Funcția Wannier

Un exemplu de FW în Titanatul de bariu

Funcțiile Wannier sunt o bază ortonormală alternativă la funcțiile Bloch . Ele sunt definite printr-o transformare unitară a funcțiilor Bloch , în consecință formează o reprezentare alternativă a sistemului cuantic. Funcțiile Wannier sunt identificate prin indexul benzii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iar din celulă $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf {R}}$ a rețelei reale căreia îi aparțin; în notația Dirac $|\mathbf {R} n>$ ${\ displaystyle | \ mathbf {R} n>}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {R} n>}$ . Introduse de Gregory Wannier la sfârșitul anilor treizeci ^[1] ^[2] , au devenit populare în anii șaizeci odată cu apariția fizicii computaționale .

Acestea sunt definite formal conform următoarei expresii:

|\mathbf {R} n>={\frac {V_{C}}{(2\pi )^{3}}}\int _{BZ}d\mathbf {k} e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R-r} )}|u_{n\mathbf {k} }>

{\ displaystyle | \ mathbf {R} n> = {\ frac {V_ {C}} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int _ {BZ} d \ mathbf {k} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {Rr})} | u_ {n \ mathbf {k}}>}

{\ displaystyle | \ mathbf {R} n> = {\ frac {V_ {C}} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int _ {BZ} d \ mathbf {k} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {Rr})} | u_ {n \ mathbf {k}}>}

;

in care $|u_{n\mathbf {k} }>$ ${\ displaystyle | u_ {n \ mathbf {k}}>}$ ${\ displaystyle | u_ {n \ mathbf {k}}>}$ este partea periodică a funcției Bloch și integralul este evaluat pe prima zonă Brillouin . Relația poate fi inversată după cum urmează:

|u_{n\mathbf {k} }>=\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}|\mathbf {R} n>

{\ displaystyle | u_ {n \ mathbf {k}}> = \ sum _ {\ mathbf {R}} și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {R} - \ mathbf {r})} | \ mathbf {R} n>}

{\ displaystyle | u_ {n \ mathbf {k}}> = \ sum _ {\ mathbf {R}} și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {R} - \ mathbf {r})} | \ mathbf {R} n>}

.

Spre deosebire de funcțiile Bloch, funcțiile Wannier nu sunt stări proprii ale operatorului hamiltonian și alegerea lor depinde de alegerea arbitrară a gabaritului. În mod normal se folosește o clasă specifică de funcții, numite funcții Wannier maxim localizate care au proprietatea de a se descompune exponențial cu distanța de la centrul lor ^[3] .

Din aceste motive, acestea sunt deosebit de potrivite pentru studii, în special de tip computațional, în următoarele domenii:

structura electronică a solidelor și lichidelor amorfe ;
analiza „intuitivă” a legăturilor chimice ;
polarizarea în materiale periodice ;
magnetizare orbitală ;
studii de transport cuantic ( conductanța ).

Notă

^ Articol original : "Structura nivelurilor de excitație electronică în cristalele izolante", GH Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937)
^ "Dinamica electronilor de bandă în câmpuri electrice și magnetice", GH Wannier, Rev. Mod. Phys. 34, 645 (1962)
^ https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0606726

Bibliografie

( EN ) Charles Kittel, Introducere în fizica statelor solide , Wiley, New York 1996.
( EN ) Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics , Harcourt, Orlando 1976.
( EN ) D. Chruściński, A. Jamiołkiwski, Faze geometrice în mecanica clasică și cuantică , Birkhäuser, Boston 2004.

Elemente conexe

Funcții Bloch

linkuri externe

Codul Wannier90 pentru calculul funcțiilor Wannier cu localizare optimă.
Codul Wannier Transport pentru calculul funcțiilor Wannier cu localizare optimă și transport cuantic.

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Articol original : "Structura nivelurilor de excitație electronică în cristalele izolante", GH Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937)

[2] "Dinamica electronilor de bandă în câmpuri electrice și magnetice", GH Wannier, Rev. Mod. Phys. 34, 645 (1962)

[3] ttps://arxiv.org/pdf/cond-mat/0606726

[1]

[2]

[3]