Teorema celor trei serii a lui Kolmogorov

În teoria probabilității , teorema celor trei serii a lui Kolmogorov stabilește când converg o serie de variabile aleatoare independente, utilizând convergența altor trei serii diferite. Teorema poartă numele matematicianului rus Andrei Nikolaevich Kolmogorov .

Afirmație

Este $(X_{n})_{n}$ ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n}}$ $(X_n) _n$ o succesiune de variabile aleatoare independente. Apoi seria $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} X_ {n}}$ converge aproape sigur dacă și numai dacă există un $K>0$ ${\ displaystyle K> 0}$ $K> 0$ astfel încât să se aplice următoarele trei condiții:

$\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} (|X_{n}|>K)<+\infty$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {P} (| X_ {n} |> K) <+ \ infty}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {P} (| X_ {n} |> K) <+ \ infty}$ ;
$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {E} [X_{n}\mathbf {1} _{\left\{|X_{n}|\leq K\right\}}]<+\infty$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {E} [X_ {n} \ mathbf {1} _ {\ left \ {| X_ {n} | \ leq K \ right \} }] <+ \ infty}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {E} [X_ {n} \ mathbf {1} _ {\ left \ {| X_ {n} | \ leq K \ right \} }] <+ \ infty}$ ;
$\sum _{n=1}^{\infty }{\text{Var}}(X_{n}\mathbf {1} _{\left\{|X_{n}|\leq K\right\}})<+\infty$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ text {Var}} (X_ {n} \ mathbf {1} _ {\ left \ {| X_ {n} | \ leq K \ right \}}) <+ \ infty}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ text {Var}} (X_ {n} \ mathbf {1} _ {\ left \ {| X_ {n} | \ leq K \ right \}}) <+ \ infty}$ .

(Rețineți că $\mathbb {E} [X]$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X]}$ ${\ mathbb {E}} [X]$ denotă valoarea așteptată a variabilei aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , ${\text{Var}}(X)$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X)}$ denotă varianța $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , Și $\mathbf {1} _{A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$ funcția indicator a întregului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .)

De fapt, în cursul probei se arată că dacă există un $K>0$ ${\ displaystyle K> 0}$ $K> 0$ care îndeplinește cele trei condiții, atunci acestea sunt valabile pentru fiecare $K>0$ ${\ displaystyle K> 0}$ $K> 0$ .

Teorema celor trei serii poate fi utilizată, împreună cu lema lui Kronecker , pentru a dovedi legea puternică a numărului mare .

Bibliografie

( EN ) David Williams , Martingales delimitat în L ² , în Probability with Martingales , Cambridge , Cambridge University Press , 1991, pp. 115-116, ISBN 978-0-521-40605-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică