $n=0,1,\ldots ,10$ ${\ displaystyle n = 0,1, \ ldots, 10}$ ${\ displaystyle n = 0,1, \ ldots, 10}$ Sunt