Polarizarea electrică

Polarizarea electrică , în fizică , descrie formarea dipolilor electrici în interiorul unui material , constând din sarcina electrică deținută de atomii și moleculele din care este compusă, în urma aplicării unui câmp electric . ^[1] . Polarizarea electrică are loc în special în materialele izolante și generează prezența unui câmp electric suplimentar în interiorul acestora.

Schema unui condensator plan paralel cu un dielectric

Prin introducerea unui material izolator electric (dielectric) între plăcile unui condensator cu fețe plane și paralele, se constată că capacitatea condensatorului crește. Acum, deoarece capacitatea unui condensator este dată de raportul dintre sarcină și diferența de potențial și deoarece inserția dielectricului nu schimbă sarcina pe plăci (la fel cum distanța dintre plăci și chiar suprafața lor nu se schimbă ), diferența de potențial trebuie să scadă. Amintindu-ne că într-un condensator cu fețe plate și paralele, diferența de potențial este proporțională cu câmpul electric dintre plăci, și câmpul electric trebuie să scadă. Factorul care reduce câmpul electric depinde de materialul dielectric și se numește constantă dielectrică relativă și este o cantitate adimensională, ușor de măsurat, care este indicată de simbolul $\varepsilon _{r}\$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r} \}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r} \}$ .

Explicație microscopică a polarizării

Există două mecanisme care justifică polarizarea în dielectric: deformarea atomilor sau moleculelor și orientarea dipolilor permanenți prezenți. Există substanțe care, neavând un moment electric permanent, au polarizare doar din cauza deformării. Alte substanțe au ambele mecanisme, dar, din motive de simplitate, cele două cazuri sunt discutate separat aici.

Polarizarea prin deformare

Fenomenul de polarizare prin deformare.

În prezența unui câmp electric local, electronii își pot deforma orbitalii schimbându-și ușor poziția față de nuclei, formând un dipol pentru fiecare atom al materialului: suma dipolilor microscopici produce dipolul macroscopic total caracterizat prin $\mathbf {P} \$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} \}$ descris mai jos. Acest fenomen constă în faptul că nucleul, pozitiv, suferă o forță electrică aproximativ proporțională cu câmpul electric prezent local ( $\mathbf {E} _{l}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l} \}$ ) și în același timp electronii au o forță egală și opusă având sarcini opuse. Prin urmare, datorită efectului câmpului electric extern $\mathbf {E} _{l}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l} \}$ , atomii care nu au avut moment dipol electric iau un dipol electric ( $\mathbf {p} \$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \}$ ) egală cu sarcina nucleului înmulțită cu deplasarea suferită de nucleu față de centrul orbitalilor. Rețineți că deplasarea în joc modifică structura atomică minim, deoarece având în vedere dimensiunile atomice (fracțiuni de nm) câmpurile electrice ale atomilor sunt cu multe ordine de mărime mai mari decât câmpurile externe care pot fi generate în mod rezonabil. Prin urmare, putem scrie că:

\mathbf {p} =\alpha _{d}\mathbf {E} _{l}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ alpha _ {d} \ mathbf {E} _ {l}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ alpha _ {d} \ mathbf {E} _ {l}}

unde este $\alpha _{d}\$ ${\ displaystyle \ alpha _ {d} \}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {d} \}$ este așa-numitul coeficient de polarizare electronică prin deformare.

Câmpul electric local $\mathbf {E} _{l}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l}}$ este câmpul care acționează asupra atomului considerat și nu include contribuția atomului în sine.

Polarizarea de orientare

Fenomenul de polarizare prin orientare.

Multe molecule , în special cele caracterizate printr-o configurație nesimetrică, au un moment dipolar intrinsec. Adică, centrul sarcinilor pozitive nu coincide cu cel al sarcinilor negative: un exemplu este molecula de apă care are un moment dipolar egal cu $|p_{H_{2}O}|\ =6\cdot 10^{-30}\ Cm$ ${\ displaystyle | p_ {H_ {2} O} | \ = 6 \ cdot 10 ^ {- 30} \ Cm}$ ${\ displaystyle | p_ {H_ {2} O} | \ = 6 \ cdot 10 ^ {- 30} \ Cm}$ ^[1] , există molecule cu un moment mai mare, dar apa este una dintre moleculele cu o valoare mult mai mare decât norma. Dacă nu este prezent un câmp electric, dipolii individuali sunt orientați aleatoriu, iar momentul total al sistemului macroscopic este zero. Dacă este prezent un câmp electric extern, momentele dipolare sunt orientate paralel cu acesta și valoarea lor medie este, prin urmare, diferită de zero, așa cum se arată în figură. Dar chiar dacă vă aflați în prezența unui câmp electric intens (de exemplu $E=10^{5}\ V/m\$ ${\ displaystyle E = 10 ^ {5} \ V / m \}$ ${\ displaystyle E = 10 ^ {5} \ V / m \}$ ) diferența de energie dintre un dipol orientat în direcția câmpului electric sau în direcția opusă $DU=2|p||E|\$ ${\ displaystyle DU = 2 | p || E | \}$ ${\ displaystyle DU = 2 | p || E | \}$ este mult mai mică decât energia medie datorată agitației termice. De fapt, în cazul numeric luat în considerare (molecula de apă) $DU=1.2\cdot 10^{-24}\ J$ ${\ displaystyle DU = 1.2 \ cdot 10 ^ {- 24} \ J}$ ${\ displaystyle DU = 1.2 \ cdot 10 ^ {- 24} \ J}$ absolut neglijabil în comparație cu energia termică medie $k_{B}T\approx 4\cdot 10^{-21}\ J$ ${\ displaystyle k_ {B} T \ approx 4 \ cdot 10 ^ {- 21} \ J}$ ${\ displaystyle k_ {B} T \ approx 4 \ cdot 10 ^ {- 21} \ J}$ la temperatura camerei. Prin urmare, oricât de intens este câmpul electric, un număr foarte mic de dipoli sunt orientați în direcția câmpului local ${\vec {E}}_{l}$ ${\ displaystyle {\ vec {E}} _ {l}}$ ${\ displaystyle {\ vec {E}} _ {l}}$ . Momentul mediu dipolar depinde de puterea câmpului, dar un procent mic este orientat în direcția câmpului. Deci, pe măsură ce câmpul crește, tot mai mulți dipoli se vor alinia cu câmpul, dar numărul aranjat în mod aleator continuă să rămână foarte mare. Calculul analitic trebuie făcut luând în considerare distribuția Boltzmann și este un calcul tipic al mecanicii statistice, cu acest calcul se arată că:

