Identitatea pe logaritmi

În diferite domenii ale matematicii , în special în studiul de funcții speciale , diverse identități pe logaritmi sunt întâlnite.

identități algebrice

Cele mai simple identitățile

$\log _{b}(1)=0\!\,$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (1) = 0 \! \,}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (1) = 0 \! \,}$	derivat de la	$b^{0}=1\!\,$ ${\ Displaystyle b ^ {0} = 1 \! \,}$ ${\ Displaystyle b ^ {0} = 1 \! \,}$
$\log _{b}(b)=1\!\,$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (b) = 1 \! \,}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (b) = 1 \! \,}$	derivat de la	$b^{1}=b\!\,$ ${\ Displaystyle b ^ {1} = b \! \,}$ ${\ Displaystyle b ^ {1} = b \! \,}$
$\log _{1/b}(b)=-1\!\,$ ${\ Displaystyle \ log _ {1 / b} (b) = - 1 \ \,}$ ${\ Displaystyle \ log _ {1 / b} (b) = - 1 \ \,}$	derivat de la	$b^{-1}=1/b\!\,$ ${\ Displaystyle b ^ {- 1} = 1 / b \ \,}$ ${\ Displaystyle b ^ {- 1} = 1 / b \ \,}$

Simplificarea calculelor numerice

Logaritmi au fost introduse pentru a simplifica calcule numerice. De exemplu, puteți obține produsul a două numere prin utilizarea tabelelor de logaritmi și a face o sumă.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y) \! \,}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y) \! \,}$	derivat de la	$b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}$ ${\ Displaystyle b ^ {x} \ cdot b ^ {y} = b ^ {x + y}}$ ${\ Displaystyle b ^ {x} \ cdot b ^ {y} = b ^ {x + y}}$
$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\dfrac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} \ \ stânga ({\ begin {matrix} {\ dfrac {x} {y}} \ end {matrix}} \ dreapta) = \ log _ {b} (x)! - \ log _ {b} (y)}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} \ \ stânga ({\ begin {matrix} {\ dfrac {x} {y}} \ end {matrix}} \ dreapta) = \ log _ {b} (x)! - \ log _ {b} (y)}$	derivat de la	${\begin{matrix}{\dfrac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}$ ${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ dfrac {b ^ {x}} {b ^ {y}}} \ end {matrix}} = b ^ {xy}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ dfrac {b ^ {x}} {b ^ {y}}} \ end {matrix}} = b ^ {x-y}}$
$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (x ^ {y}) = y \ log _ {b} (x) \! \,}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (x ^ {y}) = y \ log _ {b} (x) \! \,}$	derivat de la	$(b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,$ ${\ Displaystyle (b ^ {n}) ^ {y} = b ^ {ny} \! \,}$ ${\ Displaystyle (b ^ {n}) ^ {y} = b ^ {ny} \! \,}$
$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\dfrac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} \! \ Stânga (\! {\ Sqrt [{y}] {x}} \ dreapta) = {\ begin {matrix} {\ dfrac {\ log _ {b} (x )} {y}} \ end {matrix}}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} \! \ Stânga (\! {\ Sqrt [{y}] {x}} \ dreapta) = {\ begin {matrix} {\ dfrac {\ log _ {b} (x )} {y}} \ end {matrix}}}$	derivat de la	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt [{y}] {x}} = x ^ {1 / y}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt [{y}] {x}} = x ^ {1 / y}}$

Ștergerea cu exponentials (identitate logaritmica)

Funcția exponențială este numită și antilogarithm; de fapt, cererile funcției logaritm și a funcției exponențiale în raport cu aceeași bază se anulează reciproc.

$b^{\log _{b}(x)}=x$ ${\ Displaystyle b ^ {\ log _ {b} (x)} = x}$ ${\ Displaystyle b ^ {\ log _ {b} (x)} = x}$	derivat de la	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$ ${\ Displaystyle \ mathrm {antilog} _ {b} (\ log _ {b} (x)) = x \! \,}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {antilog} _ {b} (\ log _ {b} (x)) = x \! \,}$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (b ^ {x}) = x \! \,}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (b ^ {x}) = x \! \,}$	derivat de la	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (\ mathrm {antilog} _ {b} (x)) = x \! \,}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (\ mathrm {antilog} _ {b} (x)) = x \! \,}$

Schimbarea bazei

\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}

{\ Displaystyle \ log _ {a} b = {\ log _ {c} b \ peste \ log _ {c} a}}

{\ Displaystyle \ log _ {a} b = {\ log _ {c} b \ peste \ log _ {c} a}}

Această identitate vă permite să calculeze logaritmi la orice bază de pe mai multe calculatoare. Cele mai multe dintre calculatoare au de fapt cheile pentru calcularea ln și log _10, dar nici unul care să permită calcularea directă a log _2. Pentru a obține valoarea unui număr cât log ₂ (3), se poate calcula log ₁₀ (3) / log ₁₀ (2) (sau echivalent calculul ln (3) / ln (2)).

Diverse altele pot fi urmărite înapoi la formula anterioară:

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

{\ Displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {1} {\ log _ {b} a}}}

{\ Displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {1} {\ log _ {b} a}}}

\log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b

{\ Displaystyle \ log _ {a ^ {n}} b = {\ frac {1} {n}} \ log _ {a} b}

{\ Displaystyle \ log _ {a ^ {n}} b = {\ frac {1} {n}} \ log _ {a} b}

a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {b} c} = c ^ {\ log _ {b} a}}

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {b} c} = c ^ {\ log _ {b} a}}

Identități utile pentru calculul infinitezimal

limite

\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ la 0 ^ {+}} \ log _ {a} x = - \ infty \ quad {\ mbox {se}} a> 1}

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ la 0 ^ {+}} \ log _ {a} x = - \ infty \ quad {\ mbox {se}} a> 1}

\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ la 0 ^ {+}} \ log _ {a} x = + \ infty \ quad {\ mbox {se}} 0 <a <1}

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ la 0 ^ {+}} \ log _ {a} x = + \ infty \ quad {\ mbox {se}} 0 <a <1}

\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}a>1

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ log _ {a} x = + \ infty \ quad {\ mbox {se}} a> 1}

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ log _ {a} x = + \ infty \ quad {\ mbox {se}} a> 1}

\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ log _ {a} x = - \ infty \ quad {\ mbox {se}} 0 <a <1}

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ log _ {a} x = - \ infty \ quad {\ mbox {se}} 0 <a <1}

\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ la 0 ^ {+}} x ^ {b} \ log _ {a} x = 0}

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ la 0 ^ {+}} x ^ {b} \ log _ {a} x = 0}

\lim _{x\to +\infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {1 \ peste x ^ {b}} \ log _ {a} x = 0}

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {1 \ peste x ^ {b}} \ log _ {a} x = 0}

Această din urmă Identitatea este adesea interpretată ca afirmația că „logaritmi cresc mai lent decât orice putere pozitivă (sau root) a variabilei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ".

Derivata funcțiilor logaritmice

{d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}

{\ Displaystyle {d \ peste dx} \ log _ {a} x = {1 \ peste x \ ln a} = {\ log _ {a} e \ peste x}}

{\ Displaystyle {d \ peste dx} \ log _ {a} x = {1 \ peste x \ ln a} = {\ log _ {a} e \ peste x}}

Integrale de funcții logaritmice

\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C

{\ Displaystyle \ int \ log _ {a} x \, dx = x (\ log _ {a} x- \ log _ {a} e) + C}

{\ Displaystyle \ int \ log _ {a} x \, dx = x (\ log _ {a} x- \ log _ {a} e) + C}

Pentru a face următoarele formule mai mnemotehnică, este recomandabil să se introducă notație:

x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})

{\ Displaystyle x ^ {\ stânga [n \ right]}: = x ^ {n} (\ log (x) -H_ {n})}

{\ Displaystyle x ^ {\ stânga [n \ right]}: = x ^ {n} (\ log (x) -H_ {n})}

unde este $\,H_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ ${\ Displaystyle \, H_ {n}: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}}$ ${\ Displaystyle \, H_ {n}: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}}$ este nth numărul armonic . Apoi, avem următoarele identități: