Ambalarea bilelor

Ambalarea sferelor își găsește aplicația practică în ambalarea portocalelor .

În matematică , problemele de ambalare sfere se referă la modalitățile de identice se suprapun non- sfere care umple un spațiu. De obicei, spațiul implicat este un spațiu euclidian tridimensional . Cu toate acestea, problemele legate de împachetarea sferelor pot fi generalizate pentru spații bidimensionale (unde „sferele” sunt cercuri ), pentru un spațiu n- dimensional (unde „sferele” sunt hipersfere ) și pentru spațiile non-euclidiene, cum ar fi ca spațiu hiperbolic .

O problemă tipică a ambalării sferelor este găsirea unui aranjament în care sferele să umple o porțiune cât mai mare de spațiu posibil. Porțiunea de spațiu umplută cu sfere se numește densitatea aranjamentului. Deoarece densitatea unui aranjament poate varia în funcție de volumul în care este măsurată, problema este de obicei de a maximiza densitatea medie sau asimptotică , măsurată pe un volum suficient de mare.

Un aranjament regulat (numit și un aranjament periodic sau de rețea ) apare atunci când centrele sferelor formează un model foarte simetric numit rețea . Aranjamentele în care sferele nu sunt aranjate într-o rețea sunt numite neregulate sau aperiodice . Aranjamentele regulate sunt mai ușor de manevrat decât cele neregulate, dat fiind gradul lor ridicat de simetrie, care le face mai ușor de clasificat și măsurat densitățile lor.

Înfășurarea jantelor

Cel mai eficient mod de a împacheta jante de dimensiuni diferite nu este evident.

Centrele celor trei cercuri în contact formează un triunghi echilateral, generând ambalaje hexagonale

În spațiul euclidian bidimensional, Carl Friedrich Gauss a arătat că dispunerea regulată a cercurilor cu cea mai mare densitate este împachetarea hexagonală , unde centrele cercurilor sunt dispuse într-o rețea hexagonală (rânduri eșalonate, ca un stup ), și fiecare cerc este înconjurat de alte 6 cercuri. Densitatea acestui aranjament este

{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.9069.

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} \ aproximativ 0.9069.}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} \ aproximativ 0.9069.}

În 1940, matematicianul maghiar László Fejes Tóth a dovedit că rețeaua hexagonală este cel mai dens pachet de cercuri posibile, atât regulate, cât și neregulate. ^[1]

Ramura matematicii cunoscută în general sub denumirea de „ambalare circulară” , totuși, nu este implicată în ambalarea densă a cercurilor de dimensiuni egale, ci în geometria și combinația de ambalare circulară de dimensiuni arbitrare; acestea provin din analogul discret al cartării conformale , suprafețelor Riemann și altele asemenea.

Ambalarea bilelor

Ambalare regulată

Același subiect în detaliu: Ambalarea compactă a sferelor .

Rețeaua HCP (stânga) și rețeaua FCC (dreapta) sunt cele mai comune două aranjamente cu densitate mai mare. Rețineți că cele două grupuri prezentate aici nu sunt celule unitare capabile de teselare în spațiul 3D. Cu toate acestea, aceste grupuri descriu prompt diferența dintre cele două rețele.

Sferele de ambalare dintr-o piramidă sunt un exemplu de ambalare cubică compactă . ( vezi versiunea animată )

Două moduri de stivuire a trei etaje din sfere

În spațiul euclidian tridimensional considerăm un plan cu un aranjament compact de sfere pe el. Dacă luăm trei sfere contigue, putem pune o a patra sferă în gol între cele trei sfere inferioare. Dacă facem acest lucru „peste tot” la un al doilea etaj deasupra primului, creăm un nou aspect compact. Al treilea strat se poate suprapune pe primul sau sferele pot fi deasupra unui gol din primul strat. Prin urmare, există trei tipuri de planuri, numite A, B și C.

Gauss a dovedit că aceste aranjamente au cea mai mare densitate dintre aranjamentele obișnuite.

Cele două formate cele mai frecvente sunt ambalaje definite compacte cubice (cubice închise de ambalare) și sisteme de cristal cubice (față centrată cubice) - alternativ ABCABC ... - și hexagonale compacte de ambalare - alternante ABAB .... Dar toate combinațiile sunt posibile (ABAC, ABCBA, ABCBAC etc.). În toate aceste aranjamente fiecare sferă este înconjurată de alte 12 sfere și ambele aranjamente au o densitate medie de

{\frac {\pi }{\sqrt {18}}}\simeq 0{,}74048.

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sqrt {18}}} \ simeq 0 {,} 74048.}

{\ frac {\ pi} {{\ sqrt {18}}}} \ simeq 0 {,} 74048.

În 1611, John Kepler a emis ipoteza că aceasta era densitatea maximă posibilă atât pentru aranjamentele regulate, cât și pentru cele neregulate - o ipoteză cunoscută sub numele de conjectura lui Kepler . În 1998, Thomas Hales , urmând abordarea sugerată de László Fejes Tóth în 1953, a anunțat dovada conjecturii lui Kepler. Hales Proof este o căutare exhaustivă a soluțiilor care implică verificarea multor cazuri individuale utilizând calcule computerizate complexe. „Judecătorii” au decis că sunt „99% siguri” de acuratețea dovezilor date de Hales, astfel încât conjectura lui Kepler a fost aproape sigur dovedită.

Diagrama Voronoi a împachetării sferelor în sistemul de cristale cubice formează un stup dodecaedric rombic .

Ambalaje inegale

Același subiect în detaliu: Înfășurarea aleatorie .

Dacă încercăm să construim o serie de sfere dens împachetate, am fi întotdeauna tentați să plasăm următoarea sferă într-un gol între trei sfere împachetate. Dacă cinci bile sunt asamblate în acest fel, acestea se vor conforma unuia dintre aranjamentele ambalate în mod regulat descrise mai sus. Cu toate acestea, a șasea sferă așezată în acest mod va face structura neconcordantă cu orice aranjament regulat. (Chaikin, 2007). Acest lucru se întâmplă în cazul unui ambalaj aleatoriu de bile care rămâne stabil atunci când este supus comprimării.

Când sferele sunt adăugate în mod aleatoriu într-un container și apoi comprimate, ele vor forma de obicei ceea ce este cunoscut ca un model de ambalare „neregulat” sau „congestionat” atunci când nu mai pot fi comprimate. Acest ambalaj inegal va avea, în general, o densitate de aproximativ 64%. O cercetare recentă prezice că analitic nu este posibil să se depășească o densitate limită de 63,4% ^[2] Această situație este diferită în cazul uneia sau a două dimensiuni, în cazul în care comprimarea unei serii de sfere unidimensionale sau bidimensionale (adică segmente de linie sau discuri) vor produce ambalaje regulate.

Ambalarea hipersferei

În mai mult de trei dimensiuni, cele mai dense ambalaje regulate ale hipersferei sunt cunoscute până la 8 dimensiuni. ^[3] Se cunosc foarte puține lucruri despre împachetarea neregulată a hipersferei; este posibil ca în unele dimensiuni ambalajul mai dens să fie inegal. Un anumit sprijin pentru această presupunere provine din faptul că, în anumite dimensiuni (de exemplu, 10), ambalajul neregulat cel mai dens cunoscut este mai dens decât ambalajul regulat cunoscut.

Mărimea 24 este specială datorită existenței rețelei Leech , care are cel mai bun număr de sărutări (număr de sărutări) și pentru o lungă perioadă de timp ar fi trebuit să fie ambalajul celui mai dens rețea. În 2004, Cohn și Kumar ^{1 au} publicat o schiță ( preimprimare ) care a dovedit această presupunere și, în plus, a arătat că o împachetare inegală se poate îmbunătăți la împachetarea rețelei Leech, dacă valoarea nu este mai mare de 2 × 10 ⁻³⁰ .

O altă direcție de cercetare în dimensiunile superioare este încercarea de a găsi limitele asimptotice pentru densitatea celor mai dense ambalaje. În prezent, cel mai cunoscut rezultat este că există o rețea în dimensiunea n cu densitate mai mare sau egală cu $cn2^{-n}$ ${\ displaystyle cn2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle cn2 ^ {- n}}$ pentru un număr c .

Spațiul hiperbolic

Deși conceptul de cercuri și sfere poate fi extins la spațiul hiperbolic, căutarea unor ambalaje mai dense în ele devine mult mai dificilă. Într-un spațiu hiperbolic nu există nicio limită la numărul de sfere care pot înconjura o altă sferă (de exemplu, cercurile Ford pot fi imaginate ca un aranjament de cercuri hiperbolice identice în care fiecare cerc este înconjurat de un număr infinit de alte cercuri). Conceptul de densitate medie devine, de asemenea, mult mai dificil de definit cu precizie.

În ciuda acestor dificultăți, Charles Radin și Lewis Bowen de la Universitatea Texas din Austin au arătat în mai 2002 că cele mai dense ambalaje din orice spațiu hiperbolic sunt aproape întotdeauna neregulate.

Alte spații

Ambalarea sferei pe colțurile unui hipercub (cu sfere definite de distanța Hamming ) corespunde codurilor care corectează eroarea de proiectare (proiectare): dacă sferele au rază, atunci centrele lor sunt cuvintele unui cod care corectează eroarea d . Pachetele de rețea corespund codurilor liniare. Există alte relații mai subtile între ambalarea sferelor euclidiene și codurile de corectare a erorilor; prin urmare, codul binar Golay este strâns legat de rețeaua Leech cu 24 de dimensiuni.

Notă

^ (EN) Eric W. Weisstein, Circle Packing , în MathWorld , Wolfram Research.
^(EN) C. Song, Wang, P. & Makse, HA, O diagramă de fază pentru materia blocată , în Nature , vol. 453, 29 mai 2008, pp. 629-632, DOI : 10.1038 / nature06981 .
^ (EN) Eric W. Weisstein,HyperSphere Packing , în MathWorld , Wolfram Research.

Bibliografie

( EN ) T. Aste și D. Weaire "The Pursuit of Perfect Packing" (Institutul de Fizică Editura Londra 2000) ISBN 0-7503-0648-3
(EN) Bowen Lewis și Charles Radin (2003) „ Ambalaje dense de sfere egale în spațiul hiperbolic ” ^{[ link rupt ]} (preimprimare a articolului în Geometrie discretă și de calcul )
( EN ) Chaikin, Paul „Reference Frame”, Physics Today, iunie 2007 p8.
(EN) Henry Cohn și Abhinav Kumar, Cel mai dens zăbrele în douăzeci și patru de dimensiuni , în Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, vol. 10, 2004, pp. 58–67, DOI : 10.1090 / S1079-6762-04-00130-1 , ISSN 1079-6762 ( WC ACNP ) , MR 2075897 . arΧiv : math.MG/0403263 (Soluția pentru cazul cu 24 de dimensiuni).
( EN ) Conway, JH & Sloane, NJH (1998) „ Sphere Packings, Lattices and Groups ” (Ediția a treia). ISBN 0-387-98585-9
( EN ) CA Rogers, The Existence Theorems in the Geometry of Numbers , The Annals of Mathematics, 2nd Ser., 48: 4 (1947), 994-1002 (The $n2^{-n}$ ${\ displaystyle n2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle n2 ^ {- n}}$ rezultat menționat mai sus. În ciuda celor 60 de ani de cercetare, doar rezultatul a fost îmbunătățit în acest rezultat).
( EN ) NJA Sloane, The Sphere Packing Problem , arΧiv : math.CO/0207256 (Un sondaj tehnic din 2002).
( EN ) NJA Sloane, (ianuarie 1984) „The Packing of Spheres”, Scientific American , 250 , pp. 116–125

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre sfere de împachetare

linkuri externe

( EN ) Dana Mackenzie (mai 2002) „ O mizerie fină ” (New Scientist)

O prezentare non-tehnică a împachetării în spațiul hiperbolic.

(EN) Eric W. Weisstein, Circle Packing în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) "Kugelpackungen (Sphere Packing)" (TE Dorozinski)
( EN ) "3D Sphere Packing Applet" Arhivat la 26 aprilie 2009 la Internet Archive . Applet Java Sphere Packing
( EN ) Applet java „Densest Packing of sferes into aphere”
( RO ) Exercițiu practic de împachetare a bilelor , pe matifutbol.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] (EN) Eric W. Weisstein, Circle Packing , în MathWorld , Wolfram Research.

[nature-2] (EN) C. Song, Wang, P. & Makse, HA, O diagramă de fază pentru materia blocată , în Nature , vol. 453, 29 mai 2008, pp. 629-632, DOI : 10.1038 / nature06981 .

[3] (EN) Eric W. Weisstein,HyperSphere Packing , în MathWorld , Wolfram Research.

[1]

[2]

[3]