\langle \mathbf {p} \rangle ={\frac {p_{0}^{2}\mathbf {E} _{l}}{3k_{B}T}}=\alpha _{o}\mathbf {E} _{l}\

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = {\ frac {p_ {0} ^ {2} \ mathbf {E} _ {l}} {3k_ {B} T}} = \ alpha _ {o} \ mathbf {E} _ {l} \}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = {\ frac {p_ {0} ^ {2} \ mathbf {E} _ {l}} {3k_ {B} T}} = \ alpha _ {o} \ mathbf {E} _ {l} \}

unde este $k_{B}\$ ${\ displaystyle k_ {B} \}$ ${\ displaystyle k_ {B} \}$ este constanta lui Boltzmann , $T\$ ${\ displaystyle T \}$ $T \$ este temperatura absolută, $\mathbf {p} _{0}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {0} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {0} \}$ este momentul dipol intrinsec și $\alpha _{o}\$ ${\ displaystyle \ alpha _ {o} \}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {o} \}$ este coeficientul de polarizare a electronilor pentru orientare.

În cazul moleculelor polare există și polarizabilitatea prin deformare. Prin urmare, pot defini o polarizabilitate totală:

\alpha =\alpha _{o}(T)+\alpha _{d}\

{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {o} (T) + \ alpha _ {d} \}

{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {o} (T) + \ alpha _ {d} \}

Dar, în timp ce polarizabilitatea prin orientare depinde puternic de temperatură, aceasta prin deformare este complet insensibilă, prin urmare, la temperatură scăzută pentru substanțele care au un moment dipolar adecvat, polarizarea orientării domină întotdeauna atât timp cât moleculele sunt mobile (stare fluidă). În timp ce la temperatură ridicată, constanta dielectrică a tuturor substanțelor tinde să scadă până la tendința asimptotică de polarizare prin deformare. Aceste considerații sunt valabile în electrostatice, dacă câmpurile electrice sunt variabile în timp, lucrurile sunt mai complicate.

Vector de polarizare electrică

Efectul polarizării electrice poate fi descris prin urmărirea polarizării dipolilor microscopici la o cantitate vectorială macroscopică, care descrie comportamentul global al materialului supus prezenței unui câmp electric extern. Vectorul intensității polarizării , numit și vectorul polarizării electrice , este indicat de $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ ${\ mathbf P}$ , este momentul dipol electric pe unitate de volum deținut de material. Definită ca valoarea medie a momentului dipol electric adecvat $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ de N particule conținute într-un volum infinitesimal $d v$ ${\ displaystyle dv}$ $dv$ , se exprimă prin relația: ^[2]

\mathbf {P} =\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta N}{\Delta V}}\langle \mathbf {p} \rangle =\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{\Delta N}{\mathbf {p} _{i}}}{\Delta V}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} {\ frac {\ Delta N} {\ Delta V}} \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {\ Delta N} {\ mathbf {p} _ {i}}} {\ Delta V}}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} {\ frac {\ Delta N} {\ Delta V}} \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {\ Delta N} {\ mathbf {p} _ {i}}} {\ Delta V}}}

În definiție, limita se aplică unui volum care conține un număr semnificativ de atomi, astfel încât să poată calcula o proprietate medie. Potențialul electric asociat câmpului electric generat într-un punct $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ din polarizarea materialului este suma contribuțiilor oferite de fiecare element de volum $d v$ ${\ displaystyle dv}$ $dv$ de material plasat în punct $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ . Prin integrarea pe întreg spațiul, obținem astfel: ^[3]

V_{P}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{V}{\frac {\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {r} }{|\Delta \mathbf {r} |^{3}}}\operatorname {d} v

