Lemă fundamentală a calculului variațiilor

În matematică , în special în calculul variațiilor , Lema fundamentală a calculului variațiilor este o lemă care permite transformarea unei probleme de variații de la forma slabă (variațională) la forma puternică (diferențială), pentru a putea să aplice toate instrumentele matematice ale calculului diferențial la problemă.

Un exemplu important de aplicare a lemei este derivarea ecuațiilor Euler-Lagrange din principiul variațional Hamilton .

Afirmație

Este $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ o funcție de clasă $C^{0}$ ${\ displaystyle C ^ {0}}$ $C ^ {0}$ într-un interval $(x_{1},x_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ $(x_ {1}, x_ {2})$ astfel încât

\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)h(x)dx=0

{\ displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) h (x) dx = 0}

{\ displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) h (x) dx = 0}

pentru fiecare funcție $h(x)\in C^{1}(x_{1},x_{2})$ ${\ displaystyle h (x) \ în C ^ {1} (x_ {1}, x_ {2})}$ ${\ displaystyle h (x) \ în C ^ {1} (x_ {1}, x_ {2})}$ admisibil (ceea ce implică faptul că $h(x_{1})=h(x_{2})=0$ ${\ displaystyle h (x_ {1}) = h (x_ {2}) = 0}$ ${\ displaystyle h (x_ {1}) = h (x_ {2}) = 0}$ ). Atunci $f(x)\equiv 0$ ${\ displaystyle f (x) \ equiv 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ equiv 0}$ , adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este identic nul în $(x_{1},x_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ $(x_ {1}, x_ {2})$ .

Demonstrație

Presupunem că este absurd că există $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ pentru care $f(x_{0})>0$ ${\ displaystyle f (x_ {0})> 0}$ $f (x_ {0})> 0$ . Apoi, deoarece f este continuu, prin teorema permanenței semnului există o vecinătate a $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ in care $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ , adică există $\tau >0$ ${\ displaystyle \ tau> 0}$ $\ tau> 0$ astfel încât $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ pentru fiecare x astfel încât $|x-x_{0}|<\tau$ ${\ displaystyle | x-x_ {0} | <\ tau}$ ${\ displaystyle | x-x_ {0} | <\ tau}$ . Așa să fie atunci