Interferometru Mach-Zehnder

Schema interferometrului Mach-Zehnder.

Interferometrul Mach-Zehnder este un tip de interferometru cu diviziune de amplitudine, format din două oglinzi și două divizoare de fascicule . Undele din sistem parcurg două căi diferite; diferența de cale optică poate fi introdusă printr-o mică asimetrie într-unul din divizoarele de fascicule. Deoarece cele două căi sunt separate, acest interferometru este dificil de aliniat. În plus, un schimbător de fază permite introducerea unei schimbări de fază variabile a undei între cele două căi, inclusă în interval $(0^{\circ }\leq \Delta \phi \leq 180^{\circ })$ ${\ displaystyle (0 ^ {\ circ} \ leq \ Delta \ phi \ leq 180 ^ {\ circ})}$ ${\ displaystyle (0 ^ {\ circ} \ leq \ Delta \ phi \ leq 180 ^ {\ circ})}$ . Aplicațiile sale sunt foarte numeroase: în general de-a lungul uneia dintre cele două căi se introduce un obiect, de exemplu o sticlă , care produce o diferență în calea optică. Cunoscând această diferență, este posibil, de exemplu, să calculăm indicele de refracție al mediului intermediar.

Analiza cuantică

Traseu obișnuit

Analiza căii cu vectori de coloană.

Funcționarea interferometrului poate fi analizată imaginându-se să trimită o singură cuantă de energie ( foton ) și nu un fascicul generic de lumină coerentă. Un vector coloană este asociat cu fiecare cale, care ia în considerare probabilitatea ca particula să finalizeze una sau alta cale.

Figura arată sistemul în cauză: vectorul ${\binom {0}{1}}$ ${\ displaystyle {\ binom {0} {1}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {0} {1}}}$ indică prima cale a fotonului (stânga jos a imaginii), există deci o probabilitate egală cu 1 ca aceasta să urmeze această cale, în timp ce probabilitatea relativă la calea superioară este zero. La întâlnirea cu primul splitter de fascicul (BS1), starea fotonului este schimbată: în termeni „clasici” BS1 reflectă jumătate din fasciculul incident și transmite cealaltă jumătate, dar, fiind o cuantică de energie, fotonul nu poate fi împărțit, de aceea Este posibil să ne imaginăm că particula completează ambele căi simultan și apoi interferează cu ea însăși în al doilea separator de fascicul (BS2). Pentru a găsi noul vector coloană, care exprimă starea fotonului odată ce BS1 a fost trecut, este suficient să se aplice produsul vector între matricea separatorului de fascicul și starea fotonului incident:

$BS1={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle BS1 = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle BS1 = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Astfel obținem că noul vector la ieșirea BS1 va fi:

${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}\times {\binom {0}{1}}={\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ times {\ binom {0} {1}} = {\ binom {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ times {\ binom {0} {1}} = {\ binom {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}}$

Probabilitatea ca fotonul să urmeze calea superioară coincide cu cea de a urma calea inferioară (evenimente echiprobabile) și este egală cu $\left\vert {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right\vert ^{2}={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ left \ vert {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right \ vert ^ {2} = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ left \ vert {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right \ vert ^ {2} = {\ frac {1} {2}}}$

Indicând cu $|\uparrow \rangle$ ${\ displaystyle | \ uparrow \ rangle}$ $| \ uparrow \ rangle$ starea fotonului care face calea superioară și cu $|\downarrow \rangle$ ${\ displaystyle | \ downarrow \ rangle}$ $| \ downarrow \ rangle$ starea relativă la calea inferioară, în interiorul interferometrului, fotonul se află într-o suprapunere de stări , definite ca:

$|\Psi \rangle =\alpha \cdot |\uparrow \rangle +\beta \cdot |\downarrow \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot |\uparrow \rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot |\downarrow \rangle$ ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle = \ alpha \ cdot | \ uparrow \ rangle + \ beta \ cdot | \ downarrow \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ cdot | \ uparrow \ rangle + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ cdot | \ downarrow \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle = \ alpha \ cdot | \ uparrow \ rangle + \ beta \ cdot | \ downarrow \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ cdot | \ uparrow \ rangle + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ cdot | \ downarrow \ rangle}$

Oglinzile M1 și M2 nu modifică probabilitățile, vectorul rămâne același cu cel calculat anterior până când se întâlnește al doilea separator de fascicul (BS2).

Pentru a calcula noua stare a fotonului, se ia în considerare matricea referitoare la BS2:

$BS2={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle BS2 = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle BS2 = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}}$

și îl aplicăm ca produs vector la starea fotonului, după cum urmează:

${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\times {\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}={\binom {1}{0}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}} \ times {\ binom {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}} = {\ binom {1} {0}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}} \ times {\ binom {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}} = {\ binom {1} {0}}}$

Rezultatul arată că fotonul trimis în interferometru va fi detectat exclusiv de D0 (probabilitatea de a efectua calea superioară este egală cu 1) și niciodată de D1, plasat de-a lungul căii inferioare. În mod complementar, un foton pregătit în stat ${\binom {1}{0}}$ ${\ displaystyle {\ binom {1} {0}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {1} {0}}}$ va ieși din interferometru în stare ${\binom {0}{1}}$ ${\ displaystyle {\ binom {0} {1}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {0} {1}}}$ și, prin urmare, va fi întotdeauna detectat de D1 și niciodată de D0. ^[1]

Calea întreruptă

Interferometru Mach-Zehnder cu traseul inferior blocat.

Dacă structura interferometrului este modificată prin plasarea, de exemplu, a unui bloc de material absorbant de-a lungul căii inferioare, este posibil să se reanalizeze căile fotonice (și, prin urmare, probabilitățile asociate) folosind metoda ilustrată în paragraful anterior. Schema este prezentată în figură.

Fotonul incident este plasat în stare ${\binom {0}{1}}$ ${\ displaystyle {\ binom {0} {1}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {0} {1}}}$ așa cum s-a văzut anterior, primul separator de fascicul BS1 modifică probabilitățile ca fotonul să producă un vector de coloană egal cu ${\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}}$ . În acest moment, totuși, fotonul poate continua pe calea superioară cu o probabilitate egală cu ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ frac {1} {2}$ sau să fie absorbit de blocul consistent cu probabilitate egală. După cum se indică prin figură, odată ce M1 este depășit, starea fotonului va fi ${\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{0}}$ ${\ displaystyle {\ binom {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {0}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {0}}}$ . În cele din urmă, fotonul va întâlni al doilea separator de fascicul BS2 din care este posibil să se obțină starea finală prin calcularea produsului vectorial între matricea caracteristică a BS2 și starea anterioară: ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\times {\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{0}}={\binom {\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}} \ times {\ binom {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} {0}} = {\ binom {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}} \ times {\ binom {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} {0}} = {\ binom {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {2}}}}$ Prin urmare, va exista o probabilitate egală cu $|{\frac {1}{2}}|^{2}={\frac {1}{4}}$ ${\ displaystyle | {\ frac {1} {2}} | ^ {2} = {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle | {\ frac {1} {2}} | ^ {2} = {\ frac {1} {4}}}$ dacă fotonul este detectat de D0 sau de D1.

Acest rezultat este uimitor, deoarece permite efectuarea unei măsurări fără a interacționa direct cu sistemul măsurat și este un fenomen al mecanicii cuantice care nu are analog în lumea clasică.

În cele din urmă, rezultatele acestei configurații a interferometrului Mach Zehnder sunt:

foton absorbit cu o probabilitate egală cu ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ frac {1} {2}$
foton detectat de D0 cu probabilitate egală cu ${\frac {1}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$ ${\ frac {1} {4}}$
foton detectat de D1 cu probabilitate egală cu ${\frac {1}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$ ${\ frac {1} {4}}$

Rezultatul obținut este consecvent în acest sens ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}} = 1}$

Comparând cele două cazuri analizate (configurația „clasică” și configurația cu obstacol) cazul în care D1 detectează fotonul este un indicator al prezenței unui obstacol de-a lungul căii inferioare, dar, în mod substanțial, particula nu a interacționat niciodată cu materialul absorbant. Acest fenomen nu există în fizica clasică și este acoperit în mod exhaustiv de celebrul experiment de gândire Elitzur-Vaidman , în care este posibil să se „măsoare” funcționarea corectă (sau nu) a unei bombe fără a declanșa mecanismul de detonare. ^[2]