Teoria K răsucită

K-teoria este o structură matematică care joacă un rol central în topologia algebrică , algebra și teoria operatorilor . Teoria K răsucită este o versiune a acesteia din urmă.

Introducere

Teoria K a spațiului M este inelul care clasifică topologiile fibrărilor pe spațiul M. Introdus acum 50 de ani de Alexander Grothendieck , între timp au fost descoperite mai multe aplicații în fizică , în special pentru calculul anomaliilor din teoria cuantică. de câmpuri și, în ultimii ani, pentru clasificarea D-brane în teoria șirurilor . Această din urmă aplicație a fost conjecturată în 1997 de Ruben Minasian și Gregory Moore în articolul lor K-theory and Ramond-Ramond Charge ^[1] . Ulterior, mulți cercetători au încercat să generalizeze, aplicându-și rezultatele la întâmplare, în prezența fluxurilor Neveu-Schwarz , însă fără niciun succes, până când un grup de matematicieni de la Universitatea din Adelaide au realizat că, pentru a generaliza teoria K-, era nevoie de teoria K răsucită.

Există mai multe generalizări ale teoriei K. De exemplu, poate fi răsucit cu o cohomologie clasa-p. Cu toate acestea, doar în cazul teoriei K răsucite cu a treia clasă de cohomologie există o interpretare geometrică. Din fericire, acesta este cazul „relevant” pentru teoria corzilor .

Definiție matematică

În 1989, Jonathan Rosenberg a introdus teoria K răsucită în algebrele cu urmărire continuă din articolul din punctul de vedere teoretic al pachetului ^[2] . Înainte de a-l explica, el s-a referit la o formulare a teoriei K a spațiului M propusă de Michael Atiyah . Să luăm în considerare un spațiu Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ și, de asemenea, spațiul Fred ( ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ), care constă din toți operatorii Fredholm de pe ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . Ei bine, Atiyah a demonstrat că teoria K a lui M este egală cu spațiul funcțiilor de la M la Fred ( ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ), unde vom identifica funcțiile homotopice . Există, de asemenea, un alt mod de a descrie o funcție de la M la Fred ( ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ). Am putea construi o fibrigație trivială a lui Fred ( ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ) pe M, adică produsul lui M și Fred ( ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ), și apoi o secțiune a acestei fibrilații banale, și exact o funcție de la M la Fred ( ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ). Astfel, Atiyah a dovedit că teoria K a lui M corespunde secțiunilor fibrării triviale a lui Fred ( ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ) pe M.

Rosenberg a generalizat această formulare Atiyah pentru a include H de 3 clase care joacă un rol cheie în teoria corzilor. El a înlocuit fibrarea trivială din definițiile Atiyah cu o fibrare nontrivială, asociată cu o fibrare PU ( ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ), operatorii proiectivi unitari pe spațiul Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . Aceste fibratii sunt clasificate exact de clasa 3, prin urmare fiecare H corespunde unei fibratii si deci unei teorii K rasucite. După aceea, el a definit o teorie K răsucită pentru fiecare clasă de 3 H. Relevanța teoriei corzilor a rămas, totuși, un mister timp de aproximativ zece ani după articolul lui Rosenberg.

Teoria K răsucită în teoria corzilor

O problemă importantă în teoria șirurilor este clasificarea D-brane ; în practică, încercăm să înțelegem ce configurații ale D-branelor sunt consistente și care sunt stabile. Mai jos considerăm această problemă în teoria cunoscută sub numele de teoria superstring de tip II.

În anii 1990, se credea că D-brane sunt clasificate după cohomologie integrală. Intuitiv, un D-brane poate înfășura orice ciclu și va fi stabil dacă nu a existat deformare ( cobordism ) de la ciclu până la nimic. Dar această clasificare s-a dovedit prea simplistă. De exemplu, în 1999 am descoperit din efectul dielectric Myers ^[3] că o brânză își poate mări dimensiunea. Prin urmare, cel puțin, clasa deformațiilor care trebuie luate în considerare trebuia să fie mărită. Între timp, Minasian și Moore au propus o alternativă, și anume că, în cazuri speciale, branele D sunt clasificate după teoria K. În 2000, Peter Bouwknegt și Mathai Varghese au extins această conjectură la cazul general expunând în articolul lor D-brane, câmpurile B și teoria K răsucită ^[4] modul în care D-brane sunt clasificabile nu prin teoria K obișnuită, ci , dimpotrivă, din răsucita teorie K a lui Rosenberg.

Pentru a înțelege de ce cei mai mulți stringiști au încredere în această conjectură astăzi, trebuie să ne întoarcem la 1999. În Anomalii în teoria șirurilor cu D-brane ^[5] , Daniel Freed și Edward Witten au arătat că, contrar clasificării cohomologiei, există diverse cicluri pe care o singură D-brane nu le poate înfășura niciodată. Astăzi, astfel de D-brane „interzise” se spune că suferă de o anomalie Freed-Witten . Prin urmare, configurațiile branurilor consistente nu corespund întregii cohomologii, ci doar subsetului de brane care nu sunt anormale.

Juan Maldacena, Gregory Moore și Nathan Seiberg, în articolul lor D-Brane Instantons and K-Theory Charges ^[6] , au extins acest argument pentru a arăta că chiar și unele brane consistente, grație anomaliei Freed-Witten, se degradează pentru procesele Myers. Prin urmare, clasificarea finală ar trebui să fie coeficientul subsetului de D-brane care nu suferă de anomalie pentru subsetul de D-brane care sunt instabile. Folosind un truc matematic numit „ secvență spectrală Atiyah-Hirzebruch ”, ei au dovedit că acest coeficient al unui subset este tocmai teoria K răsucită, așa cum au conjecturat Bouwknegt și Mathai.

Notă

^(EN) Ruben Minasian și Gregory Moore, K-theory și Ramond-Ramond Charge 1997
^(EN) Continuu-Trace algebre din mănunchiul teoretico punctul de vedere Filed 27 martie 2006 în Internet Archive .
^(EN) efect dielectric al Myers
^(EN) și Peter Bouwknegt Mathai Varghese, D-branes, B-fields și K-teoria răsucite , 2000
^(EN) Daniel Freed și Edward Witten, Anomalii în teoria corzilor cu D-brane
^(EN) Juan Maldacenza, Gregory Moore și Nathan Seiberg, instantonii D-Brane și taxele K-Theory

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Ruben Minasian și Gregory Moore, K-theory și Ramond-Ramond Charge 1997

[2] (EN) Continuu-Trace algebre din mănunchiul teoretico punctul de vedere Filed 27 martie 2006 în Internet Archive .

[3] (EN) efect dielectric al Myers

[4] (EN) și Peter Bouwknegt Mathai Varghese, D-branes, B-fields și K-teoria răsucite , 2000

[5] (EN) Daniel Freed și Edward Witten, Anomalii în teoria corzilor cu D-brane

[6] (EN) Juan Maldacenza, Gregory Moore și Nathan Seiberg, instantonii D-Brane și taxele K-Theory

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]