Ambalare compactă de bile

Figura 1 - Reticulul hcp (stânga) și reticulul fcc (dreapta). Conturul fiecărei rețele Bravais respective este evidențiat în roșu. Literele indică faptul că straturile sunt aceleași. Există două straturi "A" în matricea hcp, unde toate sferele sunt în aceeași poziție. Toate cele trei straturi din grupul fcc sunt diferite. Rețineți că agregatul fcc poate fi convertit în agregat hcp prin transferarea sferei superioare, așa cum se vede din conturul punctat .

Figura 2 - Thomas Harriot primul în 1585 ca. el a considerat matematica aranjamentului de ghiulea sau agregatului de ghiulea , care posedă o rețea FCC. Observați cum bilele adiacente de-a lungul fiecărei margini ale tetragonului obișnuit care cuprinde agregatul sunt toate în contact direct unul cu celălalt. Acest lucru nu se întâmplă într-o rețea hcp, așa cum este indicat în Fig. 3 .

Figura 3 - Prezentată aici este un agregat de unsprezece sfere ale rețelei hcp ilustrate în Fig. 1 . Agregatul hcp diferă de primele 3 rânduri ale agregatului fcc prezentat în Fig. 2 numai în rândul inferior, care poate fi modificat printr-o operație de rotație sau transfer adecvată pentru a forma un agregat fcc.

În geometrie , un ambalaj compact de sfere este construirea unui aranjament regulat infinit (sau rețea ) de sfere identice, astfel încât să umple cea mai mare fracțiune posibilă a unui spațiu tridimensional infinit (adică, ambalat cât mai dens posibil). Carl Friedrich Gauss a arătat că cea mai mare densitate medie care poate fi obținută dintr-un aranjament de rețea obișnuit este

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 0.74048.

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ simeq 0.74048.}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ simeq 0.74048.}

Conjectura lui Kepler afirmă că aceasta este cea mai mare densitate care poate fi obținută din orice aranjament de sfere, regulat sau neregulat.

Examina

Există două rețele regulate simple care ating această densitate medie mai mare, definită cubic centrat pe față (fcc, cub centrat pe față ) și hexagonal compact compact (hcp, hexagonal strâns), pe baza simetriei lor. Ambele se bazează pe planuri de sfere dispuse la vârful unei plăci triunghiulare, diferind în funcție de modul în care planurile sunt agregate una peste alta. În ambele aranjamente, fiecare sferă are doisprezece vecini. Pentru fiecare sferă există un decalaj înconjurat de șase sfere („octaedrice”) și două intervale mai mici înconjurate de patru sfere („tetraedrică”). Distanțele centrelor acestor intervale față de centrele sferelor înconjurătoare sunt $\scriptstyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {\ frac {3} {2}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {\ frac {3} {2}}}}$ pentru tetraedru și $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2}}}$ pentru octaedru, când raza sferei este 1.

Pe baza unui strat de referință cu poziționarea A, sunt posibile alte două poziții B și C. Orice secvență a lui A, B și C fără repetarea imediată a acestuia este posibilă și oferă un ambalaj la fel de dens pentru sferele cu o rază dată.

Cele mai regulate sunt:

hcp = ABABABA (orice alt strat este același)
fcc = ABCABCA (fiecare al treilea strat este același).

În ambalajele compacte, distanța de la centru la centru a sferelor în planul x - y este o teselare simplă de tip stup, cu un pas (distanța dintre centrele sferei) de un diametru al sferei. Distanța dintre centrele sferei paralele cu axa z este:

{\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.81649658d,

{\ displaystyle {\ text {pitch}} _ {Z} = {\ sqrt {6}} \ cdot {d \ over 3} \ approx 0.81649658d,}

{\ displaystyle {\ text {pitch}} _ {Z} = {\ sqrt {6}} \ cdot {d \ over 3} \ approx 0.81649658d,}

Unde d este diametrul unei sfere; aceasta rezultă din dispunerea tetraedrică a ambalajelor compacte de sfere.