{\ displaystyle V_ {P} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} {\ frac {\ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {r}} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ operatorname {d} v}

{\ displaystyle V_ {P} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} {\ frac {\ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {r}} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ operatorname {d} v}

unde este $\operatorname {d} \mathbf {p} =\mathbf {P} \operatorname {d} v$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \ mathbf {p} = \ mathbf {P} \ operatorname {d} v}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \ mathbf {p} = \ mathbf {P} \ operatorname {d} v}$ este momentul dipol posedat de volumul infinitesimal $d V.$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ de material e $\Delta \mathbf {r} =|\mathbf {r} '-\mathbf {r} |$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} = | \ mathbf {r} '- \ mathbf {r} |}$ $\ Delta {\ mathbf r} = | {\ mathbf r} '- {\ mathbf r} |$ diferența vectorială dintre poziție $\mathbf {r} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\ mathbf r} '$ a volumului elementar și a punctului $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ unde se calculează potențialul.

Vectorul de polarizare, ca sursă a unui câmp electric, trebuie să fie legat de o anumită densitate de sarcină microscopică. Într-adevăr, conform teoremei lui Ostrogradskij :

V_{P}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {P} }{|\Delta \mathbf {r} |}}\cdot \operatorname {d} \mathbf {s} +{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{V}{\frac {-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {P} }{|\Delta \mathbf {r} |}}\operatorname {d} v

{\ displaystyle V_ {P} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ oint _ {\ partial V} {\ frac {\ mathbf {P} } {| \ Delta \ mathbf {r} |}} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} {\ frac {- \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {P}} {| \ Delta \ mathbf {r} |}} \ operatorname {d} v}

{\ displaystyle V_ {P} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ oint _ {\ partial V} {\ frac {\ mathbf {P} } {| \ Delta \ mathbf {r} |}} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} {\ frac {- \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {P}} {| \ Delta \ mathbf {r} |}} \ operatorname {d} v}

Comparând această expresie cu cea a potențialului generat de o distribuție a sarcinii de suprafață și volum, se poate observa că polarizarea din dielectric este descrisă de o anumită densitate a sarcinii de polarizare a suprafeței. $\sigma _{p}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {p}}$ $\ sigma _ {p}$ și volumic $\rho _{p}$ ${\ displaystyle \ rho _ {p}}$ $\ rho _ {p}$ legat de vectorul de polarizare electrică prin: ^[4]

\sigma _{P}={\vec {P}}\cdot {\hat {n}}\qquad \rho _{P}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {P}

{\ displaystyle \ sigma _ {P} = {\ vec {P}} \ cdot {\ hat {n}} \ qquad \ rho _ {P} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {P}}

{\ displaystyle \ sigma _ {P} = {\ vec {P}} \ cdot {\ hat {n}} \ qquad \ rho _ {P} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {P}}

Prin urmare, polarizarea materialului se manifestă prin modificarea distribuției sarcinii asociate cu atomii și moleculele care alcătuiesc materialul în sine, care este sursa unui câmp suplimentar prezent în interiorul materialului. Acest lucru se datorează faptului că sub acțiunea unui câmp electric extern se generează sau se orientează dipolii microscopici prezenți în material, constând din sarcina electrică a atomilor sau moleculelor. Când un câmp extern separă spațial nucleul de norul de electroni al unui atom, se generează un dipol dintr-un obiect neutru, format din două sarcini egale în modul și opuse în semn. În mod similar, orientarea colectivă a dipolilor moleculari generează o distribuție regulată și nu mai aleatorie a sarcinii, care generează un câmp care nu este în medie zero.

Acțiunea unui câmp electric extern, prin urmare, generează un câmp suplimentar în interiorul materialului, datorită modificării distribuției sarcinii în material: dacă vectorul de polarizare este uniform, dipolii singuri se anulează reciproc și densitatea polarizării taxa este anulată. În această situație, sarcina de polarizare apare doar pe suprafața dielectricului.

Vectorul de polarizare este proporțional cu câmpul prezent local:

\mathbf {P} =n\alpha \mathbf {E} _{l}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = n \ alpha \ mathbf {E} _ {l}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = n \ alpha \ mathbf {E} _ {l}}

unde n este numărul mediu de molecule pe unitate de volum.

Polarizarea în gaze rarefiate

În substanțele gazoase, câmpul local este aproximativ cu câmpul macroscopic, adică efectul moleculelor schimbă puțin câmpul extern, în acest caz:

\mathbf {P} =n\alpha \mathbf {E} _{l}\approx n\alpha \mathbf {E} =\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = n \ alpha \ mathbf {E} _ {l} \ approx n \ alpha \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ chi \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = n \ alpha \ mathbf {E} _ {l} \ approx n \ alpha \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ chi \ mathbf {E}}

Parametrul $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ ia numele de susceptibilitate electrică și este valabil:

\chi ={\frac {n\alpha }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {n \ alpha} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {n \ alpha} {\ varepsilon _ {0}}}}

se poate arăta cu ușurință că $\chi =\varepsilon _{r}-1$ ${\ displaystyle \ chi = \ varepsilon _ {r} -1}$ ${\ displaystyle \ chi = \ varepsilon _ {r} -1}$ unde este $\varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ $\ varepsilon_r$ este constanta dielectrică relativă .

