Funcția Landau

Funcția Landau g ( n ) este definită pentru orice număr natural n care este cel mai mare ordin al unui element al grupului simetric S _n . În mod echivalent, g ( n ) este cel mai mare multiplu cel mai mic comun al oricărei partiții a lui n .

De exemplu, 5 = 2 + 3 și mcm (2,3) = 6. Nici o altă partiție de 5 nu conduce la un multiplu cel mai mic comun, deci g (5) = 6. Un element de ordinul 6 din grupul S ₅ poate să fie scris ca (1 2) (3 4 5).

Valorile asumate de funcția Landau la primele numere naturale sunt

1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 12, 15, 20, 30, 30, 60, 60, 84, 105 ^[1]

Secvența își ia numele de la Edmund Landau , care a dovedit în 1902 ^[2] că

\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln (g (n))} {\ sqrt {n \ ln (n)}}} = 1}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln (g (n))} {\ sqrt {n \ ln (n)}}} = 1}

(unde ln indică logaritmul natural ).

Afirmația

\ln g(n)<{\sqrt {Li^{-1}(n)}}

{\ displaystyle \ ln g (n) <{\ sqrt {Li ^ {- 1} (n)}}}

{\ displaystyle \ ln g (n) <{\ sqrt {Li ^ {- 1} (n)}}}

pentru fiecare n, unde Li ^-1 indică inversa funcției logaritme integrale , este echivalent cu ipoteza Riemann .

Notă

^ (EN) secvența A000793 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ E. Landau, Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grade [On the maximal order of permutations of given degree] , Arch. Math. Fizic. Ser. 3, vol. 5, 1903, pp. 92-103

Bibliografie

W. Miller, Ordinea maximă a unui element al unui grup simetric finit , American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, pp. 497-506.
J.-L. Nicolas, Despre funcția lui Landau g (n) , în The Mathematics of Paul Erdős , vol. 1, Springer Verlag, 1997, pp. 228-240.

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, funcția lui Landau , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A000793 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[2] E. Landau, Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grade [On the maximal order of permutations of given degree] , Arch. Math. Fizic. Ser. 3, vol. 5, 1903, pp. 92-103

[1]

[2]