Relația Kramers-Kronig

În matematică și fizică , relația Kramers-Kronig leagă părțile reale și imaginare ale unei funcții analitice complexe și poartă numele lui Hendrik Anthony Kramers și Ralph Kronig .

Relația Kramers-Kronig are numeroase aplicații în fizică. Una dintre principalele se află în contextul studiului materialelor dispersive, deoarece indicele de refracție exprimat în funcție de lungimea de undă este o funcție analitică , iar partea sa reală (care descrie fenomenul dispersiei ) și partea sa imaginară (care descrie fenomenul absorbției ) sunt legate de relația Kramers-Kronig. Acest lucru permite derivarea tendinței de dispersie prin măsurători de absorbție care sunt mult mai ușor de efectuat. În special, relația Kramers-Kronig stabilește că absorbția este inevitabilă în orice mediu care prezintă dispersie și invers.

Relația Kramers-Kronig este adesea utilizată pentru a raporta partea reală și partea imaginară a funcției de transfer a unui sistem cauzal , deoarece cauzalitatea implică faptul că condiția analiticității este satisfăcută și invers. De exemplu, funcțiile verzi cauzale (adică funcțiile care propagă o anumită cantitate respectând principiul cauzalității) sunt funcții analitice complexe în semiplanul superior și, prin urmare, partea lor reală este legată de partea lor imaginară de relația Kramers-Kronig. ^[1]

Definiție

Este $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega) = \ chi _ {1} (\ omega) + i \ chi _ {2} (\ omega)}$ $\ chi (\ omega) = \ chi_1 (\ omega) + i \ chi_2 (\ omega)$ o funcție complexă a unei variabile complexe $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , cu $\chi _{1}(\omega )$ ${\ displaystyle \ chi _ {1} (\ omega)}$ $\ chi_1 (\ omega)$ Și $\chi _{2}(\omega )$ ${\ displaystyle \ chi _ {2} (\ omega)}$ $\ chi_2 (\ omega)$ numere reale. Asuma ca $\chi (\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega)}$ $\ chi (\ omega)$ este analitic în jumătatea superioară a planului $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ și că se anulează mai repede decât $1/|\omega |$ ${\ displaystyle 1 / | \ omega |}$ $1 / | \ omega |$ pentru $|\omega |\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle | \ omega | \ rightarrow \ infty}$ $| \ omega | \ rightarrow \ infty$ .

Relațiile Kramers-Kronig au forma: ^[2]

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

{\ displaystyle \ chi _ {1} (\ omega) = {1 \ over \ pi} {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} { \ chi _ {2} (\ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '}

\ chi_1 (\ omega) = {1 \ over \ pi} \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty {\ chi_2 (\ omega ') \ over \ omega '- \ omega} \, d \ omega'

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

{\ displaystyle \ chi _ {2} (\ omega) = - {1 \ over \ pi} {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ chi _ {1} (\ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '}

\ chi_2 (\ omega) = - {1 \ over \ pi} \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty {\ chi_1 (\ omega ') \ over \ omega '- \ omega} \, d \ omega'

unde este ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ denotă valoarea principală a lui Cauchy .

Partea reală și imaginară nu sunt independente una de cealaltă și întreaga funcție poate fi construită pornind de la oricare dintre ele.

Derivare

Având o funcție analitică complexă (cel puțin într-o jumătate de plan) $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , ia în considerare partea reală $f_{r}(x)$ ${\ displaystyle f_ {r} (x)}$ $f_r (x)$ . Transformata Fourier a $f_{r}(x)$ ${\ displaystyle f_ {r} (x)}$ $f_r (x)$ este dat de:

F_{r}(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{ikx}f_{r}(x)\,dx

{\ displaystyle F_ {r} (k) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {ikx} f_ {r} (x) \, dx}

F_r (k) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {ikx} f_r (x) \, dx

Deoarece funcția este analitică, partea imaginară a $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este continuarea analitică a părții reale și, prin urmare:

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ikx}F_{r}(k)\,dk={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-ikx}(1+\operatorname {sgn} k)F_{r}(k)\,dk

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- ikx} F_ {r} (k ) \, dk = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ikx} (1+ \ operatorname {sgn} k) F_ { r} (k) \, dk}

f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- ikx} F_r (k) \, dk = \ frac { 1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- ikx} (1 + \ sgn k) F_r (k) \, dk

A doua egalitate este adevărată deoarece transformata Fourier a unei funcții reale este simetrică , unde $\operatorname {sgn} k$ ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} k}$ $\ sgn k$ merită -1 dacă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este negativ, +1 dacă este pozitiv și 0 dacă $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ . Deci, scriind cu ${\mathcal {F}}^{-1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$ ${\ mathcal {F}} ^ {{- 1}}$ antitransforma Fourier, avem:

f(x)={\mathcal {F}}^{-1}[(1+\operatorname {sgn} k)F_{r}(k)]={\mathcal {F}}^{-1}[F_{r}(k)]+{\mathcal {F}}^{-1}[\operatorname {sgn} k\,F_{r}(k)]

{\ displaystyle f (x) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [(1+ \ operatorname {sgn} k) F_ {r} (k)] = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [F_ {r} (k)] + {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [\ operatorname {sgn} k \, F_ {r} (k)]}

f (x) = \ mathcal {F} ^ {- 1} [(1 + \ sgn k) F_r (k)] = \ mathcal {F} ^ {- 1} [F_r (k)] + \ mathcal {F } ^ {- 1} [\ sgn k \, F_r (k)]

Folosind teorema convoluției, putem rescrie ultimul termen ca funcție a unui produs al convoluției :

f(x)={\mathcal {F}}^{-1}[F_{r}(k)]+{\mathcal {F}}^{-1}[\operatorname {sgn} kF_{r}(k)]={\mathcal {F}}^{-1}[F_{r}(k)]+{\mathcal {F}}^{-1}[\operatorname {sgn}(k)]\otimes {\mathcal {F}}^{-1}[F_{r}(k)]=

{\ displaystyle f (x) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [F_ {r} (k)] + {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [\ operatorname {sgn} kF_ { r} (k)] = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [F_ {r} (k)] + {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [\ operatorname {sgn} (k) ] \ otimes {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [F_ {r} (k)] =}

f (x) = \ mathcal {F} ^ {- 1} [F_r (k)] + \ mathcal {F} ^ {- 1} [\ sgn k F_r (k)] = \ mathcal {F} ^ {- 1} [F_r (k)] + \ mathcal {F} ^ {- 1} [\ sgn (k)] \ otimes \ mathcal {F} ^ {- 1} [F_r (k)] =

={\mathcal {F}}^{-1}[F_{r}(k)]-{\frac {i}{\pi x}}\otimes {\mathcal {F}}^{-1}[F_{r}(k)]

{\ displaystyle = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [F_ {r} (k)] - {\ frac {i} {\ pi x}} \ otimes {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [F_ {r} (k)]}

= \ mathcal {F} ^ {- 1} [F_r (k)] - \ frac {i} {\ pi x} \ otimes \ mathcal {F} ^ {- 1} [F_r (k)]

și, prin urmare, avem:

f(x)=f_{r}(x)+{\frac {i}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {f_{r}(z)}{z-x}}\,dz

{\ displaystyle f (x) = f_ {r} (x) + {\ frac {i} {\ pi}} {\ mathcal {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {f_ {r} (z)} {zx}} \, dz}

f (x) = f_r (x) + \ frac {i} {\ pi} \ mathcal {P} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f_r (z)} {zx} \ , dz

unde este ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ indică faptul că trebuie luată valoarea principală Cauchy a integralei .

Apoi obținem acea parte reală $f_{r}(x)$ ${\ displaystyle f_ {r} (x)}$ $f_r (x)$ iar partea imaginară $f_{i}(x)$ ${\ displaystyle f_ {i} (x)}$ $f_i (x)$ a funcției $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ sunt legate printr-o transformare Hilbert :

f_{i}(x)={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {f_{r}(z)}{z-x}}\,dz

{\ displaystyle f_ {i} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ mathcal {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {f_ {r } (z)} {zx}} \, dz}

f_i (x) = \ frac {1} {\ pi} \ mathcal {P} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f_r (z)} {z-x} \, dz

Derivarea prin calculul reziduurilor

Același subiect în detaliu: reziduuri (analize complexe) .

Limita de integrare utilizată în derivarea relațiilor Kramers - Kronig.

Relațiile Kramers-Kronig pot fi obținute și prin aplicarea teoremei reziduale pentru integrare complexă . Având o funcție analitică $\chi (\omega ')$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega ')}$ $\ chi (\ omega ')$ în semiplanul superior, pt $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ funcția este de asemenea reală $\chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega ') / (\ omega' - \ omega)}$ $\ chi (\ omega ') / (\ omega' - \ omega)$ este analitic în același semiplan. Aplicarea teoremei reziduale:

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0

{\ displaystyle \ oint {\ chi (\ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '= 0}

\ oint {\ chi (\ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '= 0

care se menține pentru orice curbă închisă din acea regiune. Se alege o graniță a regiunii de integrare care se suprapune axei reale, cu excepția polului din $\omega =\omega '$ ${\ displaystyle \ omega = \ omega '}$ $\ omega = \ omega '$ , care este înconjurat așa cum se arată în figură și se întinde pe tot parcursul semiplanului. Prin descompunerea integralei astfel încât să se evidențieze separat contribuția de-a lungul celor trei părți ale căii de integrare, lungimea segmentului la infinit crește proporțional cu $|\omega '|$ ${\ displaystyle | \ omega '|}$ ${\ displaystyle | \ omega '|}$ , dar integrala sa este anulată când $\chi (\omega ')$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega ')}$ $\ chi (\ omega ')$ se anulează mai repede decât $1/|\omega '|$ ${\ displaystyle 1 / | \ omega '|}$ ${\ displaystyle 1 / | \ omega '|}$ . Segmentul care se suprapune peste axa reală și curba care înconjoară polul rămân și, prin urmare, integralul devine: ^[3]

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0

{\ displaystyle \ oint {\ chi (\ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '= {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ chi (\ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '-i \ pi \ chi (\ omega) = 0}

\ oint {\ chi (\ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '= \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty {\ chi (\ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '- i \ pi \ chi (\ omega) = 0

unde al doilea termen este obținut folosind teoria calculului rezidual. ^[4] Rescriind relația anterioară obținem forma compactă a relațiilor Kramers - Kronig:

\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

{\ displaystyle \ chi (\ omega) = {1 \ over i \ pi} {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ chi ( \ omega ') \ over \ omega' - \ omega} \, d \ omega '}

\ chi (\ omega) = {1 \ over i \ pi} \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty {\ chi (\ omega ') \ over \ omega '- \ omega} \, d \ omega'

unde este $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ numitorul se referă la legătura dintre componentele reale și imaginare. Prin separare $\chi (\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega)}$ $\ chi (\ omega)$ iar ecuația din părțile reale și imaginare dă forma explicită a relațiilor.

Interpretarea fizică

Același subiect în detaliu: funcția de transfer și sistemul cauzal .

În fizică, o funcție de răspuns $\chi (t-t')$ ${\ displaystyle \ chi (t-t ')}$ $\ chi (t-t ')$ descrie modul în care o proprietate dată $P(t)$ ${\ displaystyle P (t)}$ $P (t)$ la momentul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ unui sistem fizic variază ca urmare a unei forțe $F(t')$ ${\ displaystyle F (t ')}$ $F (t ')$ aplicat la timp $t^{'}$ ${\ displaystyle t '}$ $nu$ .

Luați în considerare un sistem fizic care este supus unui stres $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ răspunde cu o funcție $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ în general dependent de valoarea $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ atât la vremea respectivă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ decât în vremurile anterioare. Functia $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este o sumă ponderată a valorilor anterioare ale $h(t')$ ${\ displaystyle h (t ')}$ $h (t ')$ pentru funcția de răspuns liniar $\chi (t-t')$ ${\ displaystyle \ chi (t-t ')}$ $\ chi (t-t ')$ :

x(t)\approx \int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (t-t')h(t')

{\ displaystyle x (t) \ approx \ int _ {- \ infty} ^ {t} dt '\, \ chi (t-t') h (t ')}

x (t) \ approx \ int _ {- \ infty} ^ t dt '\, \ chi (t-t') h (t ')

Acesta este primul termen al expansiunii seriale Volterra . Funcția de răspuns este o funcție nulă pentru $t<t'$ ${\ displaystyle t <t '}$ $t <t '$ , deoarece este un timp înainte de aplicarea forței. Se poate arăta, prin teorema lui Titchmarsh, că această condiție cauzală implică transformarea Fourier $\chi (\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega)}$ $\ chi (\ omega)$ este o funcție analitică în jumătatea superioară a planului complex. ^[5]

Dacă sistemul este supus unei forțe oscilante în timp la o frecvență mult mai mare decât cea mai mare frecvență rezonantă, răspunsul sistemului nu are timp să se manifeste înainte ca forța să își schimbe semnificativ direcția. În consecință, $\chi (\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega)}$ $\ chi (\ omega)$ dispare ca $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ . Pentru a descrie acest fenomen, formalismul Kramers - Kronig este aplicat funcției $\chi (\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega)}$ $\ chi (\ omega)$ .

Energia disipată de sistem este descrisă prin schimbarea de fază a părții imaginare a funcției de răspuns în raport cu forța aplicată. Relațiile Kramers - Kronig implică faptul că cunoașterea acestei disipări permite determinarea răspunsului de fază al sistemului și că, dimpotrivă, cunoașterea acestuia din urmă permite studierea fenomenelor disipative.

În multe sisteme fizice, răspunsul la frecvențe pozitive ne permite să cunoaștem răspunsul la frecvențe negative, așa cum $\chi (\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega)}$ $\ chi (\ omega)$ este transformarea funcției reale $\chi (t-t')$ ${\ displaystyle \ chi (t-t ')}$ $\ chi (t-t ')$ , asa de $\chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (- \ omega) = \ chi ^ {*} (\ omega)}$ $\ chi (- \ omega) = \ chi ^ * (\ omega)$ . Acest lucru permite depășirea dificultății impuse de evaluarea integralelor dintre $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ Și $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , care ar necesita cunoașterea răspunsului la frecvențe negative și implică acest lucru $\chi _{1}(\omega )$ ${\ displaystyle \ chi _ {1} (\ omega)}$ $\ chi_1 (\ omega)$ este o funcție egală în timp ce $\chi _{2}(\omega )$ ${\ displaystyle \ chi _ {2} (\ omega)}$ $\ chi_2 (\ omega)$ e ciudat.

Acest lucru face posibilă restricționarea domeniului de integrare la interval $[0,\infty ]$ ${\ displaystyle [0, \ infty]}$ $[0, \ infty]$ . Având în vedere prima relație, care oferă partea reală a $\chi _{1}(\omega )$ ${\ displaystyle \ chi _ {1} (\ omega)}$ $\ chi_1 (\ omega)$ , înmulțiți numărătorul și numitorul integrandului cu $\omega '+\omega$ ${\ displaystyle \ omega '+ \ omega}$ $\ omega '+ \ omega$ pentru a obține o funcție de paritate definită:

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega  \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '

{\ displaystyle \ chi _ {1} (\ omega) = {1 \ over \ pi} {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} { \ omega '\ chi _ {2} (\ omega') \ over \ omega '^ {2} - \ omega ^ {2}} \, d \ omega' + {\ omega \ over \ pi} {\ mathcal { P}} \! \! \! \ Int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ chi _ {2} (\ omega ') \ over \ omega' ^ {2} - \ omega ^ { 2}} \, d \ omega '}

\ chi_1 (\ omega) = {1 \ over \ pi} \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty {\ omega '\ chi_2 (\ omega') \ over \ omega '^ 2 - \ omega ^ 2} \, d \ omega' + {\ omega \ over \ pi} \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty {\ chi_2 (\ omega ') \ over \ omega' ^ 2 - \ omega ^ 2} \, d \ omega '

De cand $\chi _{2}(\omega )$ ${\ displaystyle \ chi _ {2} (\ omega)}$ $\ chi_2 (\ omega)$ este o funcție ciudată, a doua integrală dispare și obținem:

\chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '

{\ displaystyle \ chi _ {1} (\ omega) = {2 \ over \ pi} {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} {\ omega '\ chi _ {2} (\ omega') \ over \ omega '^ {2} - \ omega ^ {2}} \, d \ omega'}

\ chi_1 (\ omega) = {2 \ over \ pi} \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} {\ omega '\ chi_2 (\ omega') \ over \ omega '^ 2 - \ omega ^ 2} \, d \ omega'

Prin aceeași procedură pentru partea imaginară avem:

\chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega  \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '

{\ displaystyle \ chi _ {2} (\ omega) = - {2 \ over \ pi} {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} {\ omega \ chi _ {1} (\ omega ') \ over \ omega' ^ {2} - \ omega ^ {2}} \, d \ omega '= - {2 \ omega \ over \ pi} {\ mathcal { P}} \! \! \! \ Int \ limits _ {0} ^ {\ infty} {\ chi _ {1} (\ omega ') \ over \ omega' ^ {2} - \ omega ^ {2} } \, d \ omega '}

\ chi_2 (\ omega) = - {2 \ over \ pi} \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} {\ omega \ chi_1 (\ omega ') \ over \ omega' ^ 2 - \ omega ^ 2} \, d \ omega '= - {2 \ omega \ over \ pi} \ mathcal {P} \! \! \! \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} {\ chi_1 (\ omega ') \ over \ omega' ^ 2 - \ omega ^ 2} \, d \ omega '

Au fost astfel obținute relațiile Kramers-Kronig adecvate funcției de răspuns ale unui sistem fizic.

Notă

^ John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations , în Physical Review , vol. 104, 1956, pp. 1760–1770, Bibcode : 1956PhRv..104.1760T , DOI : 10.1103 / PhysRev.104.1760 .
^ Jackson , pagina 334 .
^ Jackson , pagina 333 .
^ G. Arfken, Metode matematice pentru fizicieni , Orlando, Academic Press, 1985, ISBN 0-12-059877-9 .
^ Jackson , pagina 332 .

Bibliografie

( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
( EN ) Valerio Lucarini, Jarkko J. Saarinen, Kai-Erik Peiponen, Kramers-Kronig relations in Optical Materials Research , Springer, 2005, ISBN 3-540-23673-2 .

Elemente conexe

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations , în Physical Review , vol. 104, 1956, pp. 1760–1770, Bibcode : 1956PhRv..104.1760T , DOI : 10.1103 / PhysRev.104.1760 .

[2] Jackson , pagina 334 .

[3] Jackson , pagina 333 .

[4] G. Arfken, Metode matematice pentru fizicieni , Orlando, Academic Press, 1985, ISBN 0-12-059877-9 .

[5] Jackson , pagina 332 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]