Funcția translogaritmică

Translogaritmicul (în engleză translog ), care înseamnă transcendental logaritmic ( transcendental logaritmic ), este o clasă particulară de funcții , folosită inițial de Berndt și Christensen (1973), care își găsește utilizarea în economie și econometrie ca specificație flexibilă a funcțiilor de utilitate , producție și cost .

Forma generală a unei funcții translogaritmice este:

\ \ln y=\beta _{0}+\sum _{i=1}^{N}\beta _{i}\ln x_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}\ln x_{i}\ln x_{j}

{\ displaystyle \ \ ln y = \ beta _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ beta _ {i} \ ln x_ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ gamma _ {ij} \ ln x_ {i} \ ln x_ {j}}

{\ displaystyle \ \ ln y = \ beta _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ beta _ {i} \ ln x_ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ gamma _ {ij} \ ln x_ {i} \ ln x_ {j}}

(1)

Această clasă de funcții se numește flexibilă deoarece permite analiza efectelor care, în funcție de derivatele secundare, precum elasticitățile substituției , sunt de obicei date și constante asumate în forme funcționale „clasice” precum Cobb-Douglas și CES .

Translogaritmicul poate fi, de asemenea, văzut ca extinderea serie Taylor de ordinul doi al unei funcții generice:

\ y=f(\mathbf {x} )

{\ displaystyle \ y = f (\ mathbf {x})}

{\ displaystyle \ y = f (\ mathbf {x})}

De fapt, transformându-ne în logaritmi obținem:

\ \ln y=\ln f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

{\ displaystyle \ \ ln y = \ ln f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = g (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} )}}

{\ displaystyle \ \ ln y = \ ln f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = g (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} )}}

Și exprimând totul în funcție de logaritmi:

\ \ln y=g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})

{\ displaystyle \ \ ln y = g (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = h (\ ln x_ {1}, \ ln x_ {2}, \ ldots, \ ln x_ {n})}

{\ displaystyle \ \ ln y = g (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = h (\ ln x_ {1}, \ ln x_ {2}, \ ldots, \ ln x_ {n})}

Dezvoltarea funcției seriei Taylor de ordinul doi în jurul punctului $\ \mathbf {x} =[1,1,\ldots ,1]$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} = [1,1, \ ldots, 1]}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} = [1,1, \ ldots, 1]}$ avem:

\ \ln y=h(\mathbf {0} )+\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\mathbf {0} )\ln x_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}h_{ij}(\mathbf {0} )\ln x_{i}\ln x_{j}+\varepsilon

{\ displaystyle \ \ ln y = h (\ mathbf {0}) + \ sum _ {i = 1} ^ {N} h_ {i} (\ mathbf {0}) \ ln x_ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} h_ {ij} (\ mathbf {0}) \ ln x_ {i} \ ln x_ {j} + \ varepsilon}

{\ displaystyle \ \ ln y = h (\ mathbf {0}) + \ sum _ {i = 1} ^ {N} h_ {i} (\ mathbf {0}) \ ln x_ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} h_ {ij} (\ mathbf {0}) \ ln x_ {i} \ ln x_ {j} + \ varepsilon}

unde este:

h_{i}(\mathbf {0} )=\left.{\frac {\partial h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})}{\partial \ln x_{i}}}\right|_{\ln \mathbf {x} =\mathbf {0} }

{\ displaystyle h_ {i} (\ mathbf {0}) = \ left. {\ frac {\ partial h (\ ln x_ {1}, \ ln x_ {2}, \ ldots, \ ln x_ {n}) } {\ partial \ ln x_ {i}}} \ right | _ {\ ln \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}}

{\ displaystyle h_ {i} (\ mathbf {0}) = \ left. {\ frac {\ partial h (\ ln x_ {1}, \ ln x_ {2}, \ ldots, \ ln x_ {n}) } {\ partial \ ln x_ {i}}} \ right | _ {\ ln \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}}

h_{ij}(\mathbf {0} )=\left.{\frac {\partial ^{2}h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})}{\partial \ln x_{i}\partial \ln x_{j}}}\right|_{\ln \mathbf {x} =\mathbf {0} }

{\ displaystyle h_ {ij} (\ mathbf {0}) = \ left. {\ frac {\ partial ^ {2} h (\ ln x_ {1}, \ ln x_ {2}, \ ldots, \ ln x_ {n})} {\ partial \ ln x_ {i} \ partial \ ln x_ {j}}} \ right | _ {\ ln \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}}

{\ displaystyle h_ {ij} (\ mathbf {0}) = \ left. {\ frac {\ partial ^ {2} h (\ ln x_ {1}, \ ln x_ {2}, \ ldots, \ ln x_ {n})} {\ partial \ ln x_ {i} \ partial \ ln x_ {j}}} \ right | _ {\ ln \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}}

Deoarece atât funcția, cât și derivatele acesteia, prima și a doua, evaluate în același punct sunt constante, le putem interpreta ca coeficienți și putem deriva formularea (1).

Cobb-Douglas ca un caz particular de translogaritmic

În cazul în care $\ \gamma _{ij}=0$ ${\ displaystyle \ \ gamma _ {ij} = 0}$ ${\ displaystyle \ \ gamma _ {ij} = 0}$ (cu i, j = 1,2, ..., N) translogaritmicul devine:

\ \ln y=\beta _{0}+\sum _{i=1}^{N}\beta _{i}\ln x_{i}

{\ displaystyle \ \ ln y = \ beta _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ beta _ {i} \ ln x_ {i}}

{\ displaystyle \ \ ln y = \ beta _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ beta _ {i} \ ln x_ {i}}

de la care:

\ y=A\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\beta _{i}}

{\ displaystyle \ y = A \ prod _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ beta _ {i}}}

{\ displaystyle \ y = A \ prod _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ beta _ {i}}}

care este forma generală a unui Cobb-Douglas .

Bibliografie

Berndt, E. și Christensen, L. (1973), "Funcția Translog și înlocuirea echipamentelor, structurilor și forței de muncă în fabricarea din SUA, 1929-1968", Journal of Econometrics , 1, 81-114

Elemente conexe