Lichide nepolare

Pentru lichidele nepolare se utilizează relația Lorentz între câmpul electric local și câmpul electric extern, cu aproximări adecvate: ^[5] .

\mathbf {E} _{l}=\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {P} }{3\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l} = \ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {P}} {3 \ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l} = \ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {P}} {3 \ varepsilon _ {0}}}}

\mathbf {P} =n\alpha \left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {P} }{3\varepsilon _{0}}}\right)=\left({\frac {n\alpha }{\left(1-{\frac {n\alpha }{3\varepsilon _{0}}}\right)}}\right)\mathbf {E} =\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = n \ alpha \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {P}} {3 \ varepsilon _ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {n \ alpha} {\ left (1 - {\ frac {n \ alpha} {3 \ varepsilon _ {0}}} \ right)}} \ right) \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ who \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = n \ alpha \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {P}} {3 \ varepsilon _ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {n \ alpha} {\ left (1 - {\ frac {n \ alpha} {3 \ varepsilon _ {0}}} \ right)}} \ right) \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ who \ mathbf {E}}

deci în acest caz:

\chi ={\frac {n\alpha }{\varepsilon _{0}\left(1-{\frac {n\alpha }{3\varepsilon _{0}}}\right)}}=\varepsilon _{r}-1

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {n \ alpha} {\ varepsilon _ {0} \ left (1 - {\ frac {n \ alpha} {3 \ varepsilon _ {0}}} \ right)}} = \ varepsilon _ {r} -1}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {n \ alpha} {\ varepsilon _ {0} \ left (1 - {\ frac {n \ alpha} {3 \ varepsilon _ {0}}} \ right)}} = \ varepsilon _ {r} -1}

Polarizarea în metale, semiconductori și solide cristaline în general

În interiorul metalelor, electronii de valență sunt, în general, liberi să se miște liber în interiorul solidului. Dacă metalul este scufundat într-un câmp electric, se formează o densitate a sarcinii de suprafață, astfel încât să protejeze câmpul extern și se observă un curent care curge în aceeași direcție a câmpului pentru o perioadă foarte scurtă de timp, după care metalul revine la starea anterioară perturbării, cu excepția suprafeței. Cantitatea de încărcare gratuită este de obicei astfel încât să protejeze orice câmp electric aplicat constant, iar polarizabilitatea electrică pentru metale este aproximativă la zero.

Pe de altă parte, materialele semiconductoare , la temperatura camerei, prezintă un comportament metalic pentru câmpurile electrice de intensitate redusă și un comportament dielectric pentru câmpurile electrice mai puternice. Constanta dielectrică pentru semiconductori este de obicei foarte mare: 13,8 pentru siliciu , aproximativ 14 pentru germaniu .

În cele din urmă, în solidele cristaline, legătura dintre vectorul de polarizare electrică și câmpul electric extern depinde și de direcția câmpului și, prin urmare, relația este cât se poate de generală: ^[6]

\mathbf {P} =\alpha \mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ alpha \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ alpha \ mathbf {E}}

Componentele cărora sunt:

{\begin{cases}P_{x}=\alpha _{11}E_{x}+\alpha _{12}E_{y}+\alpha _{13}E_{z}\\P_{y}=\alpha _{21}E_{x}+\alpha _{22}E_{y}+\alpha _{23}E_{z}\\P_{z}=\alpha _{31}E_{x}+\alpha _{32}E_{y}+\alpha _{33}E_{z}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} P_ {x} = \ alpha _ {11} E_ {x} + \ alpha _ {12} E_ {y} + \ alpha _ {13} E_ {z} \\ P_ { y} = \ alpha _ {21} E_ {x} + \ alpha _ {22} E_ {y} + \ alpha _ {23} E_ {z} \\ P_ {z} = \ alpha _ {31} E_ { x} + \ alpha _ {32} E_ {y} + \ alpha _ {33} E_ {z} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} P_ {x} = \ alpha _ {11} E_ {x} + \ alpha _ {12} E_ {y} + \ alpha _ {13} E_ {z} \\ P_ { y} = \ alpha _ {21} E_ {x} + \ alpha _ {22} E_ {y} + \ alpha _ {23} E_ {z} \\ P_ {z} = \ alpha _ {31} E_ { x} + \ alpha _ {32} E_ {y} + \ alpha _ {33} E_ {z} \ end {cases}}}

unde este:

||\alpha ||={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{31}&\alpha _{32}&\alpha _{33}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle || \ alpha || = {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {11} & \ alpha _ {12} & \ alpha _ {13} \\\ alpha _ {21} & \ alpha _ {22 } & \ alpha _ {23} \\\ alpha _ {31} & \ alpha _ {32} & \ alpha _ {33} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle || \ alpha || = {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {11} & \ alpha _ {12} & \ alpha _ {13} \\\ alpha _ {21} & \ alpha _ {22 } & \ alpha _ {23} \\\ alpha _ {31} & \ alpha _ {32} & \ alpha _ {33} \ end {bmatrix}}}

este tensorul de polarizare. Dacă elementele sale sunt constante, se spune că dielectricul este perfect , în timp ce dacă sunt reduse la un scalar, se numește izotrop .

Ecuațiile lui Maxwell pentru dielectrice

Același subiect în detaliu: ecuațiile lui Maxwell și vectorul de inducție electrică .

Introducerea densității de încărcare a polarizării $\rho _{P}$ ${\ displaystyle \ rho _ {P}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {P}}$ , prima dintre ecuațiile lui Maxwell, care exprimă forma locală a teoremei fluxului pentru câmpul electric, devine: ^[7]

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}(\rho _{E}+\rho _{P})={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}(\rho _{E}-\nabla \cdot \mathbf {P} )

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {E} + \ rho _ {P}) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {E} - \ nabla \ cdot \ mathbf {P})}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {E} + \ rho _ {P}) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {E} - \ nabla \ cdot \ mathbf {P})}

unde este $\rho _{E}$ ${\ displaystyle \ rho _ {E}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {E}}$ este densitatea sarcinilor libere (sau de deplasare ) și în al doilea pas a fost utilizată relația dintre densitatea volumetrică a sarcinii de polarizare și vectorul de polarizare. Prin urmare, avem:

\nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} )=\rho _{E}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}) = \ rho _ {E}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}) = \ rho _ {E}}

.

Argumentul operatorului diferențial este vectorul de inducție electrică, definit ca: ^[6]

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}

{\ mathbf {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} + {\ mathbf {P}}

Și prima ecuație a lui Maxwell ia forma:

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {E}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {E}}

Majoritatea materialelor izolante pot fi tratate ca un dielectric liniar omogen și izotrop, ceea ce înseamnă că există o relație liniară între dipolul indus în material și câmpul electric extern. Aceasta este o aproximare larg utilizată și, în acest caz, câmpurile $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ sunt echivalente cu mai puțin decât un factor de scară: ^[8]

\mathbf {D} =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E}}

{\ mathbf {D}} = \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}}

si in consecinta:

\mathbf {P} =(\varepsilon _{r}-1)\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = (\ varepsilon _ {r} -1) \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ chi \ mathbf {E}}

\ mathbf {P} = (\ varepsilon_r-1) \ varepsilon_0 \ mathbf {E} = \ varepsilon_ {0} \ chi \ mathbf {E}

Măreția $\varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ $\ varepsilon_r$ este constanta relativă dielectrică relativă și depinde de caracteristicile microscopice ale materialului, în timp ce:

\chi \ =\varepsilon _{r}-1

{\ displaystyle \ chi \ = \ varepsilon _ {r} -1}

\ chi \ = \ varepsilon_r - 1

este susceptibilitatea electrică . Adesea se introduce măreția $\varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0}}$ iar relația dintre câmpul electric și inducția electrică devine:

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E}}

Constanta dielectrică relativă (și, prin urmare, susceptibilitatea) poate fi măsurată empiric. Dacă materialul nu este omogen, liniar și izotrop, atunci $\varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ $\ varepsilon_r$ depinde de factori precum poziția în interiorul mediului, temperatura sau frecvența câmpului aplicat. În special, dacă materialul este omogen și anizotrop, constanta dielectrică devine o matrice, dacă nu este omogenă, coeficienții matricei sunt o funcție a poziției, iar dacă nu este liniar, constanta dielectrică depinde de câmpul electric și în general și la timp.

În domeniul frecvenței, pentru un mediu liniar și independent de timp există relația:

\mathbf {D(\omega )} =\varepsilon (\omega )\mathbf {E} (\omega )

{\ displaystyle \ mathbf {D (\ omega)} = \ varepsilon (\ omega) \ mathbf {E} (\ omega)}

{\ mathbf {D (\ omega)}} = \ varepsilon (\ omega) {\ mathbf {E}} (\ omega)

unde este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este frecvența câmpului.

Vectorul de polarizare pentru un mediu neliniar, nici omogen, nici izotrop, la rândul său, depinde de câmpul din tensorul de polarizare.

Dispersie electrică și permitivitate

Același subiect în detaliu: Permitivitatea electrică .

Într-un dielectric perfect pentru a descrie formarea unui dipol electric se presupune că sarcinile $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , constând din electroni sau ioni de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , sunt legați de atomi printr-o forță $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ tip armonic :

\mathbf {F} =-m\omega _{0}^{2}\mathbf {x} =-e\mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = -m \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} = -e \ mathbf {E}}

\ mathbf F = -m \ omega_0 ^ 2 \ mathbf x = - e \ mathbf E

unde este $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ frecvența de oscilație în jurul punctului de echilibru și $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ câmpul aplicat. Momentul dipolar electric indus este deci dat de relația:

\mathbf {p} =e\mathbf {x} ={\frac {e^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = e \ mathbf {x} = {\ frac {e ^ {2}} {m \ omega _ {0} ^ {2}}} \ mathbf {E}}

\ mathbf p = e \ mathbf x = \ frac {e ^ 2} {m \ omega_0 ^ 2} \ mathbf E

Acum, luați în considerare un câmp electric și un dielectric ne-ideal $\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}$ $\ mathbf E (\ mathbf x, t)$ oscilant, adică dependent de timp prin intermediul unui factor $e^{i\omega t}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ omega t}}$ $e ^ {i \ omega t}$ . Ecuația de mișcare a sarcinilor trebuie modificată pentru a lua în considerare efectele de amortizare, care sunt de obicei proporționale cu viteza prin intermediul unei constante de amortizare $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . Prin urmare, avem:

\mathbf {F} =m{\ddot {\mathbf {x} }}=-m\gamma {\dot {\mathbf {x} }}-m\omega _{0}^{2}\mathbf {x} -e\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = - m \ gamma {\ dot {\ mathbf {x}}} - m \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} -e \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}

\ mathbf F = m \ ddot \ mathbf x = -m \ gamma \ dot \ mathbf x -m \ omega_0 ^ 2 \ mathbf x - e \ mathbf E (\ mathbf x, t)

iar ecuația mișcării ia deci forma: ^[9]

m[{\ddot {\mathbf {x} }}+\gamma {\dot {\mathbf {x} }}+\omega _{0}^{2}\mathbf {x} ]=-e\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)

{\ displaystyle m [{\ ddot {\ mathbf {x}}} + \ gamma {\ dot {\ mathbf {x}}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x}] = - și \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}

m [\ ddot \ mathbf x + \ gamma \ dot \ mathbf x + \ omega_0 ^ 2 \ mathbf x] = - e \ mathbf E (\ mathbf x, t)

Mulțumită dependenței $e^{i\omega t}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ omega t}}$ $e ^ {i \ omega t}$ a câmpului se poate pune $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}e^{i\omega t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} _ {0} e ^ {i \ omega t}}$ $\ mathbf x = \ mathbf x_0 e ^ {i \ omega t}$ . Prin inserarea derivatelor de $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în ecuația mișcării obținem:

\mathbf {x} ={\frac {e}{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega \gamma )}}\mathbf {E} \qquad \mathbf {p} =-e\mathbf {x} ={\frac {e^{2}}{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega \gamma )}}\mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ frac {e} {m (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega \ gamma)}} \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {p} = -e \ mathbf {x} = {\ frac {e ^ {2}} {m (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega \ gamma)}} \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ frac {e} {m (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega \ gamma)}} \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {p} = -e \ mathbf {x} = {\ frac {e ^ {2}} {m (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega \ gamma)}} \ mathbf {E}}

Să presupunem că există $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ molecule pe unitate de volum cu $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ electroni fiecare și presupunem că pentru fiecare moleculă există $f_{j}$ ${\ displaystyle f_ {j}}$ $f_ {j}$ electroni pe moleculă legați de o forță armonică cu frecvența $\omega _{j}$ ${\ displaystyle \ omega _ {j}}$ $\ omega_j$ și constanta de amortizare $\gamma _{j}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {j}}$ $\ gamma_j$ . În această situație, permitivitatea electrică este dată de: ^[10]

{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}=1+\chi _{e}=1+{\frac {Ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\sum _{j}{\frac {f_{j}}{\omega _{j}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}\qquad \sum _{j}f_{j}=Z

{\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon _ {0}}} = 1+ \ chi _ {e} = 1 + {\ frac {Ne ^ {2}} {\ varepsilon _ { 0} m}} \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j}} {\ omega _ {j} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega _ {j} \ gamma}} \ qquad \ sum _ {j} f_ {j} = Z}

{\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon _ {0}}} = 1+ \ chi _ {e} = 1 + {\ frac {Ne ^ {2}} {\ varepsilon _ { 0} m}} \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j}} {\ omega _ {j} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega _ {j} \ gamma}} \ qquad \ sum _ {j} f_ {j} = Z}

Se remarcă faptul că în materialele conductoare frecvența $\omega =0$ ${\ displaystyle \ omega = 0}$ $\ omega = 0$ este rezonant. Valoarea a $\varepsilon (\omega )$ ${\ displaystyle \ varepsilon (\ omega)}$ $\ varepsilon (\ omega)$ este de obicei real, cu excepția intervalului apropiat de frecvențele rezonante, unde partea reală a numitorului se apropie de zero.

Dispersia normală este definită ca dispersia într-o regiune a spectrului departe de frecvențele rezonante, în care partea reală a $\varepsilon (\omega )$ ${\ displaystyle \ varepsilon (\ omega)}$ $\ varepsilon (\ omega)$ crește odată cu creșterea $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ .
O dispersie anormală este definită ca dispersia în vecinătatea frecvențelor rezonante, în care partea reală a $\varepsilon (\omega )$ ${\ displaystyle \ varepsilon (\ omega)}$ $\ varepsilon (\ omega)$ scade pe măsură ce $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ . În acest caz, partea imaginară a $\varepsilon (\omega )$ ${\ displaystyle \ varepsilon (\ omega)}$ $\ varepsilon (\ omega)$ este semnificativ și reprezintă energia pe care mediul o dă materialului. Acest fenomen se numește absorbție rezonantă.

Cauzalitate

Polarizarea unui material ca răspuns la un câmp electric nu este, în general, instantanee. Faptul că permitivitatea electrică depinde de frecvență implică relația dintre câmpuri $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ , dat de:

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,\omega )=\varepsilon (\omega )\mathbf {E} (\mathbf {x} ,\omega )

{\ displaystyle \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, \ omega) = \ varepsilon (\ omega) \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, \ omega)}

\ mathbf D (\ mathbf x, \ omega) = \ varepsilon (\ omega) \ mathbf E (\ mathbf x, \ omega)

este temporar nelocal. Luând în considerare reprezentarea prin intermediul transformatei Fourier :

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {D} (\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}d\omega \qquad \mathbf {D} (\mathbf {x} ,\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t')e^{i\omega t'}dt'

{\ displaystyle \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf { D} (\ mathbf {x}, \ omega) și ^ {- i \ omega t} d \ omega \ qquad \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, \ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, t ') și ^ {i \ omega t'} dt '}

\ mathbf D (\ mathbf x, t) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf D (\ mathbf x, \ omega) e ^ {-i \ omega t} d \ omega \ qquad \ mathbf D (\ mathbf x, \ omega) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf D (\ mathbf x, t ') și ^ {i \ omega t'} dt '

și inserându-l în relația anterioară împreună cu reprezentarea Fourier analogă pentru $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ obținem, presupunând că putem inversa ordinea integrării: ^[11]

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)=\varepsilon _{0}\left[\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)+\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t')\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t-t')dt'\right]

{\ displaystyle \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, t) = \ varepsilon _ {0} \ left [\ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (t ') \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t-t') dt '\ right]}

\ mathbf D (\ mathbf x, t) = \ varepsilon_0 \ left [\ mathbf E (\ mathbf x, t) + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (t ') \ mathbf E ( \ mathbf x, t-t ') dt' \ dreapta]

unde este $\chi (t')$ ${\ displaystyle \ chi (t ')}$ $\ chi (t ')$ este transformata Fourier a $\chi (\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega)}$ $\ chi (\ omega)$ :

\chi (t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\omega )e^{-i\omega t'}d\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}-1\right)e^{-i\omega t'}d\omega

{\ displaystyle \ chi (t ') = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (\ omega) e ^ {- i \ omega t' } d \ omega = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon _ {0 }}} - 1 \ right) și ^ {- i \ omega t '} d \ omega}

\ chi (t ') = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (\ omega) e ^ {- i \ omega t'} d \ omega = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon_0} -1 \ right) și ^ {- i \ omega t '} d \ omega

Câmpurile $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ și $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ sunt deci o funcție a $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în două timpuri diferite, ca câmp care se manifestă în materialul din acel moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ca urmare a polarizării atomice și moleculare depinde de câmpul extern $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ într-un moment diferit din timp.

Luați în considerare un model de permitivitate electrică în care există o singură frecvență de rezonanță. În acest context, avem:

{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}=1+\chi _{e}=1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}

{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}=1+\chi _{e}=1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}

\frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} = 1 + \chi_e = 1 + \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \omega_j \gamma}

La trasformata della suscettività elettrica assume in tal caso la forma: ^[12]

\chi (t')={\frac {\omega _{p}^{2}}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-i\omega t'}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}d\omega =\omega _{p}^{2}e^{-{\frac {\gamma t'}{2}}}{\frac {\sin(\nu _{0}t')}{\nu _{0}}}\theta (t')\qquad \nu _{0}^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{4}}

\chi (t')={\frac {\omega _{p}^{2}}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-i\omega t'}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}d\omega =\omega _{p}^{2}e^{-{\frac {\gamma t'}{2}}}{\frac {\sin(\nu _{0}t')}{\nu _{0}}}\theta (t')\qquad \nu _{0}^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{4}}

\chi (t')={\frac {\omega _{p}^{2}}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-i\omega t'}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}d\omega =\omega _{p}^{2}e^{-{\frac {\gamma t'}{2}}}{\frac {\sin(\nu _{0}t')}{\nu _{0}}}\theta (t')\qquad \nu _{0}^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{4}}

dove $\theta (t')$ $\theta (t')$ $\theta(t')$ è la funzione gradino . La funzione $\chi (t')$ $\chi (t')$ $\chi(t')$ oscilla con uno smorzamento dato dal termine esponenziale, in cui compare la costante di smorzamento della forza armonica che agisce sulle cariche. La presenza della funzione gradino garantisce il rispetto del principio di causalità, poiché annulla $\chi (t')$ $\chi (t')$ $\chi(t')$ per tempi negativi. Si giunge in questo modo all'espressione più generale che lega i campi $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf D$ ed $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf E$ in un mezzo uniforme ed isotropo: ^[13]

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)=\varepsilon _{0}\left[\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)+\int _{0}^{\infty }\chi (t')\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t-t')dt'\right]

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)=\varepsilon _{0}\left[\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)+\int _{0}^{\infty }\chi (t')\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t-t')dt'\right]

\mathbf D (\mathbf x , t) = \varepsilon_0 \left[ \mathbf E (\mathbf x , t) + \int_{0}^{\infty} \chi(t') \mathbf E (\mathbf x , t-t')dt' \right]

dove l'integrazione avviene a partire da $t'=0$ ${\displaystyle t'=0}$ $t'=0$ . Si tratta di una relazione causale, spazialmente locale e lineare.

La permittività elettrica è espressa attraverso la relazione:

{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}=1+\int _{0}^{\infty }\chi (t')e^{i\omega t'}dt'

{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}=1+\int _{0}^{\infty }\chi (t')e^{i\omega t'}dt'

\frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} = 1 + \int_{0}^{\infty} \chi(t')e^{i \omega t'}dt'

dalla quale si evince che se la suscettività è finita ad ogni tempo e si annulla ad un tempo infinito, allora la permittività elettrica è una funzione analitica nel semipiano superiore del piano complesso . Tali caratteristiche permettono ad ${\widehat {\varepsilon }}(\omega )$ ${\widehat {\varepsilon }}(\omega )$ $\widehat{\varepsilon}(\omega)$ di soddisfare le relazioni di Kramers-Kronig : ^[14]

\Re \left[{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}\right]=1+{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Im \left({\frac {\varepsilon (\omega ')}{\varepsilon _{0}}}\right)}{\omega '-\omega }}d\omega '\qquad \Im \left[{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}\right]=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Re \left({\frac {\varepsilon (\omega ')}{\varepsilon _{0}}}\right)-1}{\omega '-\omega }}d\omega '

\Re \left[{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}\right]=1+{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Im \left({\frac {\varepsilon (\omega ')}{\varepsilon _{0}}}\right)}{\omega '-\omega }}d\omega '\qquad \Im \left[{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}\right]=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Re \left({\frac {\varepsilon (\omega ')}{\varepsilon _{0}}}\right)-1}{\omega '-\omega }}d\omega '

\Re \left[\frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} \right] = 1 + \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Im \left(\frac{\varepsilon (\omega')}{\varepsilon_0} \right)}{\omega' - \omega} d\omega' \qquad \Im \left[\frac{\varepsilon (\omega)}{\varepsilon_0} \right] = - \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Re \left( \frac{\varepsilon (\omega')}{\varepsilon_0}\right) - 1 }{\omega' - \omega} d\omega'

dove ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ denota il valore principale di Cauchy . La parte reale caratterizza l'energia immagazzinata nel mezzo, mentre la parte immaginaria descrive la dissipazione di energia nel mezzo . In particolare, se la parte immaginaria di è positiva il campo cede energia al materiale, mentre se è negativa è il mezzo a fornire energia al campo.

Il vettore di polarizzazione risulta pertanto essere una funzione dipendente dal tempo:

\mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}\chi (t-t')\mathbf {E} (t')\,dt'

\mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}\chi (t-t')\mathbf {E} (t')\,dt'

\mathbf{P}(t)=\varepsilon_0 \int_{-\infty}^t \chi(t-t') \mathbf{E}(t')\, dt'

Tale definizione è generale, in quanto tiene conto della non-località della relazione tra $\mathbf {P}$ $\mathbf {P}$ $\mathbf{P}$ ed $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf{E}$ : la polarizzazione è la convoluzione del campo elettrico a tempi precedenti con la suscettività dipendente dal tempo $\chi (t-t')$ $\chi (t-t')$ $\chi(t-t')$ .

In un sistema lineare è conveniente considerare la trasformata di Fourier e scrivere la precedente relazione nel dominio della frequenza, nel quale per il teorema di convoluzione il prodotto di convoluzione di due funzioni viene espresso con il prodotto semplice delle rispettive trasformate:

\mathbf {P} (\omega )=\varepsilon _{0}\chi (\omega )\mathbf {E} (\omega )

\mathbf {P} (\omega )=\varepsilon _{0}\chi (\omega )\mathbf {E} (\omega )

\mathbf{P}(\omega)=\varepsilon_0 \chi(\omega) \mathbf{E}(\omega)

La dipendenza dalla frequenza della suscettività determina la dipendenza dalla frequenza della permittività, e l'andamento della suscettività rispetto alla frequenza caratterizza le proprietà dispersive del materiale.

Note

^ ^a ^b C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 1998, ISBN 978-88-207-1633-2 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 134 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 136 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 137 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 140 .
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 142 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 141 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 143 .
^ Jackson , Pag. 309 .
^ Jackson , Pag. 310 .
^ Jackson , Pag. 330 .
^ Jackson , Pag. 331 .
^ Jackson , Pag. 332 .
^ Jackson , Pag. 334 .

Bibliografia

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) John D Jackson, Classical Electrodynamics , 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su polarizzazione elettrica

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 39835 · GND ( DE ) 4295347-9

Portale Elettromagnetismo

Portale Fisica

[Mencuccini-1] C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 1998, ISBN 978-88-207-1633-2 .

[2] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 134 .

[3] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 136 .

[4] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 137 .

[5] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 140 .

[pol-6] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 142 .

[7] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 141 .

[8] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 143 .

[9] Jackson , Pag. 309 .

[10] Jackson , Pag. 310 .

[11] Jackson , Pag. 330 .

[12] Jackson , Pag. 331 .

[13] Jackson , Pag. 332 .

[14] Jackson , Pag. 334 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]