Inducție electrică

În fizică , inducția electrică , numită și deplasare electrică , este un câmp vector utilizat în electromagnetism pentru a descrie polarizarea electrică a unui material dielectric în urma aplicării unui câmp electric . Este o generalizare a câmpului electric utilizat în ecuațiile lui Maxwell pentru a descrie efectul sarcinilor de polarizare asupra configurației spațiale și temporale a câmpului electromagnetic .

Definiție

Inducția electrică este definită ca vectorul $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ astfel încât: ^[1]

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}

{\ mathbf {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} + {\ mathbf {P}}

unde este $\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ $\ varepsilon_0$ este constanta dielectrică a vidului , $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ câmpul electric e $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ mathbf P$ vectorul de polarizare electrică care este generat în material.

În sistemul internațional de unități, vectorul de inducție electrică este măsurat în coulombi pe metru pătrat.

Polarizarea în materiale

Același subiect în detaliu: polarizarea electrică .

Efectul polarizării electrice poate fi descris prin urmărirea polarizării dipolilor microscopici la o cantitate vectorială macroscopică, care descrie comportamentul global al materialului supus prezenței unui câmp electric extern. Vectorul intensității polarizării , numit și vectorul polarizării electrice , este indicat de $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ ${\ mathbf P}$ , este dipolul electric pe unitate de volum pe care îl posedă materialul, definit ca media valorii medii a momentului electric adecvat $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ din $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particule conținute într-un volum infinitesimal $\operatorname {d} V$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} V}$ $\ operatorname dV$ , se exprimă prin relația: ^[2]

\mathbf {P} =\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta N}{\Delta V}}\langle \mathbf {p} \rangle =\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{\Delta N}{\mathbf {p} _{i}}}{\Delta V}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} {\ frac {\ Delta N} {\ Delta V}} \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {\ Delta N} {\ mathbf {p} _ {i}}} {\ Delta V}}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} {\ frac {\ Delta N} {\ Delta V}} \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {\ Delta N} {\ mathbf {p} _ {i}}} {\ Delta V}}}

În definiție, limita se aplică unui volum care conține un număr semnificativ de atomi, astfel încât să poată calcula o proprietate medie.
Polarizarea în dielectric este descrisă de o anumită densitate a sarcinii de polarizare a suprafeței $\sigma _{p}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {p}}$ $\ sigma _ {p}$ și volumic $\rho _{p}$ ${\ displaystyle \ rho _ {p}}$ $\ rho _ {p}$ legat de vectorul de polarizare electrică prin: ^[3]

\sigma _{p}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {n} \qquad \rho _{p}=-\operatorname {div} \mathbf {P} =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {P}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {n} \ qquad \ rho _ {p} = - \ operatorname {div} \ mathbf {P} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {P}}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {n} \ qquad \ rho _ {p} = - \ operatorname {div} \ mathbf {P} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {P}}

Unde

\mathbf {n}

{\ displaystyle \ mathbf {n}}

\ mathbf {n}

este vectorul unitar normal la suprafața considerată, cu o direcție care iese din dielectric.

Prin urmare, polarizarea materialului se manifestă prin modificarea distribuției sarcinii asociate atomilor și moleculelor care alcătuiesc materialul în sine, care modifică câmpul electric prezent în interiorul materialului.
Introducerea densității de încărcare a polarizării $\rho _{p}$ ${\ displaystyle \ rho _ {p}}$ $\ rho _ {p}$ , prima dintre ecuațiile lui Maxwell, care exprimă forma locală a teoremei fluxului pentru câmpul electric, devine: ^[4]

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}(\rho _{f}+\rho _{p})={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {f} + \ rho _ {p}) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {f} - \ nabla \ cdot \ mathbf {P})}

\ nabla \ cdot {\ mathbf {E}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {f} + \ rho _ {p}) = {\ frac {1} { \ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {f} - \ nabla \ cdot {\ mathbf {P}})

unde este $\rho _{f}$ ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$ $\ rho _ {f}$ este densitatea sarcinilor libere și în al doilea pas a fost utilizată relația dintre densitatea volumică a sarcinii de polarizare și vectorul de polarizare. Prin urmare, avem:

\nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} )=\rho _{f}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}) = \ rho _ {f}}

\ nabla \ cdot (\ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} + {\ mathbf {P}}) = \ rho _ {f}

.