Multe structuri cristaline se bazează pe ambalaje compacte de atomi, sau ioni mari cu ioni mai mici care umple spațiul dintre ei. Aranjamentele cubice și hexagonale sunt foarte compacte între ele în energie și poate fi dificil să se prevadă ce formă va fi preferată de primele principii.

Numărul de coordonare al hcp și fcc este 12, iar factorul său de ambalare atomică (APF, Factor de ambalare atomică) este numărul menționat mai sus, 0,74.

Generarea rețelei

La formarea fiecărei grile de ambalare a sferei, primul fapt de reținut este că de fiecare dată când două sfere se ating, se poate trasa o linie dreaptă care merge de la centrul unei sfere la centrul celeilalte și trece prin punctul de contact. . Distanța dintre centre de-a lungul celei mai scurte căi, adică linia dreaptă tocmai menționată, va fi deci r ₁ + r ₂ unde r ₁ este raza primei sfere și r ₂ este raza celei de-a doua. În ambalajele compacte, toate sferele au o rază comună, r . Prin urmare, doi centre ar avea pur și simplu o distanță de 2 r .

Model simplu hcp

Animație - generând rețeaua hcp.

Pentru a forma un pachet hexagonal compact de sfere ABAB -..., coordonatele zăbrele vor fi centrele sferelor. Să presupunem că scopul este de a umple o cabină ( cutie ) cu sfere conforme cu hcp. Cabina va fi plasată în spațiul de coordonate xyz .

Primul formează un rând de sfere. Centrele vor sta toate în linie dreaptă. Coordonata lor x va varia de la 2 r , deoarece distanța dintre fiecare centru, dacă sferele se ating, este de 2 r . Coordonata y și coordonata z vor fi aceleași. Pentru simplitate, să spunem că bilele sunt primul rând și că coordonatele lor y și z sunt pur și simplu r , astfel încât suprafețele lor să rămână în planurile zero. Coordonatele centrelor primului rând vor fi localizate ca (2 r , r , r ), (4 r , r , r ), (6 r , r , r ), (8 r , r , r ),. ... Sfera centrată pe x = 0 este omisă imediat, deoarece o parte a sferei se va afla în exterior.

Acum, să formăm următorul rând de sfere. Din nou, centrele vor sta pe o linie cu diferențe de coordonate x de 2 r , dar va exista o deplasare a distanței r în direcția x , astfel încât centrul fiecărei sfere din acest rând să se alinieze cu coordonata x unde ating cele două sfere. reciproc în primul rând. Acest lucru permite sferelor din noul rând să alunece mai aproape de primul rând până când toate noile sfere din noul rând ating cele două sfere din primul. Pe măsură ce noile sfere ating două sfere, centrele lor formează un triunghi echilateral cu cele două centre vecine. Lungimile laterale sunt de 2 r , deci înălțimea sau diferența de coordonate y între rânduri este $\scriptstyle {\sqrt {3}}r$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {3}} r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {3}} r}$ . Prin urmare, acest rând va avea astfel de coordonate:

(r,r+{\sqrt {3}}r,r),\ (3r,r+{\sqrt {3}}r,r),\ (5r,r+{\sqrt {3}}r,r),\ (7r,r+{\sqrt {3}}r,r),\dots .

{\ displaystyle (r, r + {\ sqrt {3}} r, r), \ (3r, r + {\ sqrt {3}} r, r), \ (5r, r + {\ sqrt {3} } r, r), \ (7r, r + {\ sqrt {3}} r, r), \ dots.}

{\ displaystyle (r, r + {\ sqrt {3}} r, r), \ (3r, r + {\ sqrt {3}} r, r), \ (5r, r + {\ sqrt {3} } r, r), \ (7r, r + {\ sqrt {3}} r, r), \ dots.}

Prima sferă din acest rând atinge doar o sferă din rândul original, dar poziția sa urmează restul rândului.

Următorul rând urmează aceste modele de deplasare: coordonata x din r și coordonata y din $\scriptstyle {\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {3}}}$ . Rândurile sunt adăugate pentru a atinge marginile maxime ale x și y ale cabinei ( caseta ).

Într-un model de ambalare ABAB -..., planurile numerotate (impare) de sfere vor avea exact aceleași coordonate, cu excepția unei diferențe de grad ( pitch ) în coordonatele z, iar planurile numerotate ale sferelor vor avea, de asemenea, aceleași coordonatele x și y. Ambele tipuri de planuri sunt formate folosind modelul menționat mai sus, dar locul de plecare pentru prima sferă a primului rând va fi diferit.

Folosind planul descris exact mai sus ca plan # 1, planul A, plasează o sferă deasupra acestui plan astfel încât să stea atingând trei sfere în planul A. Cele trei sfere se ating întotdeauna una de cealaltă, formând un triunghi echilateral și, din moment ce toate ating sfera nouă, cei patru centri formează un tetraedru regulat ^[1] . Toate laturile sunt egale cu 2 r, deoarece toate laturile sunt formate din două sfere care se ating, a căror înălțime sau diferența de coordonate z între cele două „plane” este $\scriptstyle {\sqrt {6}}r2/3$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {6}} r2 / 3}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {6}} r2 / 3}$ . Aceasta, combinată cu echivalenții ( decalaje ) în coordonatele x și y, dă centrele primului rând din planul B:

(r,{\sqrt {3}}r/3,r+{\sqrt {6}}r2/3),\ (3r,{\sqrt {3}}r/3,r+{\sqrt {6}}r2/3),\ (5r,{\sqrt {3}}r/3,r+{\sqrt {6}}r2/3),\ (7r,{\sqrt {3}}r/3,r+{\sqrt {6}}r2/3),\dots .

{\ displaystyle (r, {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (3r, {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (5r, {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (7r, {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ dots.}

{\ displaystyle (r, {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (3r, {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (5r, {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (7r, {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ dots.}

A doua coordonată a rândului urmează modelul descris anterior mai sus și sunt:

(2r,4{\sqrt {3}}r/3,r+{\sqrt {6}}r2/3),\ (4r,4{\sqrt {3}}r/3,r+{\sqrt {6}}r2/3),\ (6r,4{\sqrt {3}}r/3,r+{\sqrt {6}}r2/3),\ (8r,4{\sqrt {3}}r/3,r+{\sqrt {6}}r2/3),\dots .

{\ displaystyle (2r, 4 {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (4r, 4 {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (6r, 4 {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (8r, 4 {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ dots.}

{\ displaystyle (2r, 4 {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (4r, 4 {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (6r, 4 {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ (8r, 4 {\ sqrt {3}} r / 3, r + {\ sqrt {6}} r2 / 3), \ dots.}

Diferența pentru etajul următor, planul A, este din nou $\scriptstyle {\sqrt {6}}r2/3$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {6}} r2 / 3}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {6}} r2 / 3}$ în direcția z și o deplasare în x și y pentru a fi egale cu coordonatele x și y ale primului plan A. ^[2]

Indicii Miller

Același subiect în detaliu: indexul Miller .

Indicele Miller-Bravais pentru rețeaua hcp

Caracteristicile cristalografice ale sistemelor hcp, cum ar fi vectorii și familiile de plan atomic , pot fi descrise folosind o notație a indexului Miller ( hkil ) de valoarea patru unde al treilea indice i denotă o componentă convenabilă dar degenerată care este egală cu - h - k . Direcțiile indicelui h , i și k sunt separate cu 120 ° și, prin urmare, nu sunt ortogonale; componenta l este reciproc perpendiculară pe direcțiile indicilor h , i și k .