Lema Kronecker

În matematică , lema Kronecker este un rezultat al relației dintre convergența unei secvențe și convergența unei anumite serii în raport cu aceasta. ^[1] Lema este adesea utilizată în dovezile teoremelor asupra sumelor variabilelor aleatoare independente, cum ar fi legea numerelor mari . Lema este numită după matematicianul german Leopold Kronecker .

Lema

De sine $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ este o secvență infinită de numere reale astfel încât

\sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s

{\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} x_ {m} = s}

{\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} x_ {m} = s}

există și este finit, apoi pentru fiecare succesiune în creștere $0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots$ ${\ displaystyle 0 <b_ {1} \ leq b_ {2} \ leq b_ {3} \ leq \ ldots}$ ${\ displaystyle 0 <b_ {1} \ leq b_ {2} \ leq b_ {3} \ leq \ ldots}$ Și $b_{n}\to \infty$ ${\ displaystyle b_ {n} \ to \ infty}$ ${\ displaystyle b_ {n} \ to \ infty}$ avem asta

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x_ {k} = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x_ {k} = 0.}

Demonstrație

Lasa-i sa fie $S_{k}$ ${\ displaystyle S_ {k}}$ $S_k$ sumele parțiale ale succesiunii $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ . Folosind adăugarea piesei ,

{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}

{\ displaystyle {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x_ {k} = S_ {n} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x_ {k} = S_ {n} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k}}

A luat o $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ , tu alegi $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $|S_{k}-s|<\epsilon$ ${\ displaystyle | S_ {k} -s | <\ epsilon}$ ${\ displaystyle | S_ {k} -s | <\ epsilon}$ pentru fiecare $k>N$ ${\ displaystyle k> N}$ ${\ displaystyle k> N}$ , întotdeauna posibil, deoarece secvența converge în $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Apoi, membrul potrivit este:

S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}

{\ displaystyle S_ {n} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ { k} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k}}

{\ displaystyle S_ {n} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ { k} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k}}

=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)

{\ displaystyle = S_ {n} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) s - {\ frac { 1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) (S_ {k} -s)}

{\ displaystyle = S_ {n} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) s - {\ frac { 1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = N} ^ {n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) (S_ {k} -s)}

=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).

{\ displaystyle = S_ {n} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k} - {\ frac {b_ {n} -b_ {N}} {b_ {n}}} s - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = N} ^ { n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) (S_ {k} -s).}

{\ displaystyle = S_ {n} - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) S_ {k} - {\ frac {b_ {n} -b_ {N}} {b_ {n}}} s - {\ frac {1} {b_ {n}}} \ sum _ {k = N} ^ { n-1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) (S_ {k} -s).}

Acum, încordându-se $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ la infinit, primul termen tinde să $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , care este anulat odată cu al treilea. Al doilea termen merge la zero (deoarece suma este peste un număr finit de termeni). De la succesiune $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este în creștere, ultimul addendum este mărit cu $\epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon (b_ {n} -b_ {N}) / b_ {n} \ leq \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon (b_ {n} -b_ {N}) / b_ {n} \ leq \ epsilon}$ . Deci rezumând, pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ poți găsi o $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât