Matricea Toeplitz

În algebra liniară , o matrice Toeplitz sau matrice diagonală constantă este o matrice în care fiecare diagonală descendentă de la stânga la dreapta este constantă. De exemplu, următoarea matrice este o matrice Toeplitz:

{\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\i&h&g&f&a\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b & c & d & e \\ f & a & b & c & d \\ g & f & a & b & c \\ h & g & f & a & b \\ i & h & g & f & a \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b & c & d & e \\ f & a & b & c & d \\ g & f & a & b & c \\ h & g & f & a & b \\ i & h & g & f & a \ end {bmatrix}}}

Aceste matrice poartă numele matematicianului german Otto Toeplitz (1881-1940).

Fiecare matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ din următoarea formă

A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a_ {0} & a _ {- 1} & a _ {- 2} & \ ldots & \ ldots & a _ {- n + 1} \\ a_ {1} & a_ {0} & a_ {-1} & \ ddots && \ vdots \\ a_ {2} & a_ {1} & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & a _ {- 1} & a_ {-2} \\\ vdots && \ ddots & a_ {1} & a_ {0} & a _ {- 1} \\ a_ {n-1} & \ ldots & \ ldots & a_ {2} & a_ {1} & a_ {0} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a_ {0} & a _ {- 1} & a _ {- 2} & \ ldots & \ ldots & a _ {- n + 1} \\ a_ {1} & a_ {0} & a_ {-1} & \ ddots && \ vdots \\ a_ {2} & a_ {1} & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & a _ {- 1} & a_ {-2} \\\ vdots && \ ddots & a_ {1} & a_ {0} & a _ {- 1} \\ a_ {n-1} & \ ldots & \ ldots & a_ {2} & a_ {1} & a_ {0} \ end {bmatrix}}}

este o matrice Toeplitz .

Indicând cu $A_{ij}$ ${\ displaystyle A_ {ij}}$ $A _ {{ij}}$ elementul matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a rândului $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ și a coloanei $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ primesti:

A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}.

{\ displaystyle A_ {i, j} = A_ {i + 1, j + 1} = a_ {ij}.}

{\ displaystyle A_ {i, j} = A_ {i + 1, j + 1} = a_ {i-j}.}

O matrice Toeplitz nu este neapărat pătrată .

Proprietate

În general, o ecuație matricială

Ax=b

{\ displaystyle Ax = b}

Ax = b

reprezintă un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ecuații liniare . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice Toeplitz, atunci sistemul intră într-un caz particular (are doar $2n-1$ ${\ displaystyle 2n-1}$ ${\ displaystyle 2n-1}$ grade de libertate , în loc de $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ ). Prin urmare, se poate aștepta ca soluția unui sistem Toeplitz să fie obținută printr-o procedură specifică și simplă.

Acest lucru poate fi verificat prin transformare:

AU_{n}-U_{m}A,

{\ displaystyle AU_ {n} -U_ {m} A,}

{\ displaystyle AU_ {n} -U_ {m} A,}

care are două linii, unde $U_{k}$ ${\ displaystyle U_ {k}}$ ${\ displaystyle U_ {k}}$ este operatorul de reducere. Mai exact, putem, printr-un calcul simplu, să dovedim asta

AU_{n}-U_{m}A={\begin{bmatrix}a_{-1}&\cdots &a_{-n+1}&0\\\vdots &&&-a_{-n+1}\\\vdots &&&\vdots \\0&\cdots &&-a_{n-n-1}\end{bmatrix}},

{\ displaystyle AU_ {n} -U_ {m} A = {\ begin {bmatrix} a _ {- 1} & \ cdots & a _ {- n + 1} & 0 \\\ vdots &&& - a _ {- n + 1} \ \\ vdots &&& \ vdots \\ 0 & \ cdots && - a_ {nn-1} \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle AU_ {n} -U_ {m} A = {\ begin {bmatrix} a _ {- 1} & \ cdots & a _ {- n + 1} & 0 \\\ vdots &&& - a _ {- n + 1} \ \\ vdots &&& \ vdots \\ 0 & \ cdots && - a_ {nn-1} \ end {bmatrix}},}

unde golurile din matrice sunt menite să conțină zerouri.

Notă

Pentru matricile Toeplitz adăugarea se poate face într-o singură dată $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ , produsul pentru un singur transportator poate fi realizat într-o singură dată $O(n\log(n))$ ${\ displaystyle O (n \ log (n))}$ ${\ displaystyle O (n \ log (n))}$ . Chiar și înmulțirea a două matrice Toeplitz poate fi realizată extrem de eficient, fiind fezabilă într-un timp $O(n\log(n))$ ${\ displaystyle O (n \ log (n))}$ ${\ displaystyle O (n \ log (n))}$ .

Sistemele de formă ale lui Toeplitz $Ax=b$ ${\ displaystyle Ax = b}$ $Ax = b$ pot fi rezolvate cu algoritmul Levinson-Durbin într-o singură dată $O(n^{2})$ ${\ displaystyle O (n ^ {2})}$ $O (n ^ {2})$ . Variantele acestui algoritm s-au dovedit a fi slab stabile (de exemplu, ele prezintă stabilitate pentru sistemele liniare dependente).

Matricile Toeplitz sunt, de asemenea, strâns legate de seria Fourier , deoarece operatorul de multiplicare pentru un polinom trigonometric, redus la un spațiu dimensional finit, poate fi reprezentat de o matrice de acest fel.

Dacă o matrice Toeplitz are și proprietatea care $a_{i}=a_{i+n}$ ${\ displaystyle a_ {i} = a_ {i + n}}$ ${\ displaystyle a_ {i} = a_ {i + n}}$ , atunci este o matrice circulantă .

Matricile Toeplitz sunt matrice persimetrice . Matricile Toeplitz simetrice sunt central simetrice.

Elemente conexe

Matricea circulantă

linkuri externe

Toeplitz and Matriculant Matrices : A Review, de RM Gray ( PDF ), la www-ee.stanford.edu .

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85135782

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică