Identitatea lui Abel

În matematică , identitatea lui Abel (numită și identitatea ecuației diferențiale a lui Abel ) este o ecuație care exprimă Wronskianul a două soluții omogene ale unei ecuații diferențiale liniare de ordinul doi din punct de vedere al coeficienților ecuației diferențiale originale. Identitatea poartă numele matematicianului Niels Henrik Abel .

Identitatea lui Abel, deoarece se referă la mai multe soluții liniar independente ale ecuației diferențiale, poate fi utilizată pentru a găsi o soluție începând de la cealaltă. Este foarte util pentru ecuații precum ecuațiile Bessel , în care soluțiile nu au o formă analitică, deoarece în acele cazuri Wronskianul este dificil de calculat direct.

Definiție

Având în vedere o ecuație diferențială ordinară liniară omogenă de ordinul doi:

{\frac {{\textrm {d}}^{2}y}{{\textrm {d}}x^{2}}}+P(x){\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}+Q(x)\,y=0

{\ displaystyle {\ frac {{\ textrm {d}} ^ {2} y} {{\ textrm {d}} x ^ {2}}} + P (x) {\ frac {{\ textrm {d} } y} {{\ textrm {d}} x}} + Q (x) \, y = 0}

{\ displaystyle {\ frac {{\ textrm {d}} ^ {2} y} {{\ textrm {d}} x ^ {2}}} + P (x) {\ frac {{\ textrm {d} } y} {{\ textrm {d}} x}} + Q (x) \, y = 0}

Identitatea lui Abel poate fi scrisă ca:

W(x)=W(0)\exp \left(-\int _{0}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right)

{\ displaystyle W (x) = W (0) \ exp \ left (- \ int _ {0} ^ {x} P (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi \ right)}

{\ displaystyle W (x) = W (0) \ exp \ left (- \ int _ {0} ^ {x} P (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi \ right)}

unde este $W(x)$ ${\ displaystyle W (x)}$ ${\ displaystyle W (x)}$ este Wronskianul celor două soluții liniar independente ale ecuației diferențiale, adică determinantul :

W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)\end{vmatrix}}=y_{1}(x)\,y'_{2}(x)-y'_{1}(x)\,y_{2}(x)\qquad x\in I

{\ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = {\ begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) \\ y '_ {1} (x ) & y '_ {2} (x) \ end {vmatrix}} = y_ {1} (x) \, y' _ {2} (x) -y '_ {1} (x) \, y_ { 2} (x) \ qquad x \ in I}

{\ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = {\ begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) \\ y '_ {1} (x ) & y '_ {2} (x) \ end {vmatrix}} = y_ {1} (x) \, y' _ {2} (x) -y '_ {1} (x) \, y_ { 2} (x) \ qquad x \ in I}

Derivare

Lasa-i sa fie $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$ Și $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ $y_ {2}$ două soluții liniar independente ale ecuației diferențiale:

y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0

{\ displaystyle y '' + P (x) \, y '+ Q (x) \, y = 0}

{\ displaystyle y '' + P (x) \, y '+ Q (x) \, y = 0}

Atunci Wronskianul celor două funcții este definit ca

W(x)=y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}'

{\ displaystyle W (x) = y_ {1} 'y_ {2} -y_ {1} y_ {2}'}

{\ displaystyle W (x) = y_ {1} 'y_ {2} -y_ {1} y_ {2}'}

Derivând avem:

{\begin{aligned}W'(x)&=y_{1}''y_{2}+y_{1}'y_{2}'-y_{1}'y_{2}'-y_{2}''y_{1}\\&=y_{1}''y_{2}-y_{1}y_{2}''\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} W '(x) & = y_ {1}' 'y_ {2} + y_ {1}' y_ {2} '- y_ {1}' y_ {2} '- y_ {2} '' y_ {1} \\ & = y_ {1} '' y_ {2} -y_ {1} y_ {2} '' \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} W '(x) & = y_ {1}' 'y_ {2} + y_ {1}' y_ {2} '- y_ {1}' y_ {2} '- y_ {2} '' y_ {1} \\ & = y_ {1} '' y_ {2} -y_ {1} y_ {2} '' \ end {align}}}

Având în vedere ecuația diferențială originală sub forma:

y''=-P(x)\,y'-Q(x)\,y

{\ displaystyle y '' = - P (x) \, y'-Q (x) \, y}

{\ displaystyle y '' = - P (x) \, y'-Q (x) \, y}

Înlocuind rezultatul în Wronskian avem:

{\begin{aligned}W'(x)&=\left(-P(x)y_{1}'-Q(x)\,y_{1}\right)y_{2}-y_{1}\left(-P(x)y_{2}'-Q(x)\,y_{2}\right)\\&=-P(x)y_{1}'y_{2}-Q(x)y_{1}y_{2}+P(x)y_{1}y_{2}'+Q(x)y_{1}y_{2}\\&=-P(x)(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}')\\&=-P(x)\,W(x)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} W '(x) & = \ left (-P (x) y_ {1}' - Q (x) \, y_ {1} \ right) y_ {2} -y_ { 1} \ left (-P (x) y_ {2} '- Q (x) \, y_ {2} \ right) \\ & = - P (x) y_ {1}' y_ {2} -Q ( x) y_ {1} y_ {2} + P (x) y_ {1} y_ {2} '+ Q (x) y_ {1} y_ {2} \\ & = - P (x) (y_ {1 } 'y_ {2} -y_ {1} y_ {2}') \\ & = - P (x) \, W (x) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} W '(x) & = \ left (-P (x) y_ {1}' - Q (x) \, y_ {1} \ right) y_ {2} -y_ { 1} \ left (-P (x) y_ {2} '- Q (x) \, y_ {2} \ right) \\ & = - P (x) y_ {1}' y_ {2} -Q ( x) y_ {1} y_ {2} + P (x) y_ {1} y_ {2} '+ Q (x) y_ {1} y_ {2} \\ & = - P (x) (y_ {1 } 'y_ {2} -y_ {1} y_ {2}') \\ & = - P (x) \, W (x) \ end {align}}}

Este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi:

{\frac {{\textrm {d}}W}{W}}=-P(x)\,{\textrm {d}}x

{\ displaystyle {\ frac {{\ textrm {d}} W} {W}} = - P (x) \, {\ textrm {d}} x}

{\ displaystyle {\ frac {{\ textrm {d}} W} {W}} = - P (x) \, {\ textrm {d}} x}

astfel încât prin integrarea:

\ln \left({\frac {W(x)}{W(0)}}\right)=-\int _{0}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi

{\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {W (x)} {W (0)}} \ right) = - \ int _ {0} ^ {x} P (\ xi) \, {\ textrm { d}} \ xi}

{\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {W (x)} {W (0)}} \ right) = - \ int _ {0} ^ {x} P (\ xi) \, {\ textrm { d}} \ xi}

avem, în mod exponențial, identitatea:

W(x)=W(0)\exp \left(-\int _{0}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right)

{\ displaystyle W (x) = W (0) \ exp \ left (- \ int _ {0} ^ {x} P (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi \ right)}

{\ displaystyle W (x) = W (0) \ exp \ left (- \ int _ {0} ^ {x} P (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi \ right)}

Generalizare

Având în vedere o ecuație liniară omogenă de ordine $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ definit pe interval $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $I \ subset \ mathbb {R}$ :

y^{(n)}+p_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}(x)\,y'+p_{0}(x)\,y=0

{\ displaystyle y ^ {(n)} + p_ {n-1} (x) \, y ^ {(n-1)} + \ cdots + p_ {1} (x) \, y '+ p_ {0 } (x) \, y = 0}

{\ displaystyle y ^ {(n)} + p_ {n-1} (x) \, y ^ {(n-1)} + \ cdots + p_ {1} (x) \, y '+ p_ {0 } (x) \, y = 0}

cu $y_{1},\dots y_{n}$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ dots y_ {n}}$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ dots y_ {n}}$ soluții la valori reale sau complexe, Wronskianul:

W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\cdots &y'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}\qquad x\in I

{\ displaystyle W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x) = {\ begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n } (x) \\ y '_ {1} (x) & y' _ {2} (x) & \ cdots & y '_ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {vmatrix}} \ qquad x \ in I}

{\ displaystyle W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x) = {\ begin {vmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n } (x) \\ y '_ {1} (x) & y' _ {2} (x) & \ cdots & y '_ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {vmatrix}} \ qquad x \ in I}

satisface relația:

W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x)=W(y_{1},\ldots ,y_{n})(x_{0})\exp {\biggl (}-\int _{x_{0}}^{x}p_{n-1}(\xi )\,{\textrm {d}}\xi {\biggr )}\qquad x\in I

{\ displaystyle W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x) = W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x_ {0}) \ exp {\ biggl (} - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} p_ {n-1} (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi {\ biggr)} \ qquad x \ in I}

{\ displaystyle W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x) = W (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) (x_ {0}) \ exp {\ biggl (} - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} p_ {n-1} (\ xi) \, {\ textrm {d}} \ xi {\ biggr)} \ qquad x \ in I}

pentru fiecare $x\in I$ ${\ displaystyle x \ in I}$ ${\ displaystyle x \ in I}$ .

Într-adevăr, soluțiile $y_{1},\dots ,y_{n}$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n}}$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n}}$ :

\Phi (x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\cdots &y'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-2)}(x)&y_{2}^{(n-2)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-2)}(x)\\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}}\qquad x\in I

{\ displaystyle \ Phi (x) = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n} (x) \\ y '_ {1} ( x) & y '_ {2} (x) & \ cdots & y' _ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-2 )} (x) & y_ {2} ^ {(n-2)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-2)} (x) \\ y_ {1} ^ {(n -1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {pmatrix}} \ qquad x \ in I}

{\ displaystyle \ Phi (x) = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n} (x) \\ y '_ {1} ( x) & y '_ {2} (x) & \ cdots & y' _ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-2 )} (x) & y_ {2} ^ {(n-2)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-2)} (x) \\ y_ {1} ^ {(n -1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {pmatrix}} \ qquad x \ in I}

sunt soluția sistemului n- dimensional al ecuațiilor diferențiale omogene:

{\begin{pmatrix}y'\\y''\\\vdots \\y^{(n-1)}\\y^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-p_{0}(x)&-p_{1}(x)&-p_{2}(x)&\cdots &-p_{n-1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\y'\\\vdots \\y^{(n-2)}\\y^{(n-1)}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y '\\ y' '\\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \\ y ^ {(n)} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ - p_ {0} (x) & - p_ {1} (x) & - p_ {2} (x) & \ cdots & -p_ {n-1} (x) \ end {pmatrix} } {\ begin {pmatrix} y \\ y '\\\ vdots \\ y ^ {(n-2)} \\ y ^ {(n-1)} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y '\\ y' '\\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \\ y ^ {(n)} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ - p_ {0} (x) & - p_ {1} (x) & - p_ {2} (x) & \ cdots & -p_ {n-1} (x) \ end {pmatrix} } {\ begin {pmatrix} y \\ y '\\\ vdots \\ y ^ {(n-2)} \\ y ^ {(n-1)} \ end {pmatrix}}}

Pista este $-p_{n-1}(x)$ ${\ displaystyle -p_ {n-1} (x)}$ ${\ displaystyle -p_ {n-1} (x)}$ , și astfel identitatea lui Abel rezultă din formula Liouville .

Bibliografie

(EN) Boyce, WE și DiPrima, ecuații diferențiale elementare RC și probleme cu valoarea limită, ediția a IV-a. New York: Wiley, 1986.
( EN ) Abel, NH, "Précis d'une théorie des fonctions elliptiques" J. Reine Angew. Math , 4 (1829) pp. 309-348.
( EN ) Gerald Teschl , Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice , Providence , American Mathematical Society , 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Identitatea ecuației diferențiale a lui Abel în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică