Indicele lanțului

Lanțul (în engleză chain indexes indexes) sunt toate numerele indexului , volumele și prețurile, construite cu așa-numita metodă de înlănțuire, în care „anul de referință (anul de referință) este modificat în fiecare perioadă.

Acești indici sunt opuși așa-numiților indici de bază fixă , în care, dimpotrivă, anul de bază este menținut constant pentru un anumit număr de perioade.

În termeni formali, indicând cu $\ I(0,t)$ ${\ displaystyle \ I (0, t)}$ ${\ displaystyle \ I (0, t)}$ un anumit număr de index calculat pentru intervalul dintre 0 și t, în concatenare, acesta se obține după cum urmează:

I(0,t)=\prod _{i=0}^{t-1}I(i,i+1)=I(0,1)\cdot I(1,2)\cdot \ldots \cdots I(t-1,t)

{\ displaystyle I (0, t) = \ prod _ {i = 0} ^ {t-1} I (i, i + 1) = I (0,1) \ cdot I (1,2) \ cdot \ ldots \ cdots I (t-1, t)}

{\ displaystyle I (0, t) = \ prod _ {i = 0} ^ {t-1} I (i, i + 1) = I (0,1) \ cdot I (1,2) \ cdot \ ldots \ cdots I (t-1, t)}

Prin urmare, indicele pentru perioada dintre 0 și t se obține ca produs al indicilor t calculat între două perioade consecutive.

Avantajele și dezavantajele indexurilor lanțului

Implementarea indicilor lanțului implică necesitatea actualizării sistemului de ponderare în fiecare perioadă (anul pentru indicii contabili naționali ). Prin urmare, volumul de muncă al birourilor statistice crește.

Astfel, de exemplu, adoptarea metodei de înlănțuire pentru construirea indicelui prețurilor de consum (IPC), realizată începând din 2005 pentru a respecta standardele EUROSTAT , obligă ISTAT să actualizeze anual coșul de referință pentru calcularea indicelui prețului Laspeyres .

Pe de altă parte, adoptarea indicilor lanțului evită necesitatea așa-numitei rebasing , adică revizuirea seriei istorice de prețuri și volume la fiecare modificare a anului de bază.

Deoarece niciunul dintre numerele de indice factuale adoptate ( Laspeyres , Paasche , Fisher și Törnqvist ) nu are proprietatea tranzitivității (sau circularității ), ^[1] indicele lanțului va fi, în general, diferit de indicele corespunzător de bază fixă, unde nu este vorba de două perioade consecutive.

Astfel, de exemplu, IPC în anul 2000 de bază 1995 va fi diferit de indicele lanțului corespunzător, calculat prin înmulțirea celor cinci indici de preț care se referă la două perioade consecutive (1996 anul 1995, 1997 anul de bază 1996, ..., 2000 bază anul 1999).

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că, deși niciunul dintre indici nu are proprietatea de tranzitivitate, deci va exista întotdeauna o divergență între cele două tipuri de indici, această divergență va fi mai mică dacă se vor adopta indicii Fisher sau Törnqvist în construcția indicii lanțului.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că, având în vedere divergența dintre indici de bază fixă și indici de lanț, chiar dacă sunt utilizați indici Laspeyres sau Paasche pentru construirea măsurătorilor de volum, proprietatea aditivității se pierde: proprietatea măsurătorilor de volum. suma componentelor dezumflate ale unui agregat, se obține agregatul total, care este el însuși dezumflat. Această proprietate face posibilă obținerea valorii totale a unui agregat din suma componentelor sale, similar cu ceea ce se întâmplă în evaluări la prețuri curente. ^[2]

Principalul avantaj al înlănțuirii este că „se utilizează un sistem de ponderare care este reînnoit anual în funcție de dinamica pieței și acest lucru garantează cea mai bună reprezentare a creșterii reale a agregatelor economice”. ( ISTAT, indicii lanțului pentru conturile naționale ).

Demonstrarea non-aditivității

Un indice de preț Laspeyres este calculat ca suma indicilor de preț simpli , referindu-se la un singur produs, fiecare ponderat în funcție de cantitățile timpului de bază; indicând cu N numărul de produse, cu p _{i 0} și q _{i 0} prețul și cantitatea la momentul de bază al produsului j- lea, cu p _{i 1} prețul la momentul actual, indicele se calculează după cum urmează:

L_{0,1}={\frac {\sum _{i=1}^{N}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i0}q_{i0}}}

{\ displaystyle L_ {0,1} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ { i0} q_ {i0}}}}

{\ displaystyle L_ {0,1} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ { i0} q_ {i0}}}}

N adunările sumei la numărător pot fi grupate în diferite moduri; de exemplu, produsele pot fi comandate astfel încât primele N _{A să} fie produse alimentare ( A ) și următoarele NN _{A să} fie produse nealimentare ( B ):

\ {\begin{aligned}L_{0,1}&={\frac {\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i1}q_{i0}+\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i0}q_{i0}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i0}q_{i0}}}+{\frac {\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i0}q_{i0}}}=\\&={\frac {\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i0}q_{i0}}}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i0}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i0}q_{i0}}}+{\frac {\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i0}q_{i0}}}\cdot {\frac {\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i0}q_{i0}}{\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i0}q_{i0}}}=\\&={\frac {\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i0}q_{i0}}}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i0}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i0}q_{i0}}}+{\frac {\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i0}q_{i0}}}\cdot {\frac {\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i0}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i0}q_{i0}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=1}^{N_{A}}p_{i0}q_{i0}}}\cdot v_{0}^{A}+{\frac {\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i1}q_{i0}}{\sum _{i=(N_{A}+1)}^{N}p_{i0}q_{i0}}}\cdot v_{0}^{B}\end{aligned}}

{\ displaystyle \ {\ begin {align} L_ {0,1} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0} + \ sum _ { i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} + {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} = \\ & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N } p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}}} + {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ { i0} q_ {i0}} {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} = \\ & = {\ frac {\ sum _ { i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} + {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ { N} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} \\ & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0} } {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot v_ {0} ^ {A} + {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} { \ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot v_ {0} ^ {B} \ end {align}}}

{\ displaystyle \ {\ begin {align} L_ {0,1} & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0} + \ sum _ { i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} + {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} = \\ & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N } p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}}} + {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ { i0} q_ {i0}} {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} = \\ & = {\ frac {\ sum _ { i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} + {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ { N} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} \\ & = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i1} q_ {i0} } {\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {A}} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot v_ {0} ^ {A} + {\ frac {\ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i1} q_ {i0}} { \ sum _ {i = (N_ {A} +1)} ^ {N} p_ {i0} q_ {i0}}} \ cdot v_ {0} ^ {B} \ end {align}}}

Indicele general al prețurilor se obține astfel ca suma indicelui prețului produselor alimentare, L ^A _0,1 , ponderat cu ponderea cheltuielilor produselor alimentare asupra cheltuielilor totale la momentul de bază și cu indicele prețului produselor alimentare. Produse nealimentare, L ^B _0,1 , ponderat cu ponderea cheltuielilor aferente întotdeauna la momentul de bază. Dezvoltarea este similară cu cea a ratei de creștere a sumei a două variabile ; greutățile v ^A ₀ și v ^B ₀ sunt contribuțiile la creșterea indicelui general al prețurilor de către produsele alimentare și, respectiv, nealimentare.

Acum, ia în considerare un index general legat pentru timpul 2:

L_{0,2}=L_{0,1}L_{1,2}=(L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})(L_{1,2}^{A}v_{1}^{A}+L_{1,2}^{B}v_{1}^{B})

{\ displaystyle L_ {0,2} = L_ {0,1} L_ {1,2} = (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) (L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A} + L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ {B} )}}

{\ displaystyle L_ {0,2} = L_ {0,1} L_ {1,2} = (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) (L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A} + L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ {B} )}}

și indicii legați sectorial:

{\begin{cases}L_{0,2}^{A}=L_{0,1}^{A}L_{1,2}^{A}\\L_{0,2}^{B}=L_{0,1}^{B}L_{1,2}^{B}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} L_ {0,2} ^ {A} = L_ {0,1} ^ {A} L_ {1,2} ^ {A} \\ L_ {0,2} ^ { B} = L_ {0,1} ^ {B} L_ {1,2} ^ {B} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} L_ {0,2} ^ {A} = L_ {0,1} ^ {A} L_ {1,2} ^ {A} \\ L_ {0,2} ^ { B} = L_ {0,1} ^ {B} L_ {1,2} ^ {B} \ end {cases}}}

Dacă indicii concatenați au fost aditivi, ar trebui să apară următoarea egalitate:

L_{0,2}=(L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})(L_{1,2}^{A}v_{1}^{A}+L_{1,2}^{B}v_{1}^{B})=(L_{0,1}^{A}L_{1,2}^{A})v_{1}^{A}+(L_{0,1}^{B}L_{1,2}^{B})v_{1}^{B}

{\ displaystyle L_ {0,2} = (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) ( L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A} + L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ {B}) = (L_ {0,1} ^ {A} L_ {1,2} ^ {A}) v_ {1} ^ {A} + (L_ {0,1} ^ {B} L_ {1,2} ^ {B}) v_ {1} ^ {B} }

{\ displaystyle L_ {0,2} = (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) ( L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A} + L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ {B}) = (L_ {0,1} ^ {A} L_ {1,2} ^ {A}) v_ {1} ^ {A} + (L_ {0,1} ^ {B} L_ {1,2} ^ {B}) v_ {1} ^ {B} }

Acest lucru se poate întâmpla în următoarele condiții: ^[3]

rescrierea egalității sub forma:
$(L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})(L_{1,2}^{A}v_{1}^{A})+(L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})(L_{1,2}^{B}v_{1}^{B})=(L_{0,1}^{A})(L_{1,2}^{A}v_{1}^{A})+(L_{0,1}^{B})(L_{1,2}^{B}v_{1}^{B})$ ${\ displaystyle (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) (L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A}) + (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B }) (L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ {B}) = (L_ {0,1} ^ {A}) (L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A}) + (L_ {0,1} ^ {B}) (L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ {B})}$ ${\ displaystyle (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) (L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A}) + (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B }) (L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ {B}) = (L_ {0,1} ^ {A}) (L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A}) + (L_ {0,1} ^ {B}) (L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ {B})}$
vedem că s-ar verifica dacă ar rezulta:
$L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B}=L_{0,1}^{A}=L_{0,1}^{B}$ ${\ displaystyle L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B} = L_ {0,1} ^ {A } = L_ {0,1} ^ {B}}$ ${\ displaystyle L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B} = L_ {0,1} ^ {A } = L_ {0,1} ^ {B}}$
adică:
$L_{0,1}=L_{0,1}^{A}=L_{0,1}^{B}$ ${\ displaystyle L_ {0,1} = L_ {0,1} ^ {A} = L_ {0,1} ^ {B}}$ ${\ displaystyle L_ {0,1} = L_ {0,1} ^ {A} = L_ {0,1} ^ {B}}$
aditivitatea ar fi, prin urmare, respectată dacă din timp 0 în timp 1 prețurile produselor alimentare și cele ale produselor nealimentare s-ar fi modificat exact în aceeași măsură, ceea ce ar fi evident egal cu cel al modificării nivelului general al prețurilor;
rescrierea egalității sub forma:
$\left((L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})-L_{0,1}^{A}\right)(L_{1,2}^{A}v_{1}^{A})+\left((L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})-L_{0,1}^{B}\right)(L_{1,2}^{B}v_{1}^{B})=0$ ${\ displaystyle \ left ((L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0, 1} ^ {A} \ right) (L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A}) + \ left ((L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ { A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0,1} ^ {B} \ dreapta) (L_ {1,2} ^ {B} v_ {1 } ^ {B}) = 0}$ ${\ displaystyle \ left ((L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0, 1} ^ {A} \ right) (L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ {A}) + \ left ((L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ { A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0,1} ^ {B} \ dreapta) (L_ {1,2} ^ {B} v_ {1 } ^ {B}) = 0}$
și menționând că:
$v_{0}^{A}=1-v_{0}^{B},\quad v_{0}^{B}=1-v_{0}^{A}$ ${\ displaystyle v_ {0} ^ {A} = 1-v_ {0} ^ {B}, \ quad v_ {0} ^ {B} = 1-v_ {0} ^ {A}}$ ${\ displaystyle v_ {0} ^ {A} = 1-v_ {0} ^ {B}, \ quad v_ {0} ^ {B} = 1-v_ {0} ^ {A}}$
coeficienții cu care indicii sectoriali sunt înmulțiți de la momentul 1 la momentul 2 cu ponderile relative pot fi procesați după cum urmează:
$(L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})-L_{0,1}^{A}=(L_{0,1}^{A}-L_{0,1}^{A}v_{0}^{B}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})-L_{0,1}^{A}=(L_{0,1}^{B}-L_{0,1}^{A})v_{0}^{B}$ ${\ displaystyle (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0,1} ^ {A} = (L_ {0,1} ^ {A} -L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {B} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0,1} ^ {A} = (L_ {0,1} ^ {B} -L_ {0,1} ^ {A}) v_ {0} ^ {B}}$ ${\ displaystyle (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0,1} ^ {A} = (L_ {0,1} ^ {A} -L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {B} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0,1} ^ {A} = (L_ {0,1} ^ {B} -L_ {0,1} ^ {A}) v_ {0} ^ {B}}$
$(L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}v_{0}^{B})-L_{0,1}^{B}=(L_{0,1}^{A}v_{0}^{A}+L_{0,1}^{B}-L_{0,1}^{B}v_{0}^{A})-L_{0,1}^{B}=(L_{0,1}^{A}-L_{0,1}^{B})v_{0}^{A}$ ${\ displaystyle (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0,1} ^ {B} = (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} -L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {A}) - L_ {0,1} ^ {B} = (L_ {0,1} ^ {A} -L_ {0,1} ^ {B}) v_ {0} ^ {A}}$ ${\ displaystyle (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {B}) - L_ {0,1} ^ {B} = (L_ {0,1} ^ {A} v_ {0} ^ {A} + L_ {0,1} ^ {B} -L_ {0,1} ^ {B} v_ {0} ^ {A}) - L_ {0,1} ^ {B} = (L_ {0,1} ^ {A} -L_ {0,1} ^ {B}) v_ {0} ^ {A}}$
substituind în egalitate așa cum a fost rescris mai sus, obținem:
$(L_{0,1}^{B}-L_{0,1}^{A})v_{0}^{B}L_{1,2}^{A}v_{1}^{A}-(L_{0,1}^{B}-L_{0,1}^{A})v_{0}^{A}L_{1,2}^{B}v_{1}^{B}=0$ ${\ displaystyle (L_ {0,1} ^ {B} -L_ {0,1} ^ {A}) v_ {0} ^ {B} L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ { A} - (L_ {0,1} ^ {B} -L_ {0,1} ^ {A}) v_ {0} ^ {A} L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ { B} = 0}$ ${\ displaystyle (L_ {0,1} ^ {B} -L_ {0,1} ^ {A}) v_ {0} ^ {B} L_ {1,2} ^ {A} v_ {1} ^ { A} - (L_ {0,1} ^ {B} -L_ {0,1} ^ {A}) v_ {0} ^ {A} L_ {1,2} ^ {B} v_ {1} ^ { B} = 0}$
adică:
${\frac {L_{1,2}^{A}}{L_{1,2}^{B}}}={\frac {v_{0}^{A}v_{1}^{B}}{v_{0}^{B}v_{1}^{A}}}={\frac {v_{1}^{B}/v_{0}^{B}}{v_{1}^{A}/v_{0}^{A}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {1,2} ^ {A}} {L_ {1,2} ^ {B}}} = {\ frac {v_ {0} ^ {A} v_ {1} ^ { B}} {v_ {0} ^ {B} v_ {1} ^ {A}}} = {\ frac {v_ {1} ^ {B} / v_ {0} ^ {B}} {v_ {1} ^ {A} / v_ {0} ^ {A}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {1,2} ^ {A}} {L_ {1,2} ^ {B}}} = {\ frac {v_ {0} ^ {A} v_ {1} ^ { B}} {v_ {0} ^ {B} v_ {1} ^ {A}}} = {\ frac {v_ {1} ^ {B} / v_ {0} ^ {B}} {v_ {1} ^ {A} / v_ {0} ^ {A}}}}$
ar exista deci aditivitate dacă variația prețurilor în cele două sectoare de la momentul 1 la momentul 2 ar fi exact invers proporțională cu cea care a avut loc în volumele relative de la momentul 0 la momentul 1.

Acestea sunt condiții destul de restrictive; în general, prin urmare, aditivitatea nu este satisfăcută.

Notă

^ Un număr index are proprietatea de tranzitivitate sau circularitate dacă și numai dacă, pentru fiecare $\ 0\leq S\leq T$ ${\ displaystyle \ 0 \ leq S \ leq T}$ ${\ displaystyle \ 0 \ leq S \ leq T}$ , avem asta: $\ I(0,t)=I(0,s)I(s,t)$ ${\ displaystyle \ I (0, t) = I (0, s) I (s, t)}$ ${\ displaystyle \ I (0, t) = I (0, s) I (s, t)}$ .
^ Nici indicele Fisher, nici indicele Törnqvist nu au această proprietate, deci nu există dezavantaje în trecerea de la indexurile de volum Fisher sau Törnqvist fixe la indexurile lanțului. Acesta este și motivul pentru care înlănțuirea este întotdeauna preferată acolo unde sunt utilizați astfel de indici.
^ Dovada este adaptată din: R. Cristadoro și R. Sabbatini, „Numărul indicelui prețurilor de consum: dezbaterea recentă și principalele utilizări în analiza economică în Italia”, DCNAPS - Universitatea La Sapienza, Cercetare nr. 27, 1999.

Elemente conexe

Home Economics : ajuta Wikipedia prin extinderea economiei

[nota_transitivo-1] Un număr index are proprietatea de tranzitivitate sau circularitate dacă și numai dacă, pentru fiecare $\ 0\leq S\leq T$ ${\ displaystyle \ 0 \ leq S \ leq T}$ ${\ displaystyle \ 0 \ leq S \ leq T}$ , avem asta: $\ I(0,t)=I(0,s)I(s,t)$ ${\ displaystyle \ I (0, t) = I (0, s) I (s, t)}$ ${\ displaystyle \ I (0, t) = I (0, s) I (s, t)}$ .

[nota_addittivo-2] Nici indicele Fisher, nici indicele Törnqvist nu au această proprietate, deci nu există dezavantaje în trecerea de la indexurile de volum Fisher sau Törnqvist fixe la indexurile lanțului. Acesta este și motivul pentru care înlănțuirea este întotdeauna preferată acolo unde sunt utilizați astfel de indici.

[3] Dovada este adaptată din: R. Cristadoro și R. Sabbatini, „Numărul indicelui prețurilor de consum: dezbaterea recentă și principalele utilizări în analiza economică în Italia”, DCNAPS - Universitatea La Sapienza, Cercetare nr. 27, 1999.

[1]

[2]

[3]