Argumentul operatorului diferențial este vectorul de inducție electrică, definit ca: ^[1]

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}

{\ mathbf {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} + {\ mathbf {P}}

Și prima ecuație a lui Maxwell ia forma:

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho -\rho _{p}=\rho _{f}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho - \ rho _ {p} = \ rho _ {f}}

\ nabla \ cdot {\ mathbf {D}} = \ rho - \ rho _ {p} = \ rho _ {f}

Definirea divergenței în fiecare punct nu este suficientă pentru a fixa complet vectorul $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ , care nu depinde doar de sarcinile libere, ci de natura și geometria dielectricului, de fapt prin calcularea rotorului obținem:

\nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \right)=\varepsilon _{0}\nabla \times \mathbf {E} +\nabla \times \mathbf {P}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {D} = \ nabla \ times \ left (\ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P} \ right) = \ varepsilon _ {0} \ nabla \ times \ mathbf {E} + \ nabla \ times \ mathbf {P}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {D} = \ nabla \ times \ left (\ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P} \ right) = \ varepsilon _ {0} \ nabla \ times \ mathbf {E} + \ nabla \ times \ mathbf {P}}

În electrostatică $\nabla \times \mathbf {E} =0$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0}$ ceea ce implică egalitatea dintre rotorul de inducție electrică și polarizare:

\nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {D} = \ nabla \ times \ mathbf {P}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {D} = \ nabla \ times \ mathbf {P}}

În general, este greșit să credem că $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ depinde doar de sarcina liberă, dacă este așa un dielectric neutru nu ar putea influența câmpul electric din vecinătatea sa. În realitate, câmpul electric este mai curbat spre normal spre suprafața dielectricului, cu cât este mai mare permitivitatea sa electrică $\varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ este minunat, până la asta pentru $\varepsilon _{r}\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r} \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r} \ rightarrow \ infty}$ comportamentul seamănă cu cel al unui dirijor.

Majoritatea materialelor izolante pot fi tratate ca un dielectric liniar omogen și izotrop, ceea ce înseamnă că există o relație liniară între dipolul indus în material și câmpul electric extern. Aceasta este o aproximare larg utilizată și, în acest caz, câmpurile $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ sunt echivalente cu mai puțin de un factor de scară: ^[5]

\mathbf {D} =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E}}

{\ mathbf {D}} = \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}}

si in consecinta:

\mathbf {P} =(\varepsilon _{r}-1)\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E} ,

{\ displaystyle \ mathbf {P} = (\ varepsilon _ {r} -1) \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ chi \ mathbf {E},}

{\ mathbf {P}} = (\ varepsilon _ {r} -1) \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} = \ varepsilon _ {{0}} \ chi {\ mathbf {E}},

Măreția $\varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ $\ varepsilon_r$ este permisivitatea electrică relativă și depinde de caracteristicile microscopice ale materialului, în timp ce $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ se numește susceptibilitate electrică .

Permitivitatea electrică poate fi măsurată empiric și, începând cu anii șaptezeci , este calculată și cu ajutorul calculatoarelor electronice. Dacă materialul nu este omogen, liniar și izotrop, atunci $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ depinde de factori precum poziția în interiorul mediului, temperatura sau frecvența câmpului aplicat. În special, dacă materialul este omogen și anizotrop, constanta dielectrică devine o matrice, dacă nu este omogenă, coeficienții matricei sunt o funcție a poziției, iar dacă nu este liniar, constanta dielectrică depinde de câmpul electric și în general și la timp.

În domeniul frecvenței, pentru un mediu liniar și independent de timp există relația:

\mathbf {D(\nu )} =\varepsilon (\nu )\mathbf {E} (\nu )

{\ displaystyle \ mathbf {D (\ nu)} = \ varepsilon (\ nu) \ mathbf {E} (\ nu)}

\ mathbf {D (\ nu)} = \ varepsilon (\ nu) \ mathbf {E} (\ nu)

unde este $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este frecvența câmpului. Vectorul de polarizare pentru un mediu neliniar, nici omogen, nici izotrop, la rândul său, depinde de câmpul din tensorul de polarizare.

Ecuațiile lui Maxwell

Același subiect în detaliu: ecuațiile lui Maxwell .

Prin inserarea vectorului de inducție electrică în ecuațiile lui Maxwell în materiale, luând în considerare cazul în care dielectricul este perfect și izotrop și presupunând că există o relație de liniaritate și pentru câmpul magnetic din materiale, avem: ^[6]

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho}

\ nabla \ cdot {\ mathbf {D}} = \ rho

\nabla \cdot \mathbf {B} =0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}

\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

\nabla \times \mathbf {\mathbf {E} } =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}

\nabla \times \mathbf {\mathbf {H} } =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {\ mathbf {H}} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {\ mathbf {H}} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}}

unde este $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ este câmpul magnetic din materiale și este analogul vectorului de inducție electrică pentru polarizarea magnetică .

Dispersie și cauzalitate

Același subiect în detaliu: Permitivitatea electrică .

Într-un dielectric perfect pentru a descrie formarea unui dipol electric se presupune că sarcinile $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , constând din electroni sau ioni de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , sunt legați de atomi printr-o forță $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ tip armonic cu frecvență de oscilație $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ în jurul punctului de echilibru. Dacă luăm în considerare, în schimb, un dielectric ne-ideal și un câmp electric $\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}$ $\ mathbf E (\ mathbf x, t)$ oscilant, adică dependent de timp prin intermediul unui factor $e^{i\omega t}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ omega t}}$ $e ^ {i \ omega t}$ , ecuația de mișcare pentru sarcini trebuie modificată pentru a lua în considerare efectele de amortizare, care sunt în general proporționale cu viteza prin intermediul unei constante de amortizare $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . Ecuația mișcării se dovedește a avea forma: ^[7]

m[{\ddot {\mathbf {x} }}+\gamma {\dot {\mathbf {x} }}+\omega _{0}^{2}\mathbf {x} ]=-e\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)

{\ displaystyle m [{\ ddot {\ mathbf {x}}} + \ gamma {\ dot {\ mathbf {x}}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x}] = - și \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}

m [\ ddot \ mathbf x + \ gamma \ dot \ mathbf x + \ omega_0 ^ 2 \ mathbf x] = - e \ mathbf E (\ mathbf x, t)

Mulțumită dependenței $e^{i\omega t}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ omega t}}$ $e ^ {i \ omega t}$ a câmpului se poate pune $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}e^{i\omega t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} _ {0} e ^ {i \ omega t}}$ $\ mathbf x = \ mathbf x_0 e ^ {i \ omega t}$ . Prin inserarea derivatelor de $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în ecuația mișcării obținem:

\mathbf {x} ={\frac {e}{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega \gamma )}}\mathbf {E} \qquad \mathbf {p} =-e\mathbf {x}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ frac {e} {m (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega \ gamma)}} \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {p} = -e \ mathbf {x}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ frac {e} {m (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega \ gamma)}} \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {p} = -e \ mathbf {x}}

Mai mult, polarizarea unui material ca răspuns la un câmp electric nu este, în general, instantanee. Faptul că permitivitatea electrică depinde de frecvență implică de fapt că relația dintre câmpuri $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ , dat de:

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,\omega )=\varepsilon (\omega )\mathbf {E} (\mathbf {x} ,\omega )

{\ displaystyle \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, \ omega) = \ varepsilon (\ omega) \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, \ omega)}

\ mathbf D (\ mathbf x, \ omega) = \ varepsilon (\ omega) \ mathbf E (\ mathbf x, \ omega)

este temporar nelocal. Luând în considerare reprezentarea prin intermediul transformatei Fourier :

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {D} (\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}d\omega \qquad \mathbf {D} (\mathbf {x} ,\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t')e^{i\omega t'}dt'

{\ displaystyle \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf { D} (\ mathbf {x}, \ omega) și ^ {- i \ omega t} d \ omega \ qquad \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, \ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, t ') și ^ {i \ omega t'} dt '}

\ mathbf D (\ mathbf x, t) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf D (\ mathbf x, \ omega) e ^ {-i \ omega t} d \ omega \ qquad \ mathbf D (\ mathbf x, \ omega) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf D (\ mathbf x, t ') și ^ {i \ omega t'} dt '

și inserându-l în relația anterioară împreună cu reprezentarea Fourier analogă pentru $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ obținem, presupunând că putem inversa ordinea integrării: ^[8]

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)=\varepsilon _{0}\left[\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)+\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t')\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t-t')dt'\right]

{\ displaystyle \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, t) = \ varepsilon _ {0} \ left [\ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (t ') \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t-t') dt '\ right]}

\ mathbf D (\ mathbf x, t) = \ varepsilon_0 \ left [\ mathbf E (\ mathbf x, t) + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (t ') \ mathbf E ( \ mathbf x, t-t ') dt' \ dreapta]

unde este $\chi (t')$ ${\ displaystyle \ chi (t ')}$ $\ chi (t ')$ este transformata Fourier a $\chi (\omega )$ ${\ displaystyle \ chi (\ omega)}$ $\ chi (\ omega)$ :

\chi (t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\omega )e^{-i\omega t'}d\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}-1\right)e^{-i\omega t'}d\omega

{\ displaystyle \ chi (t ') = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (\ omega) e ^ {- i \ omega t' } d \ omega = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon _ {0 }}} - 1 \ right) și ^ {- i \ omega t '} d \ omega}

\ chi (t ') = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (\ omega) e ^ {- i \ omega t'} d \ omega = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon_0} -1 \ right) și ^ {- i \ omega t '} d \ omega

Câmpurile $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ și $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ sunt deci o funcție a $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în două timpuri diferite, ca câmp care se manifestă în material la momentul respectiv $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ca urmare a polarizării atomice și moleculare depinde de câmpul extern $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ într-un moment diferit din timp.

Luați în considerare un model de permitivitate electrică în care există o singură frecvență de rezonanță. În acest context, avem:

{\frac {\varepsilon (\omega )}{\varepsilon _{0}}}=1+\chi _{e}=1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}

{\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon _ {0}}} = 1+ \ chi _ {e} = 1 + {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega _ {j} \ gamma}}}

\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon_0} = 1 + \ chi_e = 1 + \ frac {\ omega_p ^ 2} {\ omega_0 ^ 2 - \ omega ^ 2 - i \ omega_j \ gamma}

În acest caz, transformarea susceptibilității electrice ia forma: ^[9]

\chi (t')={\frac {\omega _{p}^{2}}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-i\omega t'}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega _{j}\gamma }}d\omega =\omega _{p}^{2}e^{-{\frac {\gamma t'}{2}}}{\frac {\sin(\nu _{0}t')}{\nu _{0}}}\theta (t')\qquad \nu _{0}^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{4}}

{\ displaystyle \ chi (t ') = {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {-i \ omega t '}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega _ {j} \ gamma}} d \ omega = \ omega _ {p} ^ {2} e ^ {- {\ frac {\ gamma t '} {2}}} {\ frac {\ sin (\ nu _ {0} t')} {\ nu _ {0}}} \ theta ( t ') \ qquad \ nu _ {0} ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} - {\ frac {\ gamma ^ {2}} {4}}}

{\ displaystyle \ chi (t ') = {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {-i \ omega t '}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega _ {j} \ gamma}} d \ omega = \ omega _ {p} ^ {2} e ^ {- {\ frac {\ gamma t '} {2}}} {\ frac {\ sin (\ nu _ {0} t')} {\ nu _ {0}}} \ theta ( t ') \ qquad \ nu _ {0} ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} - {\ frac {\ gamma ^ {2}} {4}}}

unde este $\theta (t')$ ${\ displaystyle \ theta (t ')}$ $\ theta (t ')$ este funcția pas . Functia $\chi (t')$ ${\ displaystyle \ chi (t ')}$ $\ chi (t ')$ oscilează cu o amortizare dată de termenul exponențial, în care apare constanta de amortizare a forței armonice care acționează asupra sarcinilor. Prezența funcției de pas garantează respectarea principiului cauzalității, deoarece anulează $\chi (t')$ ${\ displaystyle \ chi (t ')}$ $\ chi (t ')$ pentru vremuri rele. În acest fel ajungem la expresia mai generală care leagă câmpurile $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ și $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ într-un mediu uniform și izotrop: ^[10]

\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)=\varepsilon _{0}\left[\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)+\int _{0}^{\infty }\chi (t')\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t-t')dt'\right]

{\ displaystyle \ mathbf {D} (\ mathbf {x}, t) = \ varepsilon _ {0} \ left [\ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) + \ int _ {0} ^ { \ infty} \ chi (t ') \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t-t') dt '\ right]}

\ mathbf D (\ mathbf x, t) = \ varepsilon_0 \ left [\ mathbf E (\ mathbf x, t) + \ int_ {0} ^ {\ infty} \ chi (t ') \ mathbf E (\ mathbf x , tt ') dt' \ dreapta]

unde integrarea are loc începând de la $t'=0$ ${\ displaystyle t '= 0}$ $t '= 0$ . Este o relație cauzală, spațială locală și liniară.

Notă

^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , Pagina 142 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 134 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pagina 137 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 141 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 143 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 458 .
^ Jackson , pagina 309 .
^ Jackson , pagina 330 .
^ Jackson , pagina 331 .
^ Jackson , pagina 332 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Tipler, Paul (1998). Fizica pentru oamenii de știință și ingineri: Vol. 2: Electricitate și magnetism, lumină (ediția a IV-a). WH Freeman. ISBN 1-57259-492-6
Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Fizica pentru oamenii de știință și ingineri (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
Saslow, Wayne M. (2002). Electricitate, magnetism și lumină . Thomson Learning. ISBN 0-12-619455-6 . A se vedea capitolul 8 și în special pp. 255–259 pentru coeficienții de potențial.

Elemente conexe

Portalul electromagnetismului : accesați intrările de pe Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[pol-1] Mencuccini, Silvestrini , Pagina 142 .

[2] Mencuccini, Silvestrini , pagina 134 .

[3] Mencuccini, Silvestrini , Pagina 137 .

[4] Mencuccini, Silvestrini , pagina 141 .

[5] Mencuccini, Silvestrini , pagina 143 .

[6] Mencuccini, Silvestrini , pagina 458 .

[7] Jackson , pagina 309 .

[8] Jackson , pagina 330 .

[9] Jackson , pagina 331 .

[10] Jackson , pagina 332